人教版数学八年级下册同步课件：18.2.1 第1课时 矩形的性质(共30张PPT)

(共30张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2.1 第1课时 矩形的性质
知识回顾
复行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
AB∥CD, AD∥BC
AB=CD, AD=BC
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
AO=CO,DO=BO
判定
性质
ABCD
获取新知
如下图，当平行四边形的一个角为转动为直角时，这时的平行四边形是一个什么样的平行四边形呢？
矩形
知识点一：矩形的定义
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 也叫做长方形.
归纳总结
平行四边形不一定是矩形.
矩形也是常见的图形.门窗框、教科书封面、桌面、地砖等(如下图)都有矩形的形象.你还能举出一些例子吗？
矩形与四边形、平行四边形的关系
四边形
平行四
边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
矩形
四边形
平行四边形
矩 形
知识点二：矩形的性质
获取新知
具备平行四边形所有的性质.
A
B
C
D
O
角
边
对角线
两组对边平行；两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质
矩形的一般性质：
思考 它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
做一做
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=90°
∴∠A=∠C=90° ,∠B+∠C=180 °
∴∠B=180－∠C=90°
∴∠D=∠B=90°
即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
已知：四边形ABCD是矩形，
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
验证猜想1
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
验证猜想2
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
归纳总结
几何语言描述：
A
B
C
D
O
矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形的两条对角线相等
边
对角线
角
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC ，CD∥AB.
∴ AD=BC ，CD =AB.
∴ AC= BD.
A
B
C
D
O
∴ AO= CO ，OD = OB.
矩形的性质
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
归纳总结
例题讲解
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°, AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又 ∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴ AC=BD=2OA=8.
矩形的对角线相等且互相平分
如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
巩固练习
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知识点三：矩形的对称性及相关性质
【思考】矩形ABCD是轴对称图形吗？
它的对称轴有几条？
矩形是中心对称图形吗？对称中心是什么？
A
B
C
D
E
F
G
H
.
O
矩形的性质：
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
矩形的性质：
中心对称： .
对称中心： .
中心对称图形
对角线的交点
A
B
C
D
O
两对全等的等腰三角形.
你在矩形中还发现了哪些基本图形？
A
B
C
D
O
四个全等的直角三角形.
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知识点四：直角三角形斜边上中线的性质
根据矩形的性质，我们知道，
BO = BD= AC.由此，我们得到
直角三角形的一个性质.
直角三角形斜边上的中线的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
B
C
O
A
在Rt ABC中，∠ABC=90°，
∵AO=OC，
∴OB= AC.
几何语言描述：
例2 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
例题讲解
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18 .
证明：(2)∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
随堂演练
1. 下列说法不正确的是(　　)
A．矩形是平行四边形
B．矩形不一定是平行四边形
C．矩形的四个角都是直角
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
B
2. 如图,在矩形ABCD中,E是BC边的中点,且AE平分∠BAD,CE=2,则CD的长是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
A
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AO＝2，则四边形OCED的面积为(　　)
A．6
B．8
C．10
D．12
B
4.如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形.
若∠BAG=20°,则∠DAE=　　°.
20
5. 如图所示,已知矩形ABCD的周长为56,O为对角线的交点,△BOC与△AOB的周长之差为4,则AB=　　,BC=　　.
12
16
6. 如图,在矩形ABCD中,BF=CE.求证:AE=DF.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB.
∵BF=CE,
∴BF+EF=CE+EF,
即BE=CF,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴AE=DF.
7. 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝ BC，DG＝ BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形