人教版数学八年级下册同步课件：18.2.3 正方形(共30张PPT)

(共30张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
知识回顾
问题1 平行四边形、矩形、菱形各有什么性质？
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等
边：
同上
具有平行四边形所有性质
菱形
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直平分
分别平分两组对角
对角相等
具有平行四边形一切性质
角：
问题2 如何判定平行四边形、矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
情景导入
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
获取新知
知识点一：正方形的定义
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
邻边相等时，矩形变成了正方形
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
有一个角是直角时，菱形变成了正方形
邻边相等
矩形
正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形。
归纳小结
获取新知
知识点二：正方形的性质
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
4条
A
B
C
D
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
矩形
菱形
正方形
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
归纳总结
已知：如图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=BC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
验证结论1
已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
验证结论2
例题讲解
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
A
D
C
B
O
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
巩固练习
已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°.
证明：∵CE⊥AF， ∴∠ADC＝∠AEM＝90°.
又∵∠CMD＝∠AME，
∴∠1＝∠2.
　 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC,
　 ∴Rt△CDM≌Rt△ADF(ASA).
∴DM=DF.
∴∠DMF=∠DFM.
∵∠ADF=90°，∴∠MFD=45°.
获取新知
活动1 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
知识点三：正方形的判定
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
验证猜想
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
活动2 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
验证猜想
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
例题讲解
例3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
∵∠C=90°， DE⊥BC于E，DF⊥AC于F,
∴∠DEC=90°， ∠DFC=90°，
∴四边形CFDE有三个直角， 它是矩形.
又∵CD平分∠ACB,
∴ DE=DF.
∴四边形CFDE是正方形.
证明：
随堂演练
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
B
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(　　)
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角线互相垂直平分
B
3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
4. 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，
∴∠DEC= ∠DFC=90°.
又∵ ∠C=90 °，
∴四边形ADFC是矩形.
∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
5.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
课堂小结
1.正方形的性质
四条边都相等
两组对边分别平行
两条对角线互相平分
边
对角线
角
两组对角分别相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
两条对角线相等
正方形
5种识别方法
三个角是直角
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2.正方形的判定
四条边都相等