5.3轴对称图形-2020-2021学年北师大版七年级数学下册同步提升训练(含答案）

2021年度北师大版七年级数学下册《5.3轴对称图形》同步提升训练（附答案）
1．如图，四边形ABCD中，CD＝3，AD＝5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
2．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A＝（　　）度．
A．30 B．36 C．45 D．50
3．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．15° C．12° D．10°
4．如图，点P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是（　　）
A．120° B．75° C．60° D．30°
5．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25° B．25°或40° C．25°或 35° D．40°
6．在△ABC中，∠B＝80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为　 　．
7．若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是　 　．
8．已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为　 　．
9．已知△ABC为等边三角形，D为边AC上一点，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE等于　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝37°，则∠BAC＝　 　．
11．△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝　 　．
12．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BC＝4，则△BCE的周长为　 　．
13．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为　 　．
14．若一个等腰三角形中有两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC＝2，则△ACE的面积为　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝　 　°．
17．如图，AC＝AD＝AB，AD∥BC，∠C＝70°，则∠D＝　 　°．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是　 　．
19．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝　 　度．
20．如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
21．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．
（1）若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是　 　；
（2）若△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，求∠BAD的度数．
22．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求∠EFB的度数．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
25．如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E．
（1）若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；
（2）直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．
26．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
27．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．
参考答案
1．解：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长是：DE+DE+CE＝DC+DE+AE＝DC+AD＝3+5＝8．
故选：B．
2．解：设∠A＝x，
∵DE＝BE，
∴∠AED＝2x，
又∵AD＝DE，
∴∠A＝2x，
∴∠BDC＝x+2x＝3x，
而BC＝BD，则∠C＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝3x，
∴3x+3x+2x＝180°，
∴∠A＝2x＝45°．
故选：C．
3．解：∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AB＝BC＝CD．
∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，
∴∠A＝15°．
故选：B．
4．解：当点O为等腰三角形顶点时，∠A＝75°，
当点A为等腰三角形顶点时，∠A＝120°，
当点P为顶点时，∠A＝30°，
综上，∠A的度数为30°或75°或120°，一定不可能等于60°，
故选：C．
5．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
6．解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论．
①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1，
∵∠BAD＝∠BDA＝×（180°﹣80°）＝50°，
又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝25°；
②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2，
∵AD＝BD，∠B＝80°，
∴∠BAD＝∠B＝80°，
∴∠ADB＝180°﹣80°×2＝20°，
又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝10°；
③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3，
则∠ADB＝∠B＝80°，
又∵△ADC是等腰三角形，DA＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝40°．
故答案为：10°或25°或40°．
7．解：
∵∠BOC＝128°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝104°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣104°＝76°．
.故答案为：76°．
8．解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，
∴∠A＝65°，
即顶角的度数为65°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，
∴∠BAD＝25°，
∴∠BAC＝115°．
故答案为65°或115°．
9．解：如图，过点C作CF⊥DE于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CE＝CD＝1，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴EF＝CE＝，
∴DE＝2EF＝．
故答案为：．
10．解：∵AE∥BD，
∴∠DBC＝∠E＝37°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝74°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝32°．
故答案为：32°．
11．解：∵∠EAD＝30°，
∴∠AED+∠ADE＝150°，
∵EA＝EB，DA＝DC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAD，
∵∠AED+∠ADE＝∠B+∠BAE+∠C+∠CAD，
∴∠BAE+∠CAD＝75°，
∴∠BAC＝105°．
故答案为：105°．
12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC＝14，
故答案为：14．
13．解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠BDE＝15°，
∴∠AED＝55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝55°，
∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝55°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠EDP2＝150°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣55°）＝62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
14．解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3＝6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故答案为：15．
15．解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝22.5°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，
∴AC＝EC＝2，
∴△ACE的面积＝×AC×EC＝×2×2＝2，
故答案为：2．
16．解：∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠3＝∠2＝22.5°．
故答案为：22.5°．
17．解：∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∴∠BAD＝110°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝35°，
故答案为：35．
18．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．
故答案为：10°．
19．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，
由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝30°，
故答案为：30．
20．解：（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
21．解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长是13，
∴AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故答案为：19；
（2）在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝36°，
则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝82°，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝82°﹣36°＝46°．
22．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
23．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
又∵CE⊥AB，
∴CF＝EF；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝∠EAC＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∵EF＝CF＝BF，
∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，
∴∠EFB＝45°．
24．证明：连接CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴BF＝CF，
∵FE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴AF＝BF．
25．解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝75°，
∴∠ACB＝50°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝25°，
∵∠B＝75°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝15°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝25°﹣15°＝10°，
即∠DCE的度数是10°；
（2）∠DCE＝（∠B﹣∠A），
理由：∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠A﹣∠B﹣90°+∠B＝（∠B﹣∠A），
即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．
26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC DH＝8×4＝16．
27．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝15°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝7，△CBD周长为12，
∴BC＝5．