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2022高考数学冲刺专练：函数与导数
一、单选题
1．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0
【详解】对选项，则有：
对选项，则有：
对选项，定义域为：
对选项，则有：
故答案选：
2．（2021·湖南·高考真题）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据对数函数的真数大于即可求解.
【详解】由题意可得：，解得：，
所以函数的定义域为，
故选：B.
3．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】函数的对称轴为，开口向上，
所以函数的单调递减区间是，
故选：C.
4．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点评】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
5．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
6．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
7．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
8．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
9．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
10．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
二、填空题
11．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________
【答案】
【解析】求出函数的反函数的解析式，进而可求得结果.
【详解】由可得，故，因此，.
故答案为：.
12．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________
【答案】
【解析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.
【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，，
则，
当时，
故答案为：.
13．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
【答案】2
【解析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.
【详解】解：因为为奇函数，所以，且，
又关于直线对称，所以，
所以，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出函数和的图像如图所示：
由的正数解依次为、、、、、，
则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，
所以.
故答案为：2.
14．（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________
【答案】.
【解析】由，得，由为奇函数得，可求得，再利用得到答案.
【详解】因为，，
所以， ，
因为为奇函数，
所以，由，得，
因为，所以.
故答案为：6.
15．（2021·江苏·高考真题）已知函数，若其图像上存在互异的三个点，，，使得，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】先画出函数的图象，转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，再画函数的图象，观察交点的个数，从而求得的取值范围．
【详解】解：画出函数的图象如下图，
由题意得函数图象上存在互异的三个点，且，
则可看做函数与函数的图象有三个不同的交点，
由图知，当或时，有且仅有两个交点，
要使两个图象有三个不同的交点，则的取值范围为．
故答案为：．
16．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
【答案】
【解析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【点评】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.
三、解答题
17．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.
(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；
(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；
(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】（1）由题设可得，求解即可.
（2）由题设有，讨论、分别求解即可.
（3）将题设化为对于任意存在，即可证结论.
(1)
由题设，甲变化为，则，
∴，解得.
(2)
由题设，，又，
∴，
当，即时，则，恒成立；
当，即时，则，解得：或.
综上，不等式解集为.
(3)
由题设，，则，
，则，
∵当成立，在上单调递增，
∴，
∴对于任意总存在成立，
∴在R上单调递增，得证.
【点评】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意存在，判断函数在实数域上单调性.
18．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；
（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.
【详解】（1）函数的图象如图所示：
（2），
当时， ，可得：，
当，，可得：，
所以的解集为：，
所以的取值范围为.
19．（2021·江苏·高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.
(1) 求实数的值；
(2) 求的值；
(3) 求函数的解析式.
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】(1) 求出直线所过定点，由定点在函数图象上，求出的值；
(2) 利用偶函数的性质，求，进而可求出的值；
(3) 利用偶函数的性质求出时，的表达式.
【详解】(1) 由直线过定点可得：，
由，解得，
所以直线过定点.
又因为时，，
所以，
有，.
(2) ，
因为为偶函数，所以，
所以.
(3) 由(1)知，当时，.
当时，，，
又为偶函数，所以，
综上可知，.
20．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【解析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点评】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
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2022高考数学冲刺专练：函数与导数
一、单选题
1．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南·高考真题）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·天津·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________
12．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________
13．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
14．（2021·湖南·高考真题）已知函数为奇函数，.若，则____________
15．（2021·江苏·高考真题）已知函数，若其图像上存在互异的三个点，，，使得，则实数的取值范围是__________.
16．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
三、解答题
17．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.
(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；
(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；
(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.
18．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
19．（2021·江苏·高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.
(1) 求实数的值；
(2) 求的值；
(3) 求函数的解析式.
20．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
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