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2022高考数学冲刺专练：等式与不等式
一、单选题
1．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】用不等式的基本性质得解.
【详解】，但，，A、C错
，，所以.B正确.
，但，D错.
故选:B.
2．（2021·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.
【详解】画出满足约束条件的可行域，
如下图所示：
目标函数化为，
由，解得，设，
当直线过点时，
取得最小值为.
故选：B.
3．（2021·全国·高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【解析】由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.
【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由可得点,
转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时.
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点评】5．（2020·山东·高考真题）已知变量，满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最大值和最小值，从而得范围．
【详解】如图，作出直线，向上平移直线，最先过可行域中的点，此时，最后过可行域中的点，此时，
所以的取值范围是．
故选：C．
6．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
7．（2020·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是.
故选：B.
【点评】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
8．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
【答案】C
【解析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为，所以且，设，则的零点
为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
【点晴】
本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
二、多选题
10．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点评】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
三、双空题
11．（2019·北京·高考真题（文））若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________.
【答案】 . 1.
【解析】作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解.
【详解】作出可行域如图阴影部分所示.
设,则.当直线经过点时,取最小值，经过点时,取最大值.
【点评】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
12．（2018·浙江·高考真题）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】
【解析】先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.
【详解】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点时取最大值，过点时取最小值.
【点评】线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.
四、填空题
13．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________.
【答案】
【解析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.
故答案为：
【点评】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.
14．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
15．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点评】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
五、解答题
16．（2021·湖南·高考真题）某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶
车辆型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆）
A 60 3600
B 36 2400
学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值.
【答案】A型车和B型车分别为和辆时，租金最少，租金的最小值是元.
【解析】首先设A型车和B型车分别为辆，根据条件列出目标函数和约束条件，数形结合即可解决.
【详解】设A型车和B型车分别为辆，则租金为，依题意，需满足 ，即,如图，作出可行域，
令，目标函数变形为，即，当直线平移至点时，目标函数取得最小值，
，解得：，，此时元.
所以A型车和B型车分别为和辆时，租金最少，租金的最小值是元.
17．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【解析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
18．（2021·江苏·高考真题）某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小 并求最小用料面积.
【答案】甲2块，乙1块，8 m2.
【解析】设需要甲种原料张，乙种原料张，则所用原料的总面积，由题意列出关于，的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】设需要甲种原料张，乙种原料张，
则，
所用原料的总面积．
由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，，即，
由，得，由图可知，当直线过时，
取得最小值为．
故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为 m2．
19．（2020·全国·高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．
【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为，则，．
［方法二］：消元法
由得，则，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知，又，故结论得证．
方式2：因为，
所以
．
即，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法四］：
因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设则.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：，令，
二次函数对应的图像开口向下，又，所以，
判别式，无根，
所以，即．
方式2：设，
则有a，b，c三个零点，若，
则为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设，因为，所以，
则．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设，因为，所以，且
则关于x的方程有两根，其判别式，即．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．
【整体点评】
（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
20．（2022·上海·高考真题）在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.
【答案】(1)
(2)交点为，在椭圆上，理由见解析
(3)6
【解析】（1）写出三点的坐标，可将用坐标表示出来，求出的值，再结合已知条件，即可求出，进而写出椭圆的标准方程；
（2）根据条件，写出直线和的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断该点与椭圆的位置关系；
（3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点的坐标，再结合点的坐标，写出直线和的方程，求出点的坐标，表示出，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简，最后根据重要不等式计算出的最小值.
(1)
由题可得，又，
所以，解得，
所以，
故椭圆的标准方程为；
(2)
由，得直线的方程为：，
由，得直线的方程为：，
联立两方程，解得交点为，
代入椭圆方程的左边，得，
故直线与的交点在椭圆上；
(3)
由题有
因为两点在椭圆上，且关于原点对称，
则设，
直线，则，
直线，则，
所以
设，则，
因为，
所以，则，即的最小值为6.
【点评】关键点点睛：第（3）小题中，以三角函数形式（参数方程）设点是解题的关键，进而利用三角恒等变换和同角三角函数关系（二次齐次分式化正余弦为正切）将化简，最终利用重要不等式求出其最小值.
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2022高考数学冲刺专练：等式与不等式
一、单选题
1．（2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题（文））若满足约束条件则的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
4．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
5．（2020·山东·高考真题）已知变量，满足某约束条件，其可行域（阴影部分）如图所示，则目标函数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·浙江·高考真题）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
二、多选题
10．（2020·海南·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
11．（2019·北京·高考真题（文））若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________.
12．（2018·浙江·高考真题）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
四、填空题
13．（2022·上海·高考真题）不等式的解集为_____________.
14．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
15．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
五、解答题
16．（2021·湖南·高考真题）某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶
车辆型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆）
A 60 3600
B 36 2400
学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值.
17．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
18．（2021·江苏·高考真题）某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个;乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小 并求最小用料面积.
19．（2020·全国·高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
20．（2022·上海·高考真题）在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆相交于点P，直线AD与椭圆相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求的最小值.
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