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2022高考数学冲刺专练：平面向量
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
9．（2019·全国·高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
二、多选题
10．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
11．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
12．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________.
四、填空题
13．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
14．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
15．（2021·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．
五、解答题
16．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
17．（2013·辽宁·高考真题（文））设向量
（I）若
（II）设函数
18．（2013·江苏·高考真题）已知，.
（1）若，求证：；
（2）设，若，求，的值.
19．（2017·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
20．（2013·四川·高考真题（文））在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求向量在方向上的投影．
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2022高考数学冲刺专练：平面向量
一、单选题
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
2．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．
【详解】由题意函数图象的对称轴是，设，
因为，所以，解得或，所以或，
故选：C．
3．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，
故选：A
4．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点评】本题考查的是向量的加减法，较简单.
5．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
【点评】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
6．（2020·全国·高考真题（理））已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
【点评】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
7．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
8．（2019·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
【点评】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
9．（2019·全国·高考真题（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
【答案】C
【解析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】由，，得，则，．故选C．
【点评】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
二、多选题
10．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
三、双空题
11．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【答案】 1
【解析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
12．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
________；________.
【答案】 0 3
【解析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则，
，，
.
故答案为：0；3.
四、填空题
13．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
14．（2021·全国·高考真题（理））已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点评】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
15．（2021·全国·高考真题（文））已知向量，若，则_________．
【答案】
【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
五、解答题
16．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
17．（2013·辽宁·高考真题（文））设向量
（I）若
（II）设函数
【答案】（I）（II）
【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，
＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，
及，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sinx＝，所以x＝.
(2) sinx·cosx＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x∈时，－≤2x－≤π，
∴当2x－＝时，
即x＝时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
18．（2013·江苏·高考真题）已知，.
（1）若，求证：；
（2）设，若，求，的值.
【答案】（1）见解析（2），.
【解析】【详解】由题意，，即，又因为，∴，即，∴
（2），∴，由此得
，由，得，又，故，
代入得，而，∴，.
【考点定位】
本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.
19．（2017·江苏·高考真题）已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.
【解析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．
（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．
【详解】解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；
当，即时．
【点评】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
20．（2013·四川·高考真题（文））在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求向量在方向上的投影．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）由三角形内角的性质及和角余弦公式可得，再根据同角三角函数的平方关系求.
（Ⅱ）由正弦定理可得，再由余弦定理求边长c，最后根据向量投影的定义求在方向上的投影．
【详解】（Ⅰ）由，则，即，
因为，所以．
（Ⅱ）由正弦定理，所以，
由题设，，即，所以，
由余弦定理，则，解得或（舍）．
向量在方向上的投影：．
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