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2022高考数学冲刺专练：模拟试题（高考模拟试题重组卷）
一、单选题
1．（2022·广东·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分别求出两个集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】解：，
，
所以.
故选：B.
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（理））为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】根据直方图求出，求出的频率，可判断①；求出的频率，可判断②；根据中位数是从左到右频率为的分界点，先确定在哪个区间，再求出占该区间的比例，求出中位数，判断③.
【详解】由，，
的频率为，①正确；
的频率为，②正确；
的频率为，的频率为，
中位数在且占该组的，
故中位数为，③正确.
故选:D.
【点评】本题考查补全直方图，由直方图求频率和平均数，属于基础题
3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））若复数，（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C．i D．
【答案】C
【解析】根据复数的运算法则计算答案即可
【详解】，，
故选：C
4．（2022·四川达州·高二期末（文））为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.
【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：、、、、、、、、、，
因此，这组数据的中位数为.
故选：B.
5．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））如图，在正方体中，为的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】作出截面，然后可得答案.
【详解】如图，过点，，的平面截正方体所得的截面为，所以侧视图为C.
故选：C
6．（2021·四川·高三期中（理））函数（且），设甲：在上递减，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据在上递减，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，函数（且），
若在递增，可得，从而甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
7．（2022·全国·高三阶段练习（文））测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（在水平面）垂直于水平面，水平面上两点，的距离为，测得，，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，，则该旗杆的高度为（单位：）（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【解析】作出示意图，在中解出，在中解出
【详解】
在中，，，，
∵，
∴，
在中，.
故选：B.
8．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】变形可得m，由两角和差的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系化简可得．
【详解】解：∵tan20°+msin20°，
∴m
4
故选：C
9．（2021·云南省楚雄天人中学高二阶段练习（理））的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】可令函数，采用构造函数法，结合数形结合找出函数交点即可
【详解】令得，令，画出两函数图像，如图：
则两函数只有一个交点，故函数只有一个零点
故选B
【点评】本题考查函数零点个数的求法，构造函数法求零点个数，属于中档题
二、多选题
三、填空题
10．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知曲线，则C的焦距为__________．
【答案】2
【解析】根据椭圆标准方程和椭圆的性质即可求解．
【详解】由曲线方程可知该曲线为焦点在x轴上的椭圆，且，，
∴，∴c＝1，∴焦距为2c＝2．
故答案为：2．
11．（2022·山东菏泽·二模）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】先判断出，再以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：然后利用平面向量数量积的坐标表示求出，再根据圆心到直线的距离小于等于半径可求出结果.
【详解】因为，又，所以，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系：
则，，设，则，
，，
所以，
设，即，
依题意直线与圆有交点，
所以，得，
所以的最小值为.
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数为奇函数，则______．
【答案】1
【解析】利用奇函数的性质求a.
【详解】函数的定义域为且
∵函数为奇函数，
∴ 函数的定义域关于原点对称，
∴
故答案为：.
13．（2022·广东汕头·三模）已知函数在点处的切线为l，若l与函数相切，切点为，则__________．
【答案】9
【解析】先求出，求出切线方程，进而求得，即可求解.
【详解】由题意得，则，切线方程为，即，
则，则，.
故答案为：9.
14．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量，，若，则__________
【答案】或##或.
【解析】由向量模长坐标运算可求得，由向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】，，解得：或；
当时，，；当时，，；
或.
故答案为：或.
15．（2022·河南·模拟预测（文））已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______．
【答案】16
【解析】根据椭圆定义可得：，再用基本不等式求解.
【详解】由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16
故答案为：16
16．（2021·上海·高一专题练习）函数（，）的图像如图所示，则______.
【答案】
【解析】根据函数图象有A=2，，得到函数，再根据函数图象过点，求得，然后利用函数的周期性求解.
【详解】如图所示：A=2，，
所以函数，
又因为函数图象过点，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以.
故答案为：
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
四、解答题
17．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））甲 乙两合机床加工同一规格（直径20.0）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，并整理如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3；乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过0.2的零件为一级品，误差大于0.2的零件为二级品.
(1)根据以上数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为甲 乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异；
一级品 二级品 总计
甲机床
乙机床
总计
(2)从甲机床生产的18个零件中任取3个，再从乙机床生产的12个零件中任取2个，求在取到的零件中，甲机床生产的一级品恰好比乙机床生产的一级品多2个的概率.
附，其中
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表答案见解析，没有95%的把握认为甲 乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异
(2)
【解析】（1）完善列联表，计算卡方，与3.841比较大小，得到相应的结论；（2）用超几何分布的概率公式进行求解.
(1)
列联表如下：
一级品 二级品 总计
甲机床 16 2 18
乙机床 7 5 12
总计 23 7 30
根据列联表得
因为，所以没有95%的把握认为甲 乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异.
(2)
从甲机床生产的18个零件中任取3个，设这3个零件中一级品的个数为X，从乙机床生产的12个零件中任取2个，设这2个零件中一级品的个数为Y，则随机变量X，Y服从超几何分布.
记“甲机床生产的一级品恰好比乙机床生产的一级品多2个”为事件A，则
.
所以甲机床生产的一级品恰好比乙机床生产的一级品多2个的概率为.
18．（2022·江西·模拟预测（理））设等差数列的前项和为，为各项均为正数的等比数列，且，，再从条件①：；②：；③：这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)an＝n，bn＝
(2)证明见解析
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q＞0，由等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式，列出方程组求解即可得答案；
（2）求出，利用裂项相消求和法求出前项和为，即可证明．
(1)
解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q＞0，
选①：，又，，可得1+5d＝3q，1+4d＝5d，解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；
选②：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，q4＝4（q3﹣q2），解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；
选③：，又a1＝b1＝1，a6＝3b2，可得1+5d＝3q，8+28d＝6（3+3d），解得d＝1，q＝2，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝；
(2)
证明：由（1）知，，，
所以.
19．（2022·山西吕梁·三模（理））如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）由题可得，然后利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法即得.
(1)
因为矩形中，为的中点，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
因为，
所以平面.
因为平面，
所以，又，
所以平面.
(2)
由（1）知两两相互垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，令，连接，
则，
所以.
设平面的一个法向量为，
则，得，
所以，令，得，所以，
由（1）知是平面的一个法向量，
所以，
故二面角的余弦值为.
20．（2019·黑龙江·大庆一中模拟预测（理））已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角．
【答案】（1）；（2）或
【解析】(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角.
【详解】（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，
又点在椭圆上，所以，解得，
即椭圆的方程为.
（2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；
当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即.
将直线与椭圆的方程联立，得：
，
判别式，即，
设，则，
所以，
解得，
所以直线的倾斜角为或.
【点评】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.
21．（2022·广东佛山·模拟预测）设函数，．
(1)若，求函数的单调区间和最值；
(2)求函数的零点个数，并说明理由．
【答案】(1)增区间为，减区间为；最大值为，无最小值
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）由，求导，再分别令，求解；
（2）由，，求导，得到函数有唯一的极大值点，极大值，令，，利用导数法求解.
(1)
解：函数的定义域为，
当时，，
，
令，得；
由，得；
由，得．
所以，增区间为，减区间为．
当时，函数有最大值为，无最小值
(2)
，，
，
令，得（舍）或；
由，得；
由，得．
所以，增区间为，减区间为．
函数有唯一的极大值点，
，
令，．
因为恒成立，函数为增函数，
且，
①时，，即
函数一定没有零点．
②时，，即
函数有唯一的零点．
③时，，即，
，
且，
，
，
令，则，
当时，成立，
所以，
所以，
∴，，
所以，
在区间上有唯一零点，在区间上有唯一零点，
函数有两个不同的零点．
综上所述：
①时，函数一定没有零点．
②时，函数有唯一的零点．
③时，函数有两个不同的零点．
【点评】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
22．（2019·广西钦州·高二期末（理））在直角坐标系中，直线，圆．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为、，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得出曲线的极坐标方程；
（2）解法一：求出直线的普通方程，利用点到直线的距离公式计算出圆的圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算出；
解法二：设点、的极坐标分别为、，将圆的方程化为极坐标方程，并将直线的方程与圆的极坐标方程联立，得出关于的二次方程，列出韦达定理，可得出，从而计算出.
【详解】（1）由直线，可得的极坐标方程为；
（2）解法一：由直线的极坐标方程为，
得直线的直角坐标方程为，即.
圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到直线的距离，；
解法二：圆的普通方程为，
化为极坐标方程得，
设点、的极坐标分别为、，
将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程得，，
由韦达定理得，，
因此，.
【点评】本题考查普通方程与极坐标方程的互化，同时也考查了直线与圆相交所得弦长的计算，可以计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理来进行计算，也可以利用极坐标方程，利用极径之差来进行计算，考查化归与转化数学思想的应用，属于中等题.
23．（2022·四川省泸县第一中学三模（理））已知函数
(1)在网格图中画出函数的图象；
(2)若实数满足，求的取值范围．
【答案】(1)作图见解析；
(2).
【解析】（1）先写出分段函数，再作图得解；
（2）解不等式即得解.
(1)
解：由已知条件可得.作出函数图象如图．
(2)
解：由（1）的图象可得，实数满足，
解得，
∴实数的取值范围为
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2022高考数学冲刺专练：模拟试题（高考模拟试题重组卷）
一、单选题
1．（2022·广东·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（理））为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：
①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））若复数，（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C．i D．
4．（2022·四川达州·高二期末（文））为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））如图，在正方体中，为的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面的侧视图（阴影部分）为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·四川·高三期中（理））函数（且），设甲：在上递减，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·全国·高三阶段练习（文））测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆（在水平面）垂直于水平面，水平面上两点，的距离为，测得，，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，，则该旗杆的高度为（单位：）（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
8．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．8
9．（2021·云南省楚雄天人中学高二阶段练习（理））的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
三、填空题
10．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知曲线，则C的焦距为__________．
11．（2022·山东菏泽·二模）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且，则的最小值为______．
12．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数为奇函数，则______．
13．（2022·广东汕头·三模）已知函数在点处的切线为l，若l与函数相切，切点为，则__________．
14．（2022·陕西·模拟预测（理））已知向量，，若，则__________
15．（2022·河南·模拟预测（文））已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______．
16．（2021·上海·高一专题练习）函数（，）的图像如图所示，则______.
四、解答题
17．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））甲 乙两合机床加工同一规格（直径20.0）的机器零件，为了比较这两台机床生产的机器零件精度的差异，随机选取了一个时间段，对该时间段内两台机床生产的所有机器零件直径的大小进行了统计，并整理如下：甲：19.7，19.8，19.8，19.9，19.9，19.9，20.0，20.0，20.0，20.0，20.1，20.1，20.1，20.1，20.2，20.2，20.2，20.3；乙：19.5，19.6，19.7，19.8，19.9，20.0，20.0，20.1，20.1，20.2，20.3，20.4规定误差不超过0.2的零件为一级品，误差大于0.2的零件为二级品.
(1)根据以上数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为甲 乙两台机床生产的机器零件的精度存在差异；
一级品 二级品 总计
甲机床
乙机床
总计
(2)从甲机床生产的18个零件中任取3个，再从乙机床生产的12个零件中任取2个，求在取到的零件中，甲机床生产的一级品恰好比乙机床生产的一级品多2个的概率.
附，其中
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（2022·江西·模拟预测（理））设等差数列的前项和为，为各项均为正数的等比数列，且，，再从条件①：；②：；③：这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
19．（2022·山西吕梁·三模（理））如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)点在线段上，若，求二面角的余弦值.
20．（2019·黑龙江·大庆一中模拟预测（理））已知圆O经过椭圆C：的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且，求直线l的倾斜角．
21．（2022·广东佛山·模拟预测）设函数，．
(1)若，求函数的单调区间和最值；
(2)求函数的零点个数，并说明理由．
22．（2019·广西钦州·高二期末（理））在直角坐标系中，直线，圆．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为、，求.
23．（2022·四川省泸县第一中学三模（理））已知函数
(1)在网格图中画出函数的图象；
(2)若实数满足，求的取值范围．
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