4.1认识三角形-2020-2021学年北师大版七年级数学下册同步提升训练（word版 含解析）

2020-2021年度北师大版七年级数学下册《4.1认识三角形》同步提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，则∠C的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（　　）
A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm
3．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的度数是（　　）
A．90° B．100° C．105° D．135°
4．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（　　）
①OE平分∠AOD；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC﹣∠CEA＝15°；
④∠COB+∠AOD＝180°．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（　　）
A．80° B．82° C．84° D．86°
6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（　　）
A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高
7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　°．
8．已知三角形的三边长为3、7、a，则a的取值范围是　 　．
9．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝　 　．
10．如图，点G是△ABC的重心，CG的延长线交AB于点D，连接BG．若△BDG的面积为2，则△ABC的面积为　 　．
11．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为　 　．
12．如图，∠A＝70°，∠B＝15°，∠D＝20°，则∠BCD的度数是　 　．
13．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在线段BC上的点F处，BC∥DE，若∠A+∠B＝106°，则∠FEC＝　 　度．
14．如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠ACB的度数是　 　°．
15．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周长为27cm，则△ABD的周长为　 　cm．
16．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝　 　．
17．如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD：CD＝2：3，AD、BE交于点O，若S△AOE﹣S△BOD＝1，则△ABC的面积为　 　．
18．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠B＝　 　度．
19．如图，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．
20．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高．
（1）求证：∠DAC＝∠ABC；
（2）如图②，△ABC的角平分线CF交AD于点E，求证：∠AFE＝∠AEF．
21．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点 E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
22．如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
23．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
24．如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．
（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；
（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）
25．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
26．如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NAC的角平分线交于点O，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
参考答案
1．解：∵∠A＝45°，△ABC的外角∠CBD＝75°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝75°﹣45°＝30°，
故选：A．
2．解：设第三边为xcm，
∵三角形的两边长分别为3cm和5cm，
∴5cm﹣3cm＜x＜5cm+3cm，即2cm＜x＜8cm，
∴5cm符合题意，
故选：C．
3．解：如图所示：由题意可得，∠2＝90°﹣45°＝45°，
则∠1＝∠2+60°＝45°+60°＝105°．
故选：C．
4．解：∵∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴∠DOC﹣∠BOC＝∠AOB﹣∠COB，
即∠AOC＝∠BOD，故②正确；
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB+∠AOD＝∠AOB+∠COD＝180°，故④正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE＝∠APO，∠C＝45°，∠A＝30°，∠CEA+∠CPE+∠C＝∠AOC+∠APO+∠A＝180°，
∴∠AOC﹣∠CEA＝15°．故③正确；
没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．
故选：D．
5．解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2+∠3＝75°①，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2∠2②，
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°，
∴∠DAC＝105°﹣25°＝80°．
故选：A．
6．解：∵∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，
∴DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高，
故选：D．
7．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，∠ABP＝15°，
∴∠CBP＝∠ABP＝15°，
∵CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，
∴∠PCM＝∠ACP＝50°，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣15°＝35°，
故答案为：35．
8．解：根据三角形的三边关系，得
7﹣3＜a＜7+3，
即：4＜a＜10．
故答案为：4＜a＜10．
9．解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝a+b﹣c+b﹣c﹣a＝2b﹣2c，
故答案为：2b﹣2c．
10．解：∵点G是△ABC的重心，
∴CG＝2DG，AD＝DB，
∵△BDG的面积为2，
∴△BCG的面积为4，
∴△BDC的面积为2+4＝6，
∴△ABC的面积为12，
故答案为：12．
11．解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∠ABE＝40°．
∵∠EBC＝20°，
∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．
故答案为：85°．
12．解：连接AC，并延长到E，
∵∠A＝70°，∠B＝15°，∠D＝20°，
∴∠BCE＝∠B+∠BAC，∠ECD＝∠D+∠CAD，
∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠D+∠BAD＝70°+15°+20°＝105°，
故答案为：105°．
13．解：由折叠可知：
∠AEF＝2∠AED＝2∠FED，
∵∠A+∠B＝106°，
∴∠C＝180°﹣106°＝74°，
∵BC∥DE，
∴∠AED＝∠C＝74°，
∴∠AEF＝2∠AED＝148°，
∴∠FEC＝180°﹣∠AEF＝32°．
故答案为：32．
14．解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°．
故答案为：45．
15．解：∵△ACD的周长为27cm，
∴AC+DC+AD＝27cm，
∵AC＝9cm，
∴AD+CD＝18cm，
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AD+BD＝18cm，
∵AB＝12cm，
∴AB+AD+BD＝30cm，
∴△ABD的周长为30cm，
故答案为：30，
16．解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，
∴∠BAP+∠2＝65°，
∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
17．解：∵点E为AC的中点，
∴S△ABE＝S△ABC．
∵BD：CD＝2：3，
∴S△ABD＝S△ABC，
∵S△AOE﹣S△BOD＝1，
∴S△ABC﹣S△ABC＝1，
解得S△ABC＝10．
故答案为：10．
18．解：设∠A为x．
x+2x+3x＝180° x＝30°．
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
故填60．
19．解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAD＝50°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝50°+30°＝80°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝50°﹣40°＝10°．
20．证明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC．
（2）∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠AFE+∠ACF＝∠CED+∠BCF＝90°，
∴∠AFE＝∠CED，
又∵∠AEF＝∠CED，
∴∠AFE＝∠AEF．
21．解：（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝110°，
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝55°；
（2）∵∠ACB＝80°，∠CBE＝55°，
∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝80°﹣55°＝25°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
22．解：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，
∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
23．解：（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
24．解：（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝70°，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣55°
＝125°；
（2）∠BDC＝90°﹣∠A．
理由如下：
∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝（∠A+∠ABC）、∠DBC＝（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，
＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
＝180°﹣（∠A+180°），
＝90°﹣∠A；
25．（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．
26．解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E＝A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°