四川省内江市2021-2022学年高二下学期期中考试理科数学试题（Word版含答案）

内江市2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试题（理科）
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题（满分60分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．椭圆的短轴长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．
2．随机变量X的分布列如图，其中a，b，c成等差数列，则（ ）
X －1 0 1
P a b c
A． B． C． D．
3．抛物线上一点M的坐标为，则点M到焦点的距离为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．已知、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点为 B．焦点为 C．焦距是2 D．焦距是4
6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
7．如图，在三棱锥O－ABC中，D是线段BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．若命题p：，，则：，
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若命题“”为真命题，则命题p与命题q中至少有一个是真命题
D．“若，则a，b中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题
9．设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．关于曲线C：，给出下列四个命题：
①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C围成的面积大于；④曲线C围成的面积小于．上述命题中，真命题的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①③
11．已知F为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．则当取最大值时，的值为（ ）
A． B．1 C． D．
12．已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：
①线段MN的长度为1； ②点C到面MFN的距离范围为；
③△FMN周长的最小值为； ④∠MFN的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）
二、填空题（每题5分，共20分）
13．在一个袋子中装有4个球，其中有2个红球、2个白球，从中依次不放回地摸2个球，在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是白球的概率为______．
14．若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______．
15．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为______．
16．已知两点和，动点在直线l：y＝－x＋5上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为______．
三、简答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）
17．已知命题p：，，命题q：．
（1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若是真命题，是假命题，求实数a的取值范围．
18．已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点．
（1）过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，△AOB的面积为2．求抛物线C的标准方程；
（2）抛物线上有M、N两点，若△MON为正三角形，求△MON的边长．
19．击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背着大家或蒙眼击鼓（桌子、黑板或其他能发出声音的物体），鼓响时众人开始传花（顺序不定），至鼓停止为止，此时花在谁手中（或其座位前），谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，（前五组）组号x与组内女性人数y统计结果如表：
x 1 2 3 4 5
y 2 2 3 4 4
（1）女性人数与组号x（组号变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；
（2）在（1）的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列．
参考公式：，，参考数据：，
20．已知，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．
21．如图，直角三角形ABC中，∠BAC＝60°，点F在斜边AB上，且AB＝4AF，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD＝3，AC＝BE＝4．
（1）求证：DF⊥平面CEF；
（2）点M在线段BC上，且二面角F－DM－C的余弦值为，求CM的长度．
22．已知一张纸上画有半径为4的圆E，在圆E内有一个定点F，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与F点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线为C．
（1）若曲线C的焦点在x轴上，求其标准方程；
（2）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线C恒有两个交点A，B，且OA⊥OB，（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；
（3）在（1）的条件下，P是曲线C上异于上顶点、下顶点的任一点，直线，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T，证明：线段OT的长为定值，并求出定值．
内江市2021-2022学年高二下学期期中考试
数学（理科）
试题答案：
1—6：BCBCDC 7—12：ACADBD
10．解：对于①，将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①对
对于②，将方程中的x换成y，y换成x，方程变为，与原方程不同，故②错
对于③，在曲线C上任取一点，则，∵，∴，∴，即点M在圆外，故③对，④错．
故选：D．
将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，判断出①对；通过将方程中的x，y互换方程改变，判断出②错；由方程上的点的坐标有界判断出③对，④错．
12．如图将等边三角形ABC与ABD铺平，放置在同一平面上，故有．
当且仅当F为AB的中点时取最小值，故在正方体中，，即三角形FMN的最小值为，
13． 14． 15．80 16．
根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解．
根据题意，设点关于直线l：y＝－x＋5的对称点，
则，解得，即．
根据椭圆的定义可知，，
当、P、B三点共线时，长轴长取最小值，即，
由且，得．
17．（1）命题p是真命题时，在R范围内恒成立，
∴①当a＝0时，有恒成立；
②当时，有，解得：；
∴a的取值范围为：．
（2）∵是真命题，是假命题，∴p，q中一个为真命题，一个为假命题，
由q为真时得由，解得，故有：①p真q假时，有或，解得：；
②p假q真时，有或，解得：；
∴a的取值范围为：．
18．（1）由抛物线性质知：△AOB的面积，所以p＝2，所求抛物线C的标准方程为；（2）
19．（1）解：由题可得，，，．
则，，所以
当时，
所以预测从第7组开始女性人数不低于男性人数．
（2）解：由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
20．解：（1）设，∴，，其中，
∴，
整理得轨迹C的方程为：．
（2）设，，∴，，作差得，
∴，∴．
∴直线m方程为：，即y＝2x－1．
联立，∴，整理得，
∴，∴直线m不存在．
解2：由题，直线m斜率存在，设m方程为，联立y＝kx＋3－2k与，
得，整理得．
∴，且．（*）
设，，则，解得k＝2．
代回（*）式得，∴直线m不存在．
21．证明：（1）略
（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设CM＝x
，，，，∴，
则面DMF的法向量：
同理可知：面CDM的法向量
由，则或
经检验，时二面角F－DM－C的余弦值为，不合题意
所以
22．（2）设，，设AB：y＝kx＋b代入，整理得
，由OA⊥OB得即，
由韦达定理化简得，即，
设存在圆与直线AB：y＝kx＋b相切，则，解得
所以圆的方程为，又若AB⊥x轴时，检验知满足条件，
故存在圆心在原点的圆符合题意
（3）由（1）可知，，设，
直线，令y＝0，得；
直线，令y＝0，得；
解法一：设圆G的圆心为，
则．
．
．
而，所以，所以，
所以OT＝2，即线段OT的长度为定值2．
解法二：，而，所以，所以．
由切割线定理得．所以OT＝2．即线段OT的长度为定值2．