第一章因式分解全章学案

1.1多项式的因式分解
学习目标：
1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系．
2．感受因式分解在解决相关问题中的作用．
3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。
重点与难点：
重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。
难点：对分解因式与整式关系的理解
一、知识回顾
1、你会计算（a+1）(a-1)吗？
2、做一做：
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________;
②=__________;
③=__________;
（2）根据上面的算式填空：
①m2－16=（ ）（ ）;
②y2－6y+9=（ ）2.
③3x2－3x=（ ）（ ）;
二、预习导学
学一学：阅读教材P2-P3思考并回答下列问题：
知识点一：因式的概念
对于两个多项式f和g，如果有多项式h=fg,那么我们把g叫做f的 ，此时
也是f的一个因式。
知识点二：因式分解的概念
一般地，类似于把m2－16写成（m+4）(m-4)的形式,把3x2－3x写成的形式，叫做 。
知识点三：质数的定义
什么叫质数（素数）？质数有什么特征？
三、合作探究：
由m（a+b+c）得到ma+ mb + mc的变形是什么运算？由ma +mb + mc得到m（a+b+c）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
联系：
区别：
即ma+mb+mc m（a+b+c）
.
所以，因式分解与多项式乘法是相反方向的变形.
【课堂展示】
判断下列各式哪些是分解因式
(1) =(x+2y)(x-2y) (2)2x(x-3y)=2-6xy
(3)=-10a+1 (4) +4x+4=
(5)(a-3)(a+3)= -9 (6) -4=(m+2)(m-2)
(7)2 πR+ 2 πr= 2π(R+r)
【当堂检测】 （每小题10分，共100分）
1、写出下列多项式的因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
2、指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？
(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1 (2)(x－3)(x+2)=x2－x—6
(3)3m2n－6mn=3mn(m－2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc
(5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2
1.2.1提公因式法因式分解（一）
教学目标：
会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式的因式。
重点与难点
重点：用提公因式法分解因式。
难点：确定多项式中的公因式。
一、知识链接
1 如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？
2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？
你能用几种方法将这块地皮的面积表示出来？
二、预习导学
【知识点一、公因式的概念】
学一学：阅读教材P5，思考并回答下列问题：
1、什么叫公因式？
如： 和 是的因式； 和 是的因式； 和 是的因式。的因式中都含有 ，所以
是的公因式。
2、你能指出下面多项式中各项的公因式吗？
(4)
【知识点二、提公因式法因式分解】
学一学：阅读教材P6-8，思考并回答下列问题
什么是提公因式法？如何把多项式因式分解？
做一做：
1 、把因式分解，
并思考：
（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定？
（2）某一项全部提出后，还有没有因式？如果有，是多少？
2 、把因式分解。
并思考：
（1）首项系数是负数时，公因式的系数如何确定？。
（2）公因式里含有字母吗？
【归纳总结】
公因式的确定方法：
（1）系数：取各系数的最大公约数。如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；如：求48、36的最大功因数48=，36=，那么就是他们的最大公约数
（2）对于字母，取各项都有的，指数最低的。如：与，取做为公因式的字母因式
（3）公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。
三、当堂检测（100分）
1. a x+ay-a xy在分解因式时,应提取的公因式 ( ) （25分）
A. a B. a C. ax D. ay
2.下列分解因式正确的个数为 ( ) （25分）
(1)5y +20y =5y(y +4y) (2) a b-2ab +ab=ab(a-2b)
(3) –a +3ab-2ac=-a(a+3b-2c) (4) -2x -12xy +8xy =-2x(x+6y -4y )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.把因式分解 （50分）
1.2.2提公因式法因式分解（二）
教学目标
1 使学生进一步掌握公因式为多项式的因式分解；
2 渗透类比、转化的思想。
重点、难点：
重 点：公因式为多项式的因式分解
难 点：公因式不明显而需要转化才能找到时的因式分解
知识回顾：
1、-8abc-的公因式是_______。
2、如何找公因式？
3因式分解：
① am+bm ② 15
二、合作探究
1、知识点一：公因式为多项式的因式分解
（1）、am+bm中的m换成：（x-2）得到a（x-2）+b（x-2中的公因式是什么？怎样分解因式
(2)、若再将a换成2b-3得到：（2b-3）(x-2）+b（x-2）公因式是什么？怎样分解因式？
(3)、 am+bm中的m换成：得到，公因式是什么？怎样分解因式？
(4)、若再把a换成（a+c）,b换成(a-c)得到：公因式是什么？怎样分解因式？
归纳总结：从上面问题我们看到公因式有的是单项式，有的是多项式，我们要练就“火眼金睛”发现多项式的公因式。
2、知识点二： 公因式不明显的因式分解
(1)、你知道下面多项式有什么关系吗？有式子怎样表达它们的关系？
① a+b与b+a ② a-b与b-a ③ 与 ④
(2)、下面多项式有公因式吗？如果有怎样分解因式呢？
① a (x-2)+b (2-x) ② a +b ③ a-b
课堂展示：
因式分解；（课本P9）
（1）把因式分解
（2）把因式分解
（3）把因式分解
（4）把因式分解
三、当堂检测（每题25分，共100分）
因式分解：
1、
2、
3、
4、+
1.3.1公式法因式分解（一）
教学目标
1 使学生掌握用平方差公式分解因式；
2 理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。
重点、难点
重点：用平方差公式分解因式。
难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解。
一 、复习回顾：
（1）分解因式：(1) 5x
（2）（a+b）(a-b )=___________,这是什么运算
（3）能因式分解吗？怎样分解因式：？
二 、预习导学：
阅读教材P12-P14,思考并回答下列问题：
1平方差公式是什么样子？
2如何用平方差公式因式分解？
3如何把因式分解？
4因式分解
（1） （2）
三 、合作探究：
1对下列多项式因式分解，思考并解决后面的问题:
(1) (2)
(3) （4）
(5) 能因式分解吗？ （6）能因式分解吗？
归纳：当一个多项式有 项，每一项都是一个 （完全平方式/任意式子），并且两个完全平方式前面的符号 （相同/相反）时，考虑用平方差公式因式分解。
2对下列多项式因式分解，思考并解决后面的问题:
（1） （2）
在第一题中，用平方差公式因式分解后得到两个因式：一个是，还能因式分解吗？另一个是，还能因式分解吗？用同样的方法解第二题。
归纳：在因式分解中，必须进行到每一个因式都不能 为止。
3 因式分解下列多项式，并填空：
（1） （2）
归纳：在因式分解时，如果有 ，先 ，再 。
四 、当堂检测：（100分）
1、下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？（每题10分，共30分）
（1）， （2）， （3）
2、因式分解（每题14分，共70分）
（1） （2）
（3） （4）
（5）
1.3.2公式法因式分解（二）
教学目标
1 使学生掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式；
2 培养学生的逆向思维能力。
重点、难点
重点：会用完全平方公式分解因式
难点：识别一个多项式是否适合完全平方公式。
一 复习回顾：
1 分解因式
（1） ； （2）4
2 =_________,=__________这叫什么运算？
3 怎样多项式：、分解因式？
二、预习导学：
阅读教材P15-P16，思考并回答下列问题：
完全平方公式是什么样子？
如何用完全平方公式因式分解？
如何把因式分解？
三 、合作探究
1.因式分解下列多项式
（1） （2）
（3） （4）
观察用完全平方公式因式分解的多项式的特点，我们发现：
当一个多项式有 项，并能写成的形式，用 法因式分解。
2.因式分解下列多项式：
（1）
归纳：在因式分解中，必须进行到每一个因式都不能 为止。
（2）
归纳：在因式分解时，如果有 ，先 ，再 。
3利用所学知识，解决下列问题：
（1），已知可以用完全平方公式因式分解，求的值。
(2)已知是完全平方式，求的值。
（3）若是完全平方式，求的值。
四、当堂检测 （每题20分，共100分）
1、因式分解
（1） （2）
（3） （4）
2、已知是完全平方式，求的值。
1.3.3十字相乘法因式分解
学习目标：
（1）了解“二次三项式”的特征；
（2）理解“十字相乘”法的理论根据；
（3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。
【重点难点】
重点：用“十字相乘”法分解某些二次项系数为1的二次三项式。
难点：二次项系数不是1的二次三项式的分解问题。
【学习过程】
一 、温故知新
１．因式分解与整式乘法的关系： ；
２．已有的因式分解方法： ；
３．把下列各式因式分解：
(1) 3ax2+6ax+3a 　　　 (2) (y2+x2)2-4x2y2　　　　　　　　　　　　　(3)x4-8x2+16
二、 探索新知
１．提出问题： 你能分解2ax2+6ax+4a吗？
２．探求解决：
（1）请直接填写下列结果
（x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；
（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。
（2）把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项
(+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数
---------- 十字交叉线
2x + x = 3x
解：x2+3x+2 = (x+1) (x+2)
３．归纳概括：十字相乘法定义： 。
４．应用训练：
例1 x2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：
　　　　　 ①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
-x + 7x = 6x
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
练习1： x2-8x+15= ；
练习2： x2+4x+3= ； x2-2x-3= 。
小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
例２ 试将 -x2-6x+16 分解因式
提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。
例3 用十字相乘法分解因式：
（1）2x2-2x-12　　　　　　　　　　　　　　（2） 12x2-29x+15
提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。
三、课堂小结
１．十字相乘法：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
２．适用范围：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
３．理论根据：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；
４．具体方法：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
四、当堂检测：（100分）
1．把下列各式分解因式：（每题10分，共20分）
（1）= ； (2) 。
2．若(m＋a)(m＋b)，则 a和b的值分别是 或 。（10分）
3．(x－3) (__________)。（10分）
4 ．分解因式：（每题15分，共60分）
（1）； (2) ；
(3) (4)
1.4 小结与复习
教学目标：
1．使学生了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系。
2．使学生掌握分解因式的基本方法，会用这些方法进行多项式的因式分解。
教学重点、难点：
重点：因式分解的基本方法。
难点：因式分解的方法和技巧。
一、知识回顾：
1．因式分解的概念：
把一个多项化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
这一概念的特点是：
（1）多项式因式分解的结果一定是 的形式；
（2）每个因式必须是 。（整式/分式）
（3）各因式要分解到 为止。
2．因式分解与整式乘法的区别和联系
整式乘法是把几个整式相乘化为 ，而因分解是把一个多项式化为 ，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如:
整式乘法 整式乘法
m（a+b-c） ma+ab-mc （a+b）（a-b） a2-b2
因式分解 因式分解
整式乘法
（a±b）2 a2±2ab+b2
因式分解
整式乘法
（a1x+c1）（a2x+c2） a1a2x+(a1c2+a2c1)x+c1c2
因式分解
3．因式分解的基本方法
（1）提公因式法：这是因式分解的基本方法，只要多项式各项有 ，首先 。
（2）运用公式法：
平方差公式：a2-b2=
完全平方公式：a2±2ab+b2=
注：这里的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。
（3）十字相乘法：用这种方法能把某些二次三项式ax2+bx+c分解因式。
ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）·（a2x+c2）就是说：a分解成a1、a2；c分解成c1、c2，将a1，a2，c1，c2排列成
a1 c1
a2 c2
若按斜线交叉相乘，再相加正好得a1c2+a2c1=b，则ax2+bx+c分解因式为（a1x+c1）（a2x+c2）。
二、合作探究：
把下列各式因式分解：
1、 2
3、 4、
5、 6、
归纳：
因式分解的一般步骤
把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先 ；
（2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 来分解；
（3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用十字相乘法来分解；
（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能 为止。
三、当堂检测：
教材P20-21复习题一
第一章单元测试卷
姓名： 班级：
（总分：100分）
一、精心选一选（每题2分，共20分）
1、下列从左到右的变形，属于分解因式的是( )
A、 B、
C、 D、
2、多项式各项的公因式是( )
A、 B、 C、 D、
3、下列分解因式正确的是( )
A、
B、
C、
D、
4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A、 B、 C、 D、
5、把多项式分解因式，正确的是( )
A、 B、
C、 D、
6、下列多项式分解因式后，含有因式(x+1)的多项式是( )
A.x2+1 B.x2-1 C.x2-2x+1 D.x2+x+1
7、下列各式中属于完全平方式的是( )
A、 B、
C、 D、
8、如果多项式分解因式的结果是，那么b，c的值分别是( )
A、－3，2 B、2，－3 C、―1，―6 D、―6， ―1
9、已知,x+y=3,x-y=1,则x2-y2 的值为 （ ）
( A )1 ( B) 2 (C ) 3 ( D )4
10、利用分解因式计算22011－22010，则结果是 （ ）
( A )2 ( B ) 1 ( C )22010 ( D ) 22011
二、耐心填一填（每题2分，共20分）
11、单项式a2b与 ab2的公因式是
12、分解因式：=_________________；
13．若一个多项式分解因式的结果为(a+2)(a-3)，则这个多项式为
14、已知，，则的值为__________________；
15、x2-(________)+25y2=(________________)2；
16、已知一个长方形的面积为，它的长为，那么它的宽是__________________m。
17、如果，那么分解因式的结果是______________________；
18、已知(x-x2)+ (x2-y)=1,求代数式=
19、在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取x=10，y=10，用上述方法产生的密码是____________；
20、把加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，请你写出所有符合条件的单项式___________________；
三、细心想一想（60分）
21、将下列各式分解因式：（每小题5分，共30分）
(1) x3y-xy3 (2) －5a2b3+20ab2－5ab
(3)(2m－3n)2－2m+3n (4)9(x-y)2-16(y-z)2
(5) (6)8a(x－y)2－4b(y－x)
22．利用简便方法计算下列各题（每小题5分，共10分）
（1）991×1009 （2）20112-4022×2010+20102
22、先化简，再求值：（每小题10分，共20分）
(1)[(3a－7)2－(a+5)2]÷(4a－24)，其中a=．
(2)已知x2+y2-2x+4y+5=0,求(x+1)(y-1)的值