5.3.1 简单的轴对称图形（1）（课件）（共33张PPT）

(共33张PPT)
5.3.1简单的轴对称图形（1）
第五章
生活中的轴对称
七年级数学下册（北师大版）
学习目标
1 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。
2 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。
3 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。
　
导入新课
2.在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴 ，对应线段 ，对应角 .
垂直平分
相等
相等
1.如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 .
互相重合
对称轴
一个轴对称图形的对称轴可能是一条，也有可能
是多条.
　
导入新课
问题：下列图片中有你熟悉的几何图形吗？
讲授新课
等腰三角形的性质
A
B
C
等腰三角形定义:
有两条边相等的三角形, 叫做等腰三角形.
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边,
底边与腰的夹角叫做底角.
两腰所夹的角叫做顶角,
腰
腰
底边
顶角
底角
讲授新课
等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.
你是如何得到问题的答案的？
直接想象
折叠操作
折叠验证
想象过程
讲授新课
找出等腰△ABC的对称轴.
等腰三角形底边的中线所在的直线.
等腰三角形底边的高所在的直线.
你同意他们的观点吗？
讲授新课
把等腰三角形沿折痕AD对折后，左右两边重合，所以等腰三角形是轴对称图形；
重合的线段：
AB＝AC
BD＝CD　　
∠BAD＝∠CAD
重合的角：
B
A
C
D
其中重合的线段和重合的角有：
1
2
4
3
∠ADB＝∠ADC
∠B＝∠C
（ ∠1＝∠2 ）
（ ∠3＝∠4 ）
讲授新课
B
A
C
D
(1)BD=CD，
AD为底边上的中线.
(2)∠BAD=∠CAD，
AD为顶角的平分线.
(3)∠ADB=∠ADC=90°
AD为底边上的高.
(4)∠B =∠C .
等腰三角形的两个底角相等.
讲授新课
1.等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
A
B
C
D
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,AD是∠BAC的平分线，求证：直线AD是等腰△ABC的对称轴.
证明：
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD＝∠ CAD.
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
∠BAD＝∠ CAD
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴直线AD是等腰△ABC的对称轴.
讲授新课
A
B
C
D
证明：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
BD＝ CD
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴直线AD是等腰△ABC的对称轴.
2.等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线.求证：直线AD是等腰△ABC的对称轴.
讲授新课
3.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴.
A
B
C
D
如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.
求证：直线AD是等腰△ABC的对称轴.
证明：
∵AD⊥BC,
∴∠BDA＝∠CDA=90°.
∴直线AD是等腰△ABC的对称轴.
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(HL)．
讲授新课
4.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
A
B
C
D
证明：
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
∠BAD＝∠ CAD
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴BD=CD,
∠BDA＝∠ CDA．
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠ CAD.
求证：AD⊥BC，BD＝CD.
∵∠BDA+∠ CDA=180°，
∴∠BDA＝∠ CDA=90°.
∴AD⊥BC.
讲授新课
证明：
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC
BD＝ CD
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD,
∠BDA＝∠ CDA．
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD=CD.
求证：∠BAD＝∠ CAD，AD⊥BC.
4.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
A
B
C
D
∵∠BDA+∠ CDA=180°，
∴∠BDA＝∠ CDA=90°.
∴AD⊥BC.
讲授新课
证明：
∵AD⊥BC,
∴∠BDA＝∠CDA=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB＝AC
AD=AD,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)．
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC.
求证：∠BAD＝∠ CAD，AD⊥BC.
4.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
A
B
C
D
∴∠BAD＝∠CAD,
BD＝ CD．
讲授新课
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
“知其一”，
“得另二”！
A
B
C
D
在△ABC中，AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD.
在△ABC中，AB＝AC，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC，BD＝CD.
在△ABC中，AB＝AC，
∵BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC.
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.
归纳总结
等腰三角形的两个底角相等.
讲授新课
等边三角形的性质
（1）等边三角形有几条对称轴？
等边三角形有三条对称轴.
等边三角形是特殊的等腰三角形.
一般到特殊！
讲授新课
（2）你能发现它的哪些特征？
等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都是60°.
∵△ ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B= ∠C=60°.
文字语言：
几何语言：
A
C
B
等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴。
等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（简称“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。
归纳总结
等边三角形的各角都相等，都等于60°
当堂检测
1. 一个等边三角形的对称轴共有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
C
2.下列图形一定是轴对称图形的是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
D.不等边三角形 E.钝角三角形 F.等边三角形
C、F
当堂检测
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
当堂检测
4. 一个等腰三角形的周长为11 cm,其中一边长为3 cm,则其余两边长为 (　　)
A.3 cm,5 cm B.4 cm,4 cm
C.3 cm,5 cm或4 cm,4 cm D.以上都不对
C
5.如果ΔABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A. 某一条边上的高。
B. 某一条边上的中线。
C. 平分一角和这个角的对边的直线。
D. 某一个角的平分线。
C
当堂检测
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB
于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；
②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD；
④若点P在直线AD上，则PB＝PC.
其中正确的是(　　)
A．①　　 B．①②　　
C．①②③　　D．①②③④
D
当堂检测
7.填空：
（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 ；
（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是______ ；
（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角等于____________ ；
20°或50°
100°
45°
当堂检测
8.如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M. 试说明：CM＝MD.
解：如图，连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SAS)．
所以AC＝AD.
又因为AM⊥CD，
所以CM＝MD.
当堂检测
9. 用三角尺和直尺作图.(不写作法,保留作图痕迹)如图,
点A,B在直线l的同侧.(1)试在直线l上取一点M,使MA+MB的值最小;(2)试在直线l上取一点N,使NB-NA的值最大.
解:(1)如图所示:
(2)如图所示:
当堂检测
10.已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图②
图①
当堂检测
证明：(1)如图①，过A作
AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
当堂检测
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
课堂小结
等腰三角形的性质
轴对称图形
等腰三角形
三线合一
等边对等角
等边三角形的性质
三线合一
轴对称图形
各角都相等
，都为60度
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