5.3.3 简单的轴对称图形（3）（课件）-（共25张PPT）

(共25张PPT)
5.3.3简单的轴对称图形（3）
第五章
生活中的轴对称
七年级数学下册（北师大版）
学习目标
1．利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题。掌握尺规作线段垂直平分线．
2．在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉．了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
　
导入新课
A
B
D
C
E
下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？
讲授新课
角平分线的性质
探究：如图所示，角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？
将 ∠AOB 对折， 你发现了什么？
答：角是轴对称图形．
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴．
讲授新课
做一做：
（1） 在一张纸上任意画 ∠AOB， 沿角的两边将角剪下， 将这个角对折， 使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.
（2） 在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？
答：重合
CD＝CE
改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗
验证猜想
已知：如图所示，OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB，垂足分别为D，E. 试说明：CD=CE.
解：
∵ CD⊥OA,CE⊥OB，
∴ ∠CDO= ∠CEO=90 °.
在△CDO和△CEO中，
∠CDO= ∠CEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △CDO ≌△CEO(AAS).
∴CD=CE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
几何格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
角平分线的性质
讲授新课
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且∠ B= ∠ C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： 因为AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
所以 DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在△BDE 和 △CDF中，
所以△BDE ≌ △CDF(AAS).
所以EB=FC.
∠ B= ∠C ，
DE=DF ，
∠DEB=∠DFC
讲授新课
例2 如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试说明：PM＝PN.
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD (SAS)，
∴∠ADB＝∠CDB.
又∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.
具体运用是：
一平分两垂直得相等
优势：
相比三角形全等，更加简洁
讲授新课
尺规作角平分线
例1 利用尺规，作∠AOB的平分线(如图).
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：1.在OA和OB上分别截取OD，OE，
使OD＝OE.
2.分别以D，E为圆心、以大于 DE的长
为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
3.作射线OC.
OC就是∠AOB的平分线(如图).
A
B
M
N
C
O
你能说明其中的数学依据吗？
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
在△OCM和△OCN中
OM=ON
CM=CN
OC=OC
∴△OCM ≌ △OCN（SSS）
∴∠AOC=∠BOC
证明：∠AOC=∠BOC
原理验证
讲授新课
练一练：先任意画一个角，然后将它四等分.
作法：画出已知角∠AOB .
1.作∠AOB 的平分线OC.
2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE，即将∠AOB四等分 .
O
B
A
C
E
D
讲授新课
练一练：利用尺规，作∠AOB的平分线．
已知：∠AOB．
求作：射线 OC，使∠AOC =∠BOC．
2．分别以D，E为圆心．大于 DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
作法：
1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．
3．作射线OC．
OC就是∠AOB的平分线．
O
B
A
C
E
D
当堂检测
1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
当堂检测
2. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　)
A．PC＝PD
B．∠CPO＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO
D．OC＝OD
B
当堂检测
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是(　　)
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
A
当堂检测
4.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，
交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．6
A
当堂检测
6.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
5. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，
BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
当堂检测
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
若BC＝5 cm，BD＝3 cm，则点D到AB的距离为_____．
2cm
当堂检测
8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是_____
60
当堂检测
9. 如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE=CF.
解：因为CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
所以DE＝DF, ∠DCE= ∠DCF, ∠DEC= ∠DFC.
所以△CDE≌△CDF(AAS)，
所以CE＝CF.
当堂检测
10.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的
交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
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