第八讲 简易方程
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第八讲 简易方程
知识点一 用字母表示数
1 用字母表示数的意义和作用
* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
（1）常见的数量关系路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，
三者之间的关系： s=vt v=s/t t=s/v
总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，
三者之间的关系： a=bc b=a/c c=a/b
（2）运算定律和性质
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc）
乘法分配律：（a+b）c=ac+bc 减法的性质：a-（b+c） =a-b-c
（3）用字母表示几何形体的公式
长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用S表示。 c=2（a+b） S=ab
正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用S表示。 c=4a S=a2
平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用S表示。 S=ah
三角形的底用a表示，高用h表示，面积用S表示。 S=ah/2
梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用S表示。S=（a+b）h/2 , S=mh
圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用C表示，面积用S表示。
C=πd=2πr S=πr2
扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用S表示。S=nπr2/360
长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用S表示，体积用V表示。
V=sh S=2（ab+ah+bh） V=abh
正方体的棱长用a表示，底面周长C用表示，底面积用S表示， 体积用V表示，
S=6a2 V=a3
圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表示。
S侧=ch S表=S侧+2S底 V=sh
圆锥的高用h表示，底面积用S表示， 体积用V表示。V=sh/3。
3 用字母表示数的写法数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
4 将数值代入式子求值。
* 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。
* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。
知识点二 简易方程
1、等式的含义：表示相等关系的式子。
2、方程的含义：含有未知数的等式叫做方程。
3、方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式却不全是方程。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立。
4、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
5、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
知识点三 等式的性质
性质1：等式两边同时加上(或减去)相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b 那么有a+c=b+c
性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等
若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0）
知识点四 列方程解应用题
1 、列方程解应用题的方法
* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。
* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
2、列方程解应用题的范围小学范围内常用方程解的应用题：a一般应用题；b和倍、差倍问题；c几何形体的周长、面积、体积计算；d 分数、百分数应用题；e 比和比例应用题。
知识点五 式与方程知识试题精选
一、填空题。
学校买来a个足球，每个b元；又买来9个篮球，每个45元。ab表示( )；ab＋9×45表示( )。
一本故事书有a页，小华每天看8页，看了b天，还剩( )页未看。
如果a=3b（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
摆1个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆3个需要10根小棒，摆n个正方形需要( )根小棒。
小红比小刚多a元，那么小红给小刚( )元，两人的钱数相等。
m千克油菜子可以榨出n千克菜子油，每榨出1千克菜子油需要( )千克油菜子，1千克油菜子可以榨出( )千克菜子油。
列式表示下面各数。
⑴比80大x的数是( )；
⑵一件衬衣a元，一件毛衣的价格比它的3倍少b元，毛衣的价格是( )元；
⑶b的4倍与c的和是( )。
M与N是两种相关联的量，a、b、c、d（都不为0）是它们其中的两组相对应的值。如下表：
M a b ……
N c d ……
⑴如果a:c=b:d，那么M、N成( )比例；
⑵如果a×c=b×d，那么M、N成( )比例。
若a：b=2：3，b：c=1：2，且a＋b＋c=66，则a=( )，b=( )。
用含字母的式子表示“比a的2倍多8的数”是( )。当a=1.2时，这个式子的值是( )。
如果y=，那么和y成( )比例，比值是( )。
7.5:1.5化成最简整数比是( )，比值是( )。
一个自然保护区天鹅和丹顶鹤数量的比是4：1。已知丹顶鹤和天鹅共105只，天鹅有( )只。
五年级向希望工程捐款x元，比四年级多45元，四年级和五年级共捐款多少元？列式为( )。
一堆化肥共6吨，按1：3：4分给甲、乙、丙三个村，甲村分得这堆化肥的，乙村分得( )吨。
在地图上，如果用1厘米代表60千米的话，那么这幅地图的比例尺是( )。
上虞市南北长约60千米，在比例尺是的地图上长度约是( )厘米。在这幅地图上量得上虞市东西长18厘米，东西的实际距离大约是( )千米。
250千克：0.5吨化成最简整数比是( )：( )，比值是( )。
14：( )==0.7=7÷( )= ( )%。
光明小学制作的“八荣八耻”展板长495厘米、宽330厘米，长和宽的最简整数比是( )，比值是( )。
二、判断题
1、人的年龄与身高成正比例。 ( )
2、圆的半径和面积成正比例。 ( )
3、两种相关联的量不成正比例，就成反比例。 ( )
4、甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是6：5。 ( )
5、如果a÷b=5，那么a一定被b整除。 ( )
6、如果数a能够被2整除，则a＋1必定是奇数。 ( )
7、如果是假分数，那么一定是真分数。 ( )
8、在中，和y可以表示任何自然数。 ( )
9、含有未知数等式是方程。 ( )
10、解方程=1的第一步是=÷1。 ( )
11、=50%，，则。 ( )
12、10=0，这个方程没有解。 ( )
13、比的前项和后项同时扩大20倍，比值也扩大20倍。 ( )
三、选择题。
甲车间的人数比乙车间的2倍多a人，乙车间有40人，甲车间有( )人。
A 40＋a B 40－a C (40－a)÷2 D 40×2＋a
“小勇今年a岁，爸爸今年b岁，爸爸比小勇大k岁。m年后，爸爸比小勇大多少岁？”可列出等式( )。
A a－b＝k B b－a＝k＋m C b－a＝k D b－a＝m
下面四个算式中，结果一定等于的是( )。（其中A=3B，B≠0）
A （A＋A）÷B B A÷（B＋B） C B×（A－A） D B÷（A＋A）
a、b是两个不为0的自然数，a÷b=6，a和b最小公倍数是( )。
A a B b C 6
将逄式×（a＋4）改写成×a＋4，新算式的结果比原算式( )。
A 大了 B 小了2 C 大了2 D 大了4
把一张长方形的图按1：18的比例放大后，长和宽的比( )。
A 不变 B 变了 C是1：18
下列选项中的两种量成正比例关系的是( )。
A 人的体重和身高
B 平行四边形面积一定，它的底和高
C 单价一定，总价和数量
D 今年订阅《小学教学》杂志的份数和钱数
六（2）班某天的出勤率是90%，缺勤人数比出勤人数的比是( )。
A 1：9 B 9：1 C 1：10 D 10：1
在一张比例尺是1：5000000的地图上，量得金华到杭州的距离为4厘米，则金华到杭州的实际距离是( )。
A 2000米 B 200千米 C 2000千米 D 20000米
把5千克盐溶解在100千克水里，盐和盐水的质量比是( )。
A 1：20 B 1：21 D 1：19
当时，：y:= ( )。
A ： B 5：3 C 1：15 D 3：5
已知a=b（a、b都不为0），下面比例( )不能成立。
A ：=b：a B a：b=： C ：a=：b D ：=a：b
第一小学共有教师120人，男教师人数是女教师人数的。求男教师有多少人？
解：设男教师有人。下列方程正确有有哪些？( )
①＋2=120 ②＋=120 ③= ④=
A ①③ B ②④ C ①④ D ②③
因为2：4=，12.5%：=，所以2：4和12.5%：可以组成比例，这是根据( )判断的。
A 比的意义 B 比的基本性质 C 比例的意义 D 比例的基本性质
四、解方程（比例）
2－4=16 4－2=3×18 12（2＋3）=42 4（＋1）=3（＋2）
7―25=13.5 ―0.2=5.2 ―2=6 ―=
―=24 ＋= ＋0.5=4.2 (125%0=36
=20% ―15%=8.5 6.8―32%= 2:3=:0.6
=1:4 :=16: :0.5=3:
知识点五 方程法解题
例题1
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出，则比黑白电视机多5台。问：两种电视机原来各有多少台？
疯狂操练1
1、姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、学校有篮球和足球共21个，篮球借出后，比足球少1个，原来篮球和足球各有多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、小明家养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉，还比鸭多17只，小明家原来养的鸡和鸭各有多少只？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
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例题2
某公司向银行申请A、B两种贷款共60万元，每年共需付利息5万元。A种贷款年利率为8%，B种贷款年利率为9%，该公司申请了A种贷款多少万元？
疯狂操练2
1、二年级两个班共有学生90人，其中少先队员71人，一班少先队员占本班人数的75%，二班少先队员占本班人数的，一班少先队员比二班少先队员多几人？
2、甲、乙两个容器共有药水2000克。从甲容器里取出的药水，从乙容器里取出的药水，结果两个容器里共剩下1400克药水。甲、乙两个容器里原来各有药水多少克？
3、有两堆棋子，A堆有白子500个和黑子350个，B堆有白子100个和黑子400个。为了使A堆中黑子占50%，B堆中黑子占75%，要从B堆中拿到A堆的黑、白子各为多少个？
例题3
甲、乙两数的和是300，甲数的比乙数的多55，甲、乙两数各是多少？
疯狂操练3
1、畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的比绵羊的多50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件个数的比徒弟加工零件个数的多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的比甲班种的少16棵，两个班各种多少棵？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题4
育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加，女学生减少，共有710人，本学期男、女学生各有多少人？
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疯狂操练4
1、袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加，黄球减少2/5后，红球与黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、金放在水里称，重量减轻，银放在水里称，重量减少，一块重770克的金银合金，放在水里称是720克，这块合金含金、银各多少克？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题5
某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的共有42个，两种零件各生产了多少个？
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疯狂操练5
1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、有两盒球，第一盒比第二盒多15只，第二盒中全部是红球，第一盒中的是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有的人、乙班有的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题6
阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少，女生减少，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
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疯狂操练6
1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线电小组的同学减少，参加航模小组的人数减少，这样，两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？
2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加，乙书架上的书增加，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少本？
3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少，生产的乙种零件比昨天增加，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生产了多少个？
例题7
甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的比乙校参加人数的少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
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疯狂操练7
1、学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？
2、某校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各多少人？
3、王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两人各加工零件多少个？
例题8
现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟年龄只是哥哥的，今年哥哥多少岁？
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疯狂操练8
1、今年小红的年龄是爸爸年龄的，4年后，小红的年龄是爸爸年龄的，小红、爸爸今年各是多少岁？
2、原来学校书法组的人数是美术组人数的，这学期书法组合美术组各增加了5人。现在书法组的人数是美术组的，原来书法组和美术组各多少人？
3、原来甲书架上的书是乙书架上的书的，后来从甲书架搬60本书到乙书架。这时甲书架上的书是乙书架的，原来两个书架各有多少本书？
假设法解题
专题简析：
假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据它与实际条件的矛盾求解。
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。
例题1
一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两人合作这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用多少天？
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疯狂操练1
1、一件工作，甲独做15天完成，乙独做10天完成，两队合作若干天后甲休息了几天，结果共用8天才完成了任务。甲休息了几天？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、一项工程，甲、乙两人合作 12天可以完成。中途甲因事停工5天，因此用了15天完成。甲独做这项工程要用多少天？
3、一项工程，甲、乙合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的。甲、乙单独做这项工程各需多少天？
例题2
水果店里西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5。如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后，白兰瓜正好卖完，西瓜还剩36个。水果店里原有西瓜多少个？
疯狂操练2
1、红星幼儿园白皮球的个数与红皮球的个数的比是3:5,给每个班发4个白皮球和10个红皮球，结果发现红皮球刚好发完，还多18个白皮球。红星幼儿园有多少个班？
2、食堂里面粉的重量是大米的，每天吃去30吨面粉，45吨大米，若干天后，面粉正好吃完，大米还有150吨，食堂里原有面粉多少吨？
3、师徒两人加工一批零件，师傅的任务比徒弟多，徒弟每天做7个，师傅每天做12个，若干天后，师傅正好完成了任务，徒弟还有30个没做。这批零件共有多少个？
例题3
王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两人各买了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？
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疯狂操练3
1、甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有多少粒？
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例题4
小红的彩笔枝数是小刚的，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的，两人原来各有彩笔多少枝？
疯狂操练4
1、小华今年的年龄是爸爸年龄的，4年后小华的年龄是爸爸的，求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、小红今年的年龄是妈妈的，10年后小红的年龄是妈妈的，小红今年多少岁？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两个书架上各增加90本书后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两个书架上原来各有多少本书？
例题5
王芳原有的图书本数是李卫的，两人各捐给“希望工程”10本后，则王芳的图书的本数是李卫的，两人原来各有图书多少本？
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疯狂操练5
1、甲书架上的书是乙书架上的，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上的书是乙书架上的，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
小明今年的年龄是爸爸的，10年前小明的年龄是爸爸的，小明和爸爸今年各多少岁？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、甲车间的工人是乙车间的，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人只占乙车间的，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题6
某校六年级男生人数是女生的，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的，现在男、女生各有多少人？
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疯狂操练6
1、甲车间的工人是乙车间的，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲车间的人数是乙车间的，现在甲、乙两个车间各有多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、有一堆围棋子，黑子是白子的，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是白子的，现在白子、黑子各有多少粒？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？
知识点一 用字母表示数
1 用字母表示数的意义和作用
* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
（1）常见的数量关系路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，
三者之间的关系： s=vt v=s/t t=s/v
总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，
三者之间的关系： a=bc b=a/c c=a/b
（2）运算定律和性质
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=a（bc）
乘法分配律：（a+b）c=ac+bc 减法的性质：a-（b+c） =a-b-c
（3）用字母表示几何形体的公式
长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用S表示。 c=2（a+b） S=ab
正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用S表示。 c=4a S=a2
平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用S表示。 S=ah
三角形的底用a表示，高用h表示，面积用S表示。 S=ah/2
梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用S表示。S=（a+b）h/2 , S=mh
圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用C表示，面积用S表示。
C=πd=2πr S=πr2
扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用S表示。S=nπr2/360
长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用S表示，体积用V表示。
V=sh S=2（ab+ah+bh） V=abh
正方体的棱长用a表示，底面周长C用表示，底面积用S表示， 体积用V表示，
S=6a2 V=a3
圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表示。
S侧=ch S表=S侧+2S底 V=sh
圆锥的高用h表示，底面积用S表示， 体积用V表示。V=sh/3。
3 用字母表示数的写法数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
4 将数值代入式子求值。
* 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。
* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。
知识点二 简易方程
1、等式的含义：表示相等关系的式子。
2、方程的含义：含有未知数的等式叫做方程。
3、方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式却不全是方程。注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立。
4、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
5、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
知识点三 等式的性质
性质1：等式两边同时加上(或减去)相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b 那么有a+c=b+c
性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等
若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0）
知识点四 列方程解应用题
1 、列方程解应用题的方法
* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。
* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
2、列方程解应用题的范围小学范围内常用方程解的应用题：a一般应用题；b和倍、差倍问题；c几何形体的周长、面积、体积计算；d 分数、百分数应用题；e 比和比例应用题。
知识点五 式与方程知识试题精选
一、填空题。
学校买来a个足球，每个b元；又买来9个篮球，每个45元。ab表示( )；ab＋9×45表示( )。
一本故事书有a页，小华每天看8页，看了b天，还剩( )页未看。
如果a=3b（a、b都是不为0的自然数），那么a和b的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
摆1个正方形需要4根小棒，摆2个需要7根小棒，摆3个需要10根小棒，摆n个正方形需要( )根小棒。
小红比小刚多a元，那么小红给小刚( )元，两人的钱数相等。
m千克油菜子可以榨出n千克菜子油，每榨出1千克菜子油需要( )千克油菜子，1千克油菜子可以榨出( )千克菜子油。
列式表示下面各数。
⑴比80大x的数是( )；
⑵一件衬衣a元，一件毛衣的价格比它的3倍少b元，毛衣的价格是( )元；
⑶b的4倍与c的和是( )。
M与N是两种相关联的量，a、b、c、d（都不为0）是它们其中的两组相对应的值。如下表：
M a b ……
N c d ……
⑴如果a:c=b:d，那么M、N成( )比例；
⑵如果a×c=b×d，那么M、N成( )比例。
若a：b=2：3，b：c=1：2，且a＋b＋c=66，则a=( )，b=( )。
用含字母的式子表示“比a的2倍多8的数”是( )。当a=1.2时，这个式子的值是( )。
如果y=，那么和y成( )比例，比值是( )。
7.5:1.5化成最简整数比是( )，比值是( )。
一个自然保护区天鹅和丹顶鹤数量的比是4：1。已知丹顶鹤和天鹅共105只，天鹅有( )只。
五年级向希望工程捐款x元，比四年级多45元，四年级和五年级共捐款多少元？列式为( )。
一堆化肥共6吨，按1：3：4分给甲、乙、丙三个村，甲村分得这堆化肥的，乙村分得( )吨。
在地图上，如果用1厘米代表60千米的话，那么这幅地图的比例尺是( )。
上虞市南北长约60千米，在比例尺是的地图上长度约是( )厘米。在这幅地图上量得上虞市东西长18厘米，东西的实际距离大约是( )千米。
250千克：0.5吨化成最简整数比是( )：( )，比值是( )。
14：( )==0.7=7÷( )= ( )%。
光明小学制作的“八荣八耻”展板长495厘米、宽330厘米，长和宽的最简整数比是( )，比值是( )。
二、判断题
1、人的年龄与身高成正比例。 ( )
2、圆的半径和面积成正比例。 ( )
3、两种相关联的量不成正比例，就成反比例。 ( )
4、甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是6：5。 ( )
5、如果a÷b=5，那么a一定被b整除。 ( )
6、如果数a能够被2整除，则a＋1必定是奇数。 ( )
7、如果是假分数，那么一定是真分数。 ( )
8、在中，和y可以表示任何自然数。 ( )
9、含有未知数等式是方程。 ( )
10、解方程=1的第一步是=÷1。 ( )
11、=50%，，则。 ( )
12、10=0，这个方程没有解。 ( )
13、比的前项和后项同时扩大20倍，比值也扩大20倍。 ( )
三、选择题。
甲车间的人数比乙车间的2倍多a人，乙车间有40人，甲车间有( )人。
A 40＋a B 40－a C (40－a)÷2 D 40×2＋a
“小勇今年a岁，爸爸今年b岁，爸爸比小勇大k岁。m年后，爸爸比小勇大多少岁？”可列出等式( )。
A a－b＝k B b－a＝k＋m C b－a＝k D b－a＝m
下面四个算式中，结果一定等于的是( )。（其中A=3B，B≠0）
A （A＋A）÷B B A÷（B＋B） C B×（A－A） D B÷（A＋A）
a、b是两个不为0的自然数，a÷b=6，a和b最小公倍数是( )。
A a B b C 6
将逄式×（a＋4）改写成×a＋4，新算式的结果比原算式( )。
A 大了 B 小了2 C 大了2 D 大了4
把一张长方形的图按1：18的比例放大后，长和宽的比( )。
A 不变 B 变了 C是1：18
下列选项中的两种量成正比例关系的是( )。
A 人的体重和身高
B 平行四边形面积一定，它的底和高
C 单价一定，总价和数量
D 今年订阅《小学教学》杂志的份数和钱数
六（2）班某天的出勤率是90%，缺勤人数比出勤人数的比是( )。
A 1：9 B 9：1 C 1：10 D 10：1
在一张比例尺是1：5000000的地图上，量得金华到杭州的距离为4厘米，则金华到杭州的实际距离是( )。
A 2000米 B 200千米 C 2000千米 D 20000米
把5千克盐溶解在100千克水里，盐和盐水的质量比是( )。
A 1：20 B 1：21 D 1：19
当时，：y:= ( )。
A ： B 5：3 C 1：15 D 3：5
已知a=b（a、b都不为0），下面比例( )不能成立。
A ：=b：a B a：b=： C ：a=：b D ：=a：b
第一小学共有教师120人，男教师人数是女教师人数的。求男教师有多少人？
解：设男教师有人。下列方程正确有有哪些？( )
①＋2=120 ②＋=120 ③= ④=
A ①③ B ②④ C ①④ D ②③
因为2：4=，12.5%：=，所以2：4和12.5%：可以组成比例，这是根据( )判断的。
A 比的意义 B 比的基本性质 C 比例的意义 D 比例的基本性质
四、解方程（比例）
2－4=16 4－2=3×18 12（2＋3）=42 4（＋1）=3（＋2）
7―25=13.5 ―0.2=5.2 ―2=6 ―=
―=24 ＋= ＋0.5=4.2 (125%0=36
=20% ―15%=8.5 6.8―32%= 2:3=:0.6
=1:4 :=16: :0.5=3:
知识点五 方程法解题
例题1
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出，则比黑白电视机多5台。问：两种电视机原来各有多少台？
疯狂操练1
1、姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、学校有篮球和足球共21个，篮球借出后，比足球少1个，原来篮球和足球各有多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、小明家养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉，还比鸭多17只，小明家原来养的鸡和鸭各有多少只？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
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例题2
某公司向银行申请A、B两种贷款共60万元，每年共需付利息5万元。A种贷款年利率为8%，B种贷款年利率为9%，该公司申请了A种贷款多少万元？
疯狂操练2
1、二年级两个班共有学生90人，其中少先队员71人，一班少先队员占本班人数的75%，二班少先队员占本班人数的，一班少先队员比二班少先队员多几人？
2、甲、乙两个容器共有药水2000克。从甲容器里取出的药水，从乙容器里取出的药水，结果两个容器里共剩下1400克药水。甲、乙两个容器里原来各有药水多少克？
3、有两堆棋子，A堆有白子500个和黑子350个，B堆有白子100个和黑子400个。为了使A堆中黑子占50%，B堆中黑子占75%，要从B堆中拿到A堆的黑、白子各为多少个？
例题3
甲、乙两数的和是300，甲数的比乙数的多55，甲、乙两数各是多少？
疯狂操练3
1、畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的比绵羊的多50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件个数的比徒弟加工零件个数的多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的比甲班种的少16棵，两个班各种多少棵？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题4
育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加，女学生减少，共有710人，本学期男、女学生各有多少人？
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疯狂操练4
1、袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加，黄球减少2/5后，红球与黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、金放在水里称，重量减轻，银放在水里称，重量减少，一块重770克的金银合金，放在水里称是720克，这块合金含金、银各多少克？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题5
某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的共有42个，两种零件各生产了多少个？
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疯狂操练5
1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、有两盒球，第一盒比第二盒多15只，第二盒中全部是红球，第一盒中的是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有的人、乙班有的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题6
阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少，女生减少，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
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疯狂操练6
1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线电小组的同学减少，参加航模小组的人数减少，这样，两个组的同学一样多。去年两个小组各有多少人？
2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加，乙书架上的书增加，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少本？
3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少，生产的乙种零件比昨天增加，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生产了多少个？
例题7
甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的比乙校参加人数的少1人，甲、乙两校各有多少人参加？
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疯狂操练7
1、学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？
2、某校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各多少人？
3、王师傅和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两人各加工零件多少个？
例题8
现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟年龄只是哥哥的，今年哥哥多少岁？
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疯狂操练8
1、今年小红的年龄是爸爸年龄的，4年后，小红的年龄是爸爸年龄的，小红、爸爸今年各是多少岁？
2、原来学校书法组的人数是美术组人数的，这学期书法组合美术组各增加了5人。现在书法组的人数是美术组的，原来书法组和美术组各多少人？
3、原来甲书架上的书是乙书架上的书的，后来从甲书架搬60本书到乙书架。这时甲书架上的书是乙书架的，原来两个书架各有多少本书？
假设法解题
专题简析：
假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据它与实际条件的矛盾求解。
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。
例题1
一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两人合作这批零件，中途甲因事请假一天，完成这批零件共用多少天？
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疯狂操练1
1、一件工作，甲独做15天完成，乙独做10天完成，两队合作若干天后甲休息了几天，结果共用8天才完成了任务。甲休息了几天？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、一项工程，甲、乙两人合作 12天可以完成。中途甲因事停工5天，因此用了15天完成。甲独做这项工程要用多少天？
3、一项工程，甲、乙合作4天后，再由乙单独做5天完成，已知甲比乙每天多完成这项工程的。甲、乙单独做这项工程各需多少天？
例题2
水果店里西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5。如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后，白兰瓜正好卖完，西瓜还剩36个。水果店里原有西瓜多少个？
疯狂操练2
1、红星幼儿园白皮球的个数与红皮球的个数的比是3:5,给每个班发4个白皮球和10个红皮球，结果发现红皮球刚好发完，还多18个白皮球。红星幼儿园有多少个班？
2、食堂里面粉的重量是大米的，每天吃去30吨面粉，45吨大米，若干天后，面粉正好吃完，大米还有150吨，食堂里原有面粉多少吨？
3、师徒两人加工一批零件，师傅的任务比徒弟多，徒弟每天做7个，师傅每天做12个，若干天后，师傅正好完成了任务，徒弟还有30个没做。这批零件共有多少个？
例题3
王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两人各买了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？
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疯狂操练3
1、甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有多少粒？
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例题4
小红的彩笔枝数是小刚的，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的，两人原来各有彩笔多少枝？
疯狂操练4
1、小华今年的年龄是爸爸年龄的，4年后小华的年龄是爸爸的，求小华和爸爸今年的年龄各是多少岁？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、小红今年的年龄是妈妈的，10年后小红的年龄是妈妈的，小红今年多少岁？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两个书架上各增加90本书后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两个书架上原来各有多少本书？
例题5
王芳原有的图书本数是李卫的，两人各捐给“希望工程”10本后，则王芳的图书的本数是李卫的，两人原来各有图书多少本？
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疯狂操练5
1、甲书架上的书是乙书架上的，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上的书是乙书架上的，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
小明今年的年龄是爸爸的，10年前小明的年龄是爸爸的，小明和爸爸今年各多少岁？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、甲车间的工人是乙车间的，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人只占乙车间的，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题6
某校六年级男生人数是女生的，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的，现在男、女生各有多少人？
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疯狂操练6
1、甲车间的工人是乙车间的，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲车间的人数是乙车间的，现在甲、乙两个车间各有多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、有一堆围棋子，黑子是白子的，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子是白子的，现在白子、黑子各有多少粒？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
3、爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？
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