第九讲 比与比例
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第九讲 比与比例
知识点一 比和比例及比的意义和性质
（1） 比的意义两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
（2）比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
（3）求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
（4）比例尺 图上距离：实际距离=比例尺，要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
（5）按比例分配 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
知识点二 比例的意义和性质
（1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
（2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
（3）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
（4）判断两个比是否可以组成比例：①看两个比的比值是否相等②看两个比的外项之积是否等于内项之积。
知识点三 正比例和反比例
（1） 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k（一定）。
（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定）。
下面举出一些两个变数成正比例关系的例子。
速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，路程与速度成正比。B、亩产量一定时，播种面积与总产量成正比；播种面积一定时，总产量与亩产量成正比。C、工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比；工作时间一定时，工作总量与工作效率成正比。 D、又如商品单价一定，则商品总价与商品数量也成正比例。E、圆的周长与直径（或半径）成正比；圆的面积与半径的平方成正比。同学们还可以举出很多两个变数成正比例的例子，注意成正比例的关键在于两个变数的比恒定。
下面举出一些两个变数成反比例关系的例子。
A、路程一定时，速度与时间成反比例关系，即：速度×时间=路程（定值）。
B、总产量一定时，亩产量与播种面积成反比，即：亩产量×播种面积=总产量（定值）。
知识点四 比与比例基础训练
一．填空。
(1)因为l2:6=( )，2.4:1.2=( )，所以这两个比组成的比例是( )。
(2)比值是的两个比是( ):( )和( ):( )，把这两个比组成比例是( )。
(3)如果A×8=B×ll，那么A:B=( ): ( )，=。
(4)把线段比例尺改写成数值比例尺是( )。
(5)小王加工一种零件，实际长度是0.5mm，图上长度是2cm，比例尺是( )。
(6)在比例尺是的地图上，1cm表示实际距离( )千米。如果在这幅地图上量得甲乙两地的距离是3.5cm，那么甲乙两地之间实际相距( )千米。
(7)一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是3.5，另一个内项是( )。
(8)长方形的长和宽之比是6:5，长是12cm，长方形的面积是( )。
二．判断题(对的在括号里打“√”，错的打“×”)。(每题2分，共10分)
(1)圆锥的高和体积成正比例。 ( )
(2)7:9=:。 ( )
(3)购买《羊城晚报》的份数和钱数成正比例。 ( )
(4)修一段公路，已修的米数和未修的米数成反比例。 ( )
(5)A的相当于B的，A:B=5:7。 ( )
(6)图上距离一定小于实际距离。 ( )
(7)任意两个比值相等的比都能组成比例。 ( )
(8)正方形的边长和面积。 ( )
三．选择题(把正确答案的序号填在括号里)。
(1)0.6×1.2=1.8×0.4组成的比例式是( )。
①0.6:1.2=1.8:0.4 ②0.6:1.8=1.2:0.4 ③0.6:1.8=0.4:1.2
(2)把边长是8cm的正方形按1:2的比例缩小后画在图纸上，新的正方形的面积是 ( ) 。
①16 ②32 ③64
(3)将0.75，，2再配上( )可以组成比例。
① ② ③1
(4)一道比例式中，已知两个内项的积为，一个外项为2，另一个外项为( )。
① ② ③
(5)在钟面上，分针和时针旋转速度的比是( )。
①60:1 ②20:1 ③12:1
(6)下面成正比例的是（ ）。
①圆的半径和面积 ②小东从家到学校的步行速度和所用时间
③正方形的周长和边长
四．解比例。
32:x=8:5 = 4.5:10=0.8:x
五．下面是一辆汽车所行驶路程和时间的对应数值表：
请在右图中描出表示所行驶路程和对应时间的点，
然后把它们连起来。
六．解决问题。
(1)学校要挖一个长方体水池，在比例尺是1:200的设计图上，水池的长为12cm，宽为lOcm，深为2cm。
①按图施工，这个水池的长、宽、深各应挖多少米
②这个水池的占地面积是多少平方米
(2)小芳骑自行车从家到购书中心，速度是15千米/时，0.8小时到达。如果速度是16千米/时，需要几小时才能到达
(3)何倩倩调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了25ml蜂蜜和200ml水；照第一杯蜂蜜水中
蜂蜜和水的比计算，300ml水中应加入蜂蜜多少毫升
(4)洗衣机厂生产一批洗衣机。6个月生产了5100台，按照这样的效率，再生产2个月就完成任务了，这批洗衣机共多少台
(5)要装一批酒精，已知用容量是500ml的瓶子需要装7瓶，用容量是lOOml的瓶子需要装多少瓶
知识点四 比与比例达标训练
一、填空。
1．一个分数的分子和分母的比是2:3，分子与分母的和是60，这个分数原来是( )。
2．把:0.75化成最简整数比是( )，比值是( )。
3．给3:7的前项加上6，要使比值不变，后项应加上( )。
4．买25支圆珠笔的钱正好可以买18支钢笔，买27支钢笔的钱也正好可以买30支圆规。圆珠笔、钢笔和圆规单价的最简比是( )。
5．12的因数有( )，从中选出四个数组成一个比例是( )。
6.=( ):56==( )%=( )(填小数)
7．有一块长方形草坪，长50米，宽28米，画在一张图形土，量得长是2.5厘米，这幅图的比例尺是( )，图中的宽是( )厘米。
8．某厂原来男、女职工的人数之比为2:3，在新调入男职互36人后，男、女职工的人数之比为4:5，现在的男职工比女职工少( )人。
9．将20克糖全部溶解在100克水中，糖和糖水的质量比是( )，比值是( )。
10．如果，那么a与b成( )比例。如果，那么a与b成( )比例。
二、解比例。
1．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前行，前甲车到达B地时，乙车离A地还有60千米，已知两车的速度比为3:2。求甲、乙两车的速度。
2．育英小学原来男、女生人数的比是7:5，后来又转来12名女生，这时男、女生人数的比是9:7。学校现有女生多少人
3．某工厂第四季度共生产零件1410个，其中10月与11月的产量比是6:7，12月与11月的产量比是3:2，这三个月的产量之比是多少 这三个月各生产零件多少个
4．某市居民天然气收费标准如下:每户每月用气4立方米以下(含4立方米)，每立方米1．8
元；当超过4立方米时，超出部分每立方米3元。某月A、B两户共缴费26．4元广用气量之比为5：3。
问：A、B两户各应缴费多少元
5．服装厂要生产一批校服，第一周完成的套数与总套数的比是1:5。如果再生产240套，就完成这批校服的一半。这批校服共多少套
知识点四 比与比例提高训练
四、解决问题。
1.在比例尺是1:16000000的地图上量得A、B两地相距6厘米。甲、乙两车分别从A、B两地同时对开，经过10小时相遇，已知甲、乙两车的速度是5:7，甲、乙两车每小时各行多少千米
2．贝贝和丽丽都积攒了一些零用钱，她们所攒钱的比是7:5，在支援灾区捐款活动中贝贝捐了26元，丽丽捐了10元，这时她们剩下的钱数相等。贝贝原来有多少钱
3．小华的书架有上、下两层，原来上层书的本数是下层的，现在小华又买来12本书放在了上层，这时上层和下层书的本数比为5:4。原来小华的书架的上层和下层各有图书多少本
4．甲、乙两校原有人数的比是6:5，甲校毕业了200人，乙校毕业了125人后，两校人数的比为8：7。原来两校各有多少人
5．一艘轮船以每小时40千米的速度从甲港开往乙港，行了全程的20%后，又行了1小时，这时未行路程与已行路程的比是3:1。甲、乙两港相距多少千米
6．两个相同容器中各装满盐水，第一个容器中盐和水的比为3:2，第二个容器中盐与水的比为4:3，把这两个容器中的盐水都倒入另一个容器，问：混合溶液中盼盐与水比是多少
趣题荟萃
1．猎狗发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间兔却能跑3步。问：狗追上兔时共跑了多少米的路程
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3:2。他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米
知识点四 比与比例突破训练
专题简析：
我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。
例题1
光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动。已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组人数的比是4:5。这三个小组各有多少人？
①一、二两组人数的比 2:3
二、三两组人数的比 4:5
一、二、三组人数的比 8:12:15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×＝32（人）
④第二组：140×＝48（人）
⑤第三组：140×＝60（人）
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疯狂操练1
1、某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的面积比是7:2，棉田与其他作物面积的比6:1。每种作物各是多少公亩？
2、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5:4，第二组与第三组人数的比是3:2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？
3、科技组与作文组人数的比是9:10，作文组与数学组人数的比是5:7。已知数学组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
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例题2
甲、乙两校原有图书本数的比是7:5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3:4。原来甲校有图书多少本？
650÷（－）×＝2450（本）
疯狂操练2
1、小明读一本书，已读和未读的页数比是1:5。如果再读30页，则已读和未读的页数之比为3:5。这本书共有多少页？
2、甲、乙两包糖的重量比是4:1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比为7:5。原来甲包有多少克糖？
3、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的，二班与三班参加比赛人数的比是11:13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？
例题3
甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有35米，丙离B还有68米；当乙跑到B时，丙离B还有40米，A、B相距多少米？
疯狂操练3
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，当甲到达B地时，乙车距A地30千米，当乙车到达A地时，甲车超过B地40千米，A、B两地相距多少千米？
2、小刚和小明进行了100米短跑比赛（假定二人的速度均不变）。当小刚跑了90米时，小明距终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？
3、甲、乙两人各加工同样多的零件，同时加工，当甲完成任务时，乙还有150个没有完成，当乙完成任务时，甲可以超额完成250个，这批零件总数共多少个？
例题4
两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比
③ 两个瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比
④ 水占一个瓶子容积的比
2－ ＝
⑤ 混合液中酒精与水的比
:＝31:9
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疯狂操练4
1、两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2:5，另一块合金中铜与锌的比是1:3。现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的比。
2、将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2:1，乙队已修的与剩下的比是5:2。这条公路已修了全长的几分之几？
3、光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的，照这样的速度计算，全年可超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？
例题5
甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间比甲少，求甲、乙两人速度的比。
（1）甲、乙路程的比：（1+）:1＝6:5
（2）甲、乙时间的比：1:（1－）＝11:10
（3）甲、乙速度的比：:=12:11
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疯狂操练5
1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多，小芳用的时间比小明多。求小明和小芳速度的比。
2、甲走的路程比乙多，乙用的时间比甲多。求甲、乙的速度比。
3、一个人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？
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例题6
制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？
甲、乙、丙工作效率的比：
::＝15:18:20
总份数：15+18+20＝53
甲:1590×＝450（个）
乙:1590×＝540（个）
丙:1590×＝600（个）
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疯狂操练6
1、加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？
2、甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，比乙制造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少。甲、乙、丙各制造了多少个零件？
3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48个、32个、28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少名工人？
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例题7
有甲、乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重120克，乙杯盐水重80克。现在从两杯中倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中。这时两杯新盐水的含盐率相同。从每杯中倒出的盐水是多少克？
疯狂操练7
1、有甲、乙两瓶含糖率不同的橙汁。甲瓶橙汁重150克，乙瓶橙汁重200克，现将甲、乙两瓶倒出等量的橙汁并交换倒入瓶中，这时两瓶中的含糖率相等。各倒出橙汁多少克？
2、有甲、乙两块含铜率不等的合金，甲块重12千克，乙块重18千克。现从两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块上剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相等，从每块上切下的部分各重多少千克？
3、有甲、乙两杯含糖率不同的糖水，甲杯中糖水重240克，乙杯中糖水重160克，现从两杯中倒出重量相等的糖水，分别交换倒入两只杯中，这时两杯新糖水的含糖率正好相同，每杯中倒出的糖水重多少克？
例题8
A、B两种商品的价格比是7:3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7:4，这两种商品原来的价格各是多少元？
解法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7:3＝21:9
现价格比＝7:4＝28:16
这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21＝）7份，是70元。
70÷（28－21）＝10元
A：10×21＝210（元）
B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的价格是价格差的几倍
7÷（7－3）＝
（2）后来A商品的价格是价格差的几倍
7÷（7－4）＝
（3）A、B两种商品的价格差是
70÷（－）＝120（元）
（4）原来A商品的价格是
120÷（7－3）×7＝210（元）
（5）原来B商品的价格是
120÷（7－3）×3＝90（元）
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疯狂操练8
用两种思路解答下列应用题：
1、甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4:3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥重量的比是3:4。原来甲队有水泥多少吨？
2、甲书架上的书是乙书架上的，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？
3、兄弟两人，每年收入的比是4:3，每年支出的比是18:13。从年初到年底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？
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例题9
甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4:3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米，再往两个容器注入同样多是水，直到水深相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？
疯狂操练9
1、甲、乙两个长方体容器，底面积之比为4:5，甲容器水深8厘米，乙容器水深12厘米，再往两个容器中注入同样多的水，直到水深相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？
2、甲、乙两个正方体容器，底面积的比为2:5，甲容器水深比乙容器水低6厘米，再往两个容器注入同样多的水，恰好两个容器的水深都是18厘米，原来甲容器中的水深多少厘米？
3、有A、B两个圆柱体容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的，现在往两个容器里以每分0.4升的速度注入。4分钟后，两个容器的水面高度相等。已知B容器的底面半径为5分米，求A容器的底面积。
知识点一 比和比例及比的意义和性质
（1） 比的意义两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
（2）比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
（3）求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
（4）比例尺 图上距离：实际距离=比例尺，要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
（5）按比例分配 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
知识点二 比例的意义和性质
（1） 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
（2）比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
（3）解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
（4）判断两个比是否可以组成比例：①看两个比的比值是否相等②看两个比的外项之积是否等于内项之积。
知识点三 正比例和反比例
（1） 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字母表示y/x=k（一定）。
（2）成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k（一定）。
下面举出一些两个变数成正比例关系的例子。
速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，路程与速度成正比。B、亩产量一定时，播种面积与总产量成正比；播种面积一定时，总产量与亩产量成正比。C、工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比；工作时间一定时，工作总量与工作效率成正比。 D、又如商品单价一定，则商品总价与商品数量也成正比例。E、圆的周长与直径（或半径）成正比；圆的面积与半径的平方成正比。同学们还可以举出很多两个变数成正比例的例子，注意成正比例的关键在于两个变数的比恒定。
下面举出一些两个变数成反比例关系的例子。
A、路程一定时，速度与时间成反比例关系，即：速度×时间=路程（定值）。
B、总产量一定时，亩产量与播种面积成反比，即：亩产量×播种面积=总产量（定值）。
知识点四 比与比例基础训练
一．填空。
(1)因为l2:6=( )，2.4:1.2=( )，所以这两个比组成的比例是( )。
(2)比值是的两个比是( ):( )和( ):( )，把这两个比组成比例是( )。
(3)如果A×8=B×ll，那么A:B=( ): ( )，=。
(4)把线段比例尺改写成数值比例尺是( )。
(5)小王加工一种零件，实际长度是0.5mm，图上长度是2cm，比例尺是( )。
(6)在比例尺是的地图上，1cm表示实际距离( )千米。如果在这幅地图上量得甲乙两地的距离是3.5cm，那么甲乙两地之间实际相距( )千米。
(7)一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是3.5，另一个内项是( )。
(8)长方形的长和宽之比是6:5，长是12cm，长方形的面积是( )。
二．判断题(对的在括号里打“√”，错的打“×”)。(每题2分，共10分)
(1)圆锥的高和体积成正比例。 ( )
(2)7:9=:。 ( )
(3)购买《羊城晚报》的份数和钱数成正比例。 ( )
(4)修一段公路，已修的米数和未修的米数成反比例。 ( )
(5)A的相当于B的，A:B=5:7。 ( )
(6)图上距离一定小于实际距离。 ( )
(7)任意两个比值相等的比都能组成比例。 ( )
(8)正方形的边长和面积。 ( )
三．选择题(把正确答案的序号填在括号里)。
(1)0.6×1.2=1.8×0.4组成的比例式是( )。
①0.6:1.2=1.8:0.4 ②0.6:1.8=1.2:0.4 ③0.6:1.8=0.4:1.2
(2)把边长是8cm的正方形按1:2的比例缩小后画在图纸上，新的正方形的面积是 ( ) 。
①16 ②32 ③64
(3)将0.75，，2再配上( )可以组成比例。
① ② ③1
(4)一道比例式中，已知两个内项的积为，一个外项为2，另一个外项为( )。
① ② ③
(5)在钟面上，分针和时针旋转速度的比是( )。
①60:1 ②20:1 ③12:1
(6)下面成正比例的是（ ）。
①圆的半径和面积 ②小东从家到学校的步行速度和所用时间
③正方形的周长和边长
四．解比例。
32:x=8:5 = 4.5:10=0.8:x
五．下面是一辆汽车所行驶路程和时间的对应数值表：
请在右图中描出表示所行驶路程和对应时间的点，
然后把它们连起来。
六．解决问题。
(1)学校要挖一个长方体水池，在比例尺是1:200的设计图上，水池的长为12cm，宽为lOcm，深为2cm。
①按图施工，这个水池的长、宽、深各应挖多少米
②这个水池的占地面积是多少平方米
(2)小芳骑自行车从家到购书中心，速度是15千米/时，0.8小时到达。如果速度是16千米/时，需要几小时才能到达
(3)何倩倩调制了两杯蜂蜜水，第一杯用了25ml蜂蜜和200ml水；照第一杯蜂蜜水中
蜂蜜和水的比计算，300ml水中应加入蜂蜜多少毫升
(4)洗衣机厂生产一批洗衣机。6个月生产了5100台，按照这样的效率，再生产2个月就完成任务了，这批洗衣机共多少台
(5)要装一批酒精，已知用容量是500ml的瓶子需要装7瓶，用容量是lOOml的瓶子需要装多少瓶
知识点四 比与比例达标训练
一、填空。
1．一个分数的分子和分母的比是2:3，分子与分母的和是60，这个分数原来是( )。
2．把:0.75化成最简整数比是( )，比值是( )。
3．给3:7的前项加上6，要使比值不变，后项应加上( )。
4．买25支圆珠笔的钱正好可以买18支钢笔，买27支钢笔的钱也正好可以买30支圆规。圆珠笔、钢笔和圆规单价的最简比是( )。
5．12的因数有( )，从中选出四个数组成一个比例是( )。
6.=( ):56==( )%=( )(填小数)
7．有一块长方形草坪，长50米，宽28米，画在一张图形土，量得长是2.5厘米，这幅图的比例尺是( )，图中的宽是( )厘米。
8．某厂原来男、女职工的人数之比为2:3，在新调入男职互36人后，男、女职工的人数之比为4:5，现在的男职工比女职工少( )人。
9．将20克糖全部溶解在100克水中，糖和糖水的质量比是( )，比值是( )。
10．如果，那么a与b成( )比例。如果，那么a与b成( )比例。
二、解比例。
1．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，2小时相遇。相遇后两车继续前行，前甲车到达B地时，乙车离A地还有60千米，已知两车的速度比为3:2。求甲、乙两车的速度。
2．育英小学原来男、女生人数的比是7:5，后来又转来12名女生，这时男、女生人数的比是9:7。学校现有女生多少人
3．某工厂第四季度共生产零件1410个，其中10月与11月的产量比是6:7，12月与11月的产量比是3:2，这三个月的产量之比是多少 这三个月各生产零件多少个
4．某市居民天然气收费标准如下:每户每月用气4立方米以下(含4立方米)，每立方米1．8
元；当超过4立方米时，超出部分每立方米3元。某月A、B两户共缴费26．4元广用气量之比为5：3。
问：A、B两户各应缴费多少元
5．服装厂要生产一批校服，第一周完成的套数与总套数的比是1:5。如果再生产240套，就完成这批校服的一半。这批校服共多少套
知识点四 比与比例提高训练
四、解决问题。
1.在比例尺是1:16000000的地图上量得A、B两地相距6厘米。甲、乙两车分别从A、B两地同时对开，经过10小时相遇，已知甲、乙两车的速度是5:7，甲、乙两车每小时各行多少千米
2．贝贝和丽丽都积攒了一些零用钱，她们所攒钱的比是7:5，在支援灾区捐款活动中贝贝捐了26元，丽丽捐了10元，这时她们剩下的钱数相等。贝贝原来有多少钱
3．小华的书架有上、下两层，原来上层书的本数是下层的，现在小华又买来12本书放在了上层，这时上层和下层书的本数比为5:4。原来小华的书架的上层和下层各有图书多少本
4．甲、乙两校原有人数的比是6:5，甲校毕业了200人，乙校毕业了125人后，两校人数的比为8：7。原来两校各有多少人
5．一艘轮船以每小时40千米的速度从甲港开往乙港，行了全程的20%后，又行了1小时，这时未行路程与已行路程的比是3:1。甲、乙两港相距多少千米
6．两个相同容器中各装满盐水，第一个容器中盐和水的比为3:2，第二个容器中盐与水的比为4:3，把这两个容器中的盐水都倒入另一个容器，问：混合溶液中盼盐与水比是多少
趣题荟萃
1．猎狗发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间兔却能跑3步。问：狗追上兔时共跑了多少米的路程
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是3:2。他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有7千米，那么A、B两地的距离是多少千米
知识点四 比与比例突破训练
专题简析：
我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。
例题1
光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动。已知第一小组和第二小组人数的比是2:3，第二小组和第三小组人数的比是4:5。这三个小组各有多少人？
①一、二两组人数的比 2:3
二、三两组人数的比 4:5
一、二、三组人数的比 8:12:15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×＝32（人）
④第二组：140×＝48（人）
⑤第三组：140×＝60（人）
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疯狂操练1
1、某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的面积比是7:2，棉田与其他作物面积的比6:1。每种作物各是多少公亩？
2、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5:4，第二组与第三组人数的比是3:2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？
3、科技组与作文组人数的比是9:10，作文组与数学组人数的比是5:7。已知数学组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
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例题2
甲、乙两校原有图书本数的比是7:5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校图书本数的比就是3:4。原来甲校有图书多少本？
650÷（－）×＝2450（本）
疯狂操练2
1、小明读一本书，已读和未读的页数比是1:5。如果再读30页，则已读和未读的页数之比为3:5。这本书共有多少页？
2、甲、乙两包糖的重量比是4:1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比为7:5。原来甲包有多少克糖？
3、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的，二班与三班参加比赛人数的比是11:13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？
例题3
甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有35米，丙离B还有68米；当乙跑到B时，丙离B还有40米，A、B相距多少米？
疯狂操练3
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，当甲到达B地时，乙车距A地30千米，当乙车到达A地时，甲车超过B地40千米，A、B两地相距多少千米？
2、小刚和小明进行了100米短跑比赛（假定二人的速度均不变）。当小刚跑了90米时，小明距终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？
3、甲、乙两人各加工同样多的零件，同时加工，当甲完成任务时，乙还有150个没有完成，当乙完成任务时，甲可以超额完成250个，这批零件总数共多少个？
例题4
两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比
③ 两个瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比
④ 水占一个瓶子容积的比
2－ ＝
⑤ 混合液中酒精与水的比
:＝31:9
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疯狂操练4
1、两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是2:5，另一块合金中铜与锌的比是1:3。现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的比。
2、将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2:1，乙队已修的与剩下的比是5:2。这条公路已修了全长的几分之几？
3、光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的，照这样的速度计算，全年可超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？
例题5
甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间比甲少，求甲、乙两人速度的比。
（1）甲、乙路程的比：（1+）:1＝6:5
（2）甲、乙时间的比：1:（1－）＝11:10
（3）甲、乙速度的比：:=12:11
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疯狂操练5
1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多，小芳用的时间比小明多。求小明和小芳速度的比。
2、甲走的路程比乙多，乙用的时间比甲多。求甲、乙的速度比。
3、一个人步行每小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？
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例题6
制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零件？
甲、乙、丙工作效率的比：
::＝15:18:20
总份数：15+18+20＝53
甲:1590×＝450（个）
乙:1590×＝540（个）
丙:1590×＝600（个）
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疯狂操练6
1、加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？
2、甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟，比乙制造一个零件所用的时间多25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少。甲、乙、丙各制造了多少个零件？
3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48个、32个、28个，现有118名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道工序应安排多少名工人？
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例题7
有甲、乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重120克，乙杯盐水重80克。现在从两杯中倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中。这时两杯新盐水的含盐率相同。从每杯中倒出的盐水是多少克？
疯狂操练7
1、有甲、乙两瓶含糖率不同的橙汁。甲瓶橙汁重150克，乙瓶橙汁重200克，现将甲、乙两瓶倒出等量的橙汁并交换倒入瓶中，这时两瓶中的含糖率相等。各倒出橙汁多少克？
2、有甲、乙两块含铜率不等的合金，甲块重12千克，乙块重18千克。现从两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块上剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相等，从每块上切下的部分各重多少千克？
3、有甲、乙两杯含糖率不同的糖水，甲杯中糖水重240克，乙杯中糖水重160克，现从两杯中倒出重量相等的糖水，分别交换倒入两只杯中，这时两杯新糖水的含糖率正好相同，每杯中倒出的糖水重多少克？
例题8
A、B两种商品的价格比是7:3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比就是7:4，这两种商品原来的价格各是多少元？
解法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7:3＝21:9
现价格比＝7:4＝28:16
这样前后项的差都是12，价格涨了（28－21＝）7份，是70元。
70÷（28－21）＝10元
A：10×21＝210（元）
B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。
（1）原来A商品的价格是价格差的几倍
7÷（7－3）＝
（2）后来A商品的价格是价格差的几倍
7÷（7－4）＝
（3）A、B两种商品的价格差是
70÷（－）＝120（元）
（4）原来A商品的价格是
120÷（7－3）×7＝210（元）
（5）原来B商品的价格是
120÷（7－3）×3＝90（元）
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疯狂操练8
用两种思路解答下列应用题：
1、甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4:3。甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥重量的比是3:4。原来甲队有水泥多少吨？
2、甲书架上的书是乙书架上的，两书架上各增加154本后，甲书架上的书是乙书架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？
3、兄弟两人，每年收入的比是4:3，每年支出的比是18:13。从年初到年底，他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？
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例题9
甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4:3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米，再往两个容器注入同样多是水，直到水深相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？
疯狂操练9
1、甲、乙两个长方体容器，底面积之比为4:5，甲容器水深8厘米，乙容器水深12厘米，再往两个容器中注入同样多的水，直到水深相等，这样甲容器的水面应上升多少厘米？
2、甲、乙两个正方体容器，底面积的比为2:5，甲容器水深比乙容器水低6厘米，再往两个容器注入同样多的水，恰好两个容器的水深都是18厘米，原来甲容器中的水深多少厘米？
3、有A、B两个圆柱体容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的，现在往两个容器里以每分0.4升的速度注入。4分钟后，两个容器的水面高度相等。已知B容器的底面半径为5分米，求A容器的底面积。
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