第三讲 整数、小数、分数、百分数的运算
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第三讲 整数、小数、分数、百分数的运算
知识点一 四则运算的意义
整数加法、小数加法、分数加法的意义：把两个数合成一个数的运算
整数减法、小数减法、分数减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算
整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算
小数乘法的意义：小数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少。
整数乘分数的意义：一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少
分数乘整数的意义：分数乘整数，就是求几个相同分数的和的简便运算
整数除法、小数除法、分数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。
知识点二 四则运算的计算方法
1、加减法的计算方法
（1）整数的加法：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就要向前一位进一。
（2）整数的减法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减要从前一位上退一，在本位上加上10再减。
（3）小数的加减法：计算小数加减法时，先把小数点对齐（也就是相同的数位对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点
（4）分数的加减法：同分母的分数相加减，分母不变，只把分子相加减；异分母的分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
2、乘法的计算方法
（1）整数的乘法：从低位到高位分别用因数的每一位去乘另一个因数；用一个因数的哪一位去乘，求得的数的末位就要和那一位对齐；然后把几次求得的积加起来
（2）小数乘法：先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点
（3）分数乘法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
3、除法的计算方法
（1）整数的除法：从被除数的高位除起，除数有几位就先看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面；每次除得的余数必须比除数小；在求出商的最高位以后，如果被除数的哪一位上不够商1，就在那一位上写0
（2）小数除法：除数是整数时，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。除数是小数时，要先把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，然后按照除数是整数的除法进行计算。
（3）分数的除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
知识点三 整数四则运算中各部分间的关系
1、加法：和=加数+加数 加数=和－另一个加数
2、减法：差=被减数－减数 减数=被减数－差 被减数=减数+差
3、乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数
4、除法：商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
知识点四 四则运算的估算方法
根据算式中各数的特点，估算时一般是将其中的大数看作整十、整百、整千……的数，使原式通过口算便可求出得数。由于得数是近似值，所以计算时要用≈连接
知识点五 四则运算定律、运算性质
1、运算定律
（1）加法结合律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变 a+b=b+a
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个相加，它们的和不变。a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
（3）乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。a×b=b×a
（4）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后面两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。a×b×c=(a×b) ×c=a×(b×c)
（5）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积加起来。(a+b) ×c=a×c+b×c a×(b+c)=a×b+a×c
2、运算性质
（1）减法的运算性质：a－(b+c)=a－b－c a－(b－c)=a－b+c
（2）除法的运算性质（除数不为0）：
a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a－b) ÷c=a÷c－b÷c
知识点六 四则混合运算的顺序
四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
（1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算。
（2）在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
疯狂操练一
(8＋3)－( － ) 13.76－(＋1.76＋1)
(×)×(13×18) 19.98×37－199.8×1.9＋1998×0.82
35.2÷9＋35.2÷ 0.25×1.25×320
6×＋13÷4－18×0.25 0.32×6.7＋3.2×0.43－0.32
7.6×÷【1.9－1.9×(1.9－1.9)】 2.5×12.5×32－37－563
1×1×1×1×1 9－15÷19－×2
3.26×【1÷(－)】 (＋)＋(－)－(＋)
(2.5＋2.5＋2.5＋2.5) ×25×8 (＋＋＋)×(1－)
(6.9×0.125×1.75) ÷(2.3××) 【(－÷2) ×＋1÷6】÷0.01
0.61×0.25＋0.18×＋0.21×25% (3＋÷＋3) －(7×÷7×)
【5－(0.5×9＋×)】÷ (12＋) ×2.5＋(9＋10)× 2
1×【7＋(4.125－)－4】 5－【1－(2.5－1)】÷0.125
1000÷32÷0.25÷1.25
知识点七 简便运算一
专题简析：
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
例题1
计算：4.75－9.63＋（8.25－1.37）
疯狂操练1
计算下面各题：
1、6.73－2＋(3.27－1) 2、
3、14.15－（）－2.125 4、
例题2
计算：36×1.09＋1.2×67.3
疯狂操练2
计算：
1、45×2.08＋1.5×37.6 2、52×11.1＋2.6×778
3、48×1.08＋1.2×56.8 4、72×2.09－1.8×73.6
例题3
计算：333387
疯狂操练3
计算下面各题：
1、 2、
3、 4、
例题4
计算：
疯狂操练4
计算下面各题：
1、 2、
3、
例题5
计算：81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5
疯狂操练5
1、53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5
2、235×12.1＋235×42.2－135×54.3
3、3.75×735－×5730＋16.2×62.5
例题6
计算：
疯狂操练6
计算下面各题：
1、99999×77778＋33333×66666 2、34.5×76.5－345×6.42－123×1.45
3、77×13＋255×999＋510
知识点八 简便运算二
专题简析：
在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。
在后面的四个例题中，将着重向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如的分数可以拆成；形如的分数可以拆成；形如的分数可以拆成等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
例题1
计算：（1） （2）
疯狂操练1
用简便方法计算下面各题:
1、×8 2、×126 3、35×
4、73× 5、×1999
例题2
计算：73×
疯狂操练2
计算下面各题：
1、64× 2、22×
3、×57 4、41×＋51×
例题3
计算：
疯狂操练3
计算下面各题：
1、×39＋×27 2、×35＋×17
3、×5＋×5＋×10
例题4
计算：
疯狂操练4
计算下面各题：
1、 2、
3、 4、
例题5
计算：
疯狂操练5
计算下面各题：
1、
2、
3、
4、
例题6
计算
疯狂操练6
计算下面各题：
1、
2、+++……+
3、
4、＋＋＋＋
例题7
计算：
疯狂操练7
计算下面各题：
1、
2、
3、
4、
例题8
计算：
疯狂操练8
计算下面各题：
1、……
2、
3、9.6＋99.6＋999.6＋9999.6＋99999.6
知识点九 转化为单位“1”
专题简析：
解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。
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例题1
有两筐梨。乙筐是甲筐的，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的。
甲、乙两筐梨共重多少千克？
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疯狂操练1
1、某小学低年级原有少先队员是非少先队员的，后来又有39名同学加入少先队组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的。低年级有学生多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的，后来从合格产品中又发现2个不合格产品，这时算出产品的合格率是94％。合格产品共有多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题2
某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的。后来又买进20根长跳绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？
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疯狂操练2
1、阅览室看书的同学中，女同学占，从阅览室走出5位女同学后，看书的同学中，女同学占，原来阅览室一共有多少名同学在看书？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，这堆糖中有奶糖多少千克？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
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例题3
有两段布，一段布长40米，另一段布长30米，把两段布都用去同样长的一部分后，发现
短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的，每段布用去多少米？
疯狂操练3
1、有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根绳上各剪去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的，两根绳各剪去多少米？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的时，儿子多少岁？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
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例题4
某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占，后来又运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视机多少台？
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疯狂操练4
1、书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占。后来又运来一批科技书，这时科技书占两种书总和的，现在两种书各有多少包？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手占，正式比赛时，有几名女选手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的。问：正式参赛的女选手有多少人？
例题5
甲数是乙数、丙数、丁数之和的，乙数是甲数、丙数、丁数之和的，丙数是甲数、乙数、丁数之和的。已知丁数是260，求甲、乙、丙、丁四数之和。
疯狂操练5
1、甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其它三个队的，乙队筑的路是其它三个队的，丙队筑的路是其它三个队的，丁队筑路多少米？
甲、乙、丙三人共同购买一艘游艇，甲支付的钱是其余两人的，乙支付的钱是其余两人的，丙支付的钱恰好是5000元。这艘游艇的单价是多少元？
知识点十 牛吃草问题
专题简析：
牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。
例题1
一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周。那么这片草地可供21头牛吃几周？
疯狂操练1
1、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？
2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天？
例题2
由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
疯狂操练2
1、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？
2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？
例题3
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
疯狂操练3
1、自动扶梯以均匀速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走了25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟、小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共多少级台阶？
2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共多少级台阶？
例题4
一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？
疯狂操练4
1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水30立方分米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米，注满水箱可少用2.5小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？
例题5
有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
疯狂操练5
1、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
2、快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？
知识点一 四则运算的意义
整数加法、小数加法、分数加法的意义：把两个数合成一个数的运算
整数减法、小数减法、分数减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算
整数乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算
小数乘法的意义：小数乘整数与整数乘法的意义相同；一个数乘小数，就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少。
整数乘分数的意义：一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少
分数乘整数的意义：分数乘整数，就是求几个相同分数的和的简便运算
整数除法、小数除法、分数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。
知识点二 四则运算的计算方法
1、加减法的计算方法
（1）整数的加法：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就要向前一位进一。
（2）整数的减法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减要从前一位上退一，在本位上加上10再减。
（3）小数的加减法：计算小数加减法时，先把小数点对齐（也就是相同的数位对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点
（4）分数的加减法：同分母的分数相加减，分母不变，只把分子相加减；异分母的分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
2、乘法的计算方法
（1）整数的乘法：从低位到高位分别用因数的每一位去乘另一个因数；用一个因数的哪一位去乘，求得的数的末位就要和那一位对齐；然后把几次求得的积加起来
（2）小数乘法：先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点
（3）分数乘法：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
3、除法的计算方法
（1）整数的除法：从被除数的高位除起，除数有几位就先看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面；每次除得的余数必须比除数小；在求出商的最高位以后，如果被除数的哪一位上不够商1，就在那一位上写0
（2）小数除法：除数是整数时，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐。除数是小数时，要先把除数转化成整数，同时把被除数扩大相同的倍数，然后按照除数是整数的除法进行计算。
（3）分数的除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
知识点三 整数四则运算中各部分间的关系
1、加法：和=加数+加数 加数=和－另一个加数
2、减法：差=被减数－减数 减数=被减数－差 被减数=减数+差
3、乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数
4、除法：商=被除数÷除数 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
知识点四 四则运算的估算方法
根据算式中各数的特点，估算时一般是将其中的大数看作整十、整百、整千……的数，使原式通过口算便可求出得数。由于得数是近似值，所以计算时要用≈连接
知识点五 四则运算定律、运算性质
1、运算定律
（1）加法结合律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变 a+b=b+a
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个相加，它们的和不变。a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
（3）乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。a×b=b×a
（4）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后面两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。a×b×c=(a×b) ×c=a×(b×c)
（5）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积加起来。(a+b) ×c=a×c+b×c a×(b+c)=a×b+a×c
2、运算性质
（1）减法的运算性质：a－(b+c)=a－b－c a－(b－c)=a－b+c
（2）除法的运算性质（除数不为0）：
a÷(b×c)=a÷b÷c a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c (a－b) ÷c=a÷c－b÷c
知识点六 四则混合运算的顺序
四则运算分为两级：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
（1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，再做第一级运算。
（2）在有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
疯狂操练一
(8＋3)－( － ) 13.76－(＋1.76＋1)
(×)×(13×18) 19.98×37－199.8×1.9＋1998×0.82
35.2÷9＋35.2÷ 0.25×1.25×320
6×＋13÷4－18×0.25 0.32×6.7＋3.2×0.43－0.32
7.6×÷【1.9－1.9×(1.9－1.9)】 2.5×12.5×32－37－563
1×1×1×1×1 9－15÷19－×2
3.26×【1÷(－)】 (＋)＋(－)－(＋)
(2.5＋2.5＋2.5＋2.5) ×25×8 (＋＋＋)×(1－)
(6.9×0.125×1.75) ÷(2.3××) 【(－÷2) ×＋1÷6】÷0.01
0.61×0.25＋0.18×＋0.21×25% (3＋÷＋3) －(7×÷7×)
【5－(0.5×9＋×)】÷ (12＋) ×2.5＋(9＋10)× 2
1×【7＋(4.125－)－4】 5－【1－(2.5－1)】÷0.125
1000÷32÷0.25÷1.25
知识点七 简便运算一
专题简析：
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
例题1
计算：4.75－9.63＋（8.25－1.37）
疯狂操练1
计算下面各题：
1、6.73－2＋(3.27－1) 2、
3、14.15－（）－2.125 4、
例题2
计算：36×1.09＋1.2×67.3
疯狂操练2
计算：
1、45×2.08＋1.5×37.6 2、52×11.1＋2.6×778
3、48×1.08＋1.2×56.8 4、72×2.09－1.8×73.6
例题3
计算：333387
疯狂操练3
计算下面各题：
1、 2、
3、 4、
例题4
计算：
疯狂操练4
计算下面各题：
1、 2、
3、
例题5
计算：81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5
疯狂操练5
1、53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5
2、235×12.1＋235×42.2－135×54.3
3、3.75×735－×5730＋16.2×62.5
例题6
计算：
疯狂操练6
计算下面各题：
1、99999×77778＋33333×66666 2、34.5×76.5－345×6.42－123×1.45
3、77×13＋255×999＋510
知识点八 简便运算二
专题简析：
在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。
在后面的四个例题中，将着重向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如的分数可以拆成；形如的分数可以拆成；形如的分数可以拆成等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
例题1
计算：（1） （2）
疯狂操练1
用简便方法计算下面各题:
1、×8 2、×126 3、35×
4、73× 5、×1999
例题2
计算：73×
疯狂操练2
计算下面各题：
1、64× 2、22×
3、×57 4、41×＋51×
例题3
计算：
疯狂操练3
计算下面各题：
1、×39＋×27 2、×35＋×17
3、×5＋×5＋×10
例题4
计算：
疯狂操练4
计算下面各题：
1、 2、
3、 4、
例题5
计算：
疯狂操练5
计算下面各题：
1、
2、
3、
4、
例题6
计算
疯狂操练6
计算下面各题：
1、
2、+++……+
3、
4、＋＋＋＋
例题7
计算：
疯狂操练7
计算下面各题：
1、
2、
3、
4、
例题8
计算：
疯狂操练8
计算下面各题：
1、……
2、
3、9.6＋99.6＋999.6＋9999.6＋99999.6
知识点九 转化为单位“1”
专题简析：
解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。
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例题1
有两筐梨。乙筐是甲筐的，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的。
甲、乙两筐梨共重多少千克？
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疯狂操练1
1、某小学低年级原有少先队员是非少先队员的，后来又有39名同学加入少先队组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的。低年级有学生多少人？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的，后来从合格产品中又发现2个不合格产品，这时算出产品的合格率是94％。合格产品共有多少个？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
例题2
某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的。后来又买进20根长跳绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？
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疯狂操练2
1、阅览室看书的同学中，女同学占，从阅览室走出5位女同学后，看书的同学中，女同学占，原来阅览室一共有多少名同学在看书？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，这堆糖中有奶糖多少千克？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
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例题3
有两段布，一段布长40米，另一段布长30米，把两段布都用去同样长的一部分后，发现
短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的，每段布用去多少米？
疯狂操练3
1、有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根绳上各剪去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的，两根绳各剪去多少米？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的时，儿子多少岁？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
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例题4
某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占，后来又运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视机多少台？
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疯狂操练4
1、书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占。后来又运来一批科技书，这时科技书占两种书总和的，现在两种书各有多少包？答 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
2、某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手占，正式比赛时，有几名女选手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的。问：正式参赛的女选手有多少人？
例题5
甲数是乙数、丙数、丁数之和的，乙数是甲数、丙数、丁数之和的，丙数是甲数、乙数、丁数之和的。已知丁数是260，求甲、乙、丙、丁四数之和。
疯狂操练5
1、甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其它三个队的，乙队筑的路是其它三个队的，丙队筑的路是其它三个队的，丁队筑路多少米？
甲、乙、丙三人共同购买一艘游艇，甲支付的钱是其余两人的，乙支付的钱是其余两人的，丙支付的钱恰好是5000元。这艘游艇的单价是多少元？
知识点十 牛吃草问题
专题简析：
牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。
例题1
一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周。那么这片草地可供21头牛吃几周？
疯狂操练1
1、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？
2、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天？
例题2
由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
疯狂操练2
1、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？
2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展的需要，地球最多能养活多少亿人？
例题3
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
疯狂操练3
1、自动扶梯以均匀速度行驶着，小明和小红要从扶梯上楼。已知小明每分钟走了25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟、小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共多少级台阶？
2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级台阶，女孩可走24级台阶，男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端，该扶梯共多少级台阶？
例题4
一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？
疯狂操练4
1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可以把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有个出水孔，两孔同时打开后，如果每小时注水30立方分米，7小时可以注满水箱；如果每小时注水45立方分米，注满水箱可少用2.5小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？
例题5
有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
疯狂操练5
1、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
2、快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？
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