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第十八章 平行四边形
第14课时 平行四边形的判定（一）
【A组】
1.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD=BC
B. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. AD∥BC，AD=BC
D. AB=AD，CD=BC
C
2. 在下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. ∠A=∠C，∠B=∠D
B. ∠A=∠B=∠C=90°
C. ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
D. ∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°
D
3.如图F18-14-1，小玲的爸爸在制造平行四边形框架时，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形．这种方法的依据是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
4. 在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O.
（1）如果AC=10 cm，BD=8 cm，那么当AO=CO=__________cm，DO=BO=__________cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）如果∠BAD=65°，∠ABC=115°，那么当∠BCD=__________°，∠ADC=__________°时，四边形ABCD为平行四边形.
5
4
65
115
5.如图F18-14-2，在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠D=∠DCE，
∴AD∥BC．
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
6.如图F18-14-3，F，C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF=DC，连接AE，BD．求证：四边形ABDE是平行四边形．
证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠EDF．
∵BC∥EF，
∴∠ACB=∠DFE．
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．∴AB=DE．
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．
∠BAC=∠EDF，
AC=DF，
∠ACB=∠DFE，
【B组】
7. 四边形ABCD的四条边长依次是a，b，c，d，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是_______________，依据是___________________________________________.
平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8. 如图F18-14-4，在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，连接AF,EC，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC. 求证：
（1）O是线段AC的中点；
（2）四边形AFCE是平行四边形.
证明：（1）∵∠AEF＝∠CFE，
∴AD∥BC.
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC，BD互相平分.
∴O是线段AC的中点.
（2）由（1）知AD∥BC，O为AC的中点，
∴∠EAC＝∠FCA，AO=CO.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF（ASA）.
∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∠EAO=∠FCO,
AO=CO,
∠AOE=∠COF,
9. 如图F18-14-5，E，F分别为□ABCD的边AD，BC的中点，分别连接AF，BE交于点G，连接CE，DF交于点H.求证：EF与GH互相平分.
证明：∵E为AD的中点，F为BC的中点，
∴AE= AD，CF= BC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∴AE∥CF，AE=CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴AF∥CE.
同理可证BE∥DF.
∴四边形GFHE是平行四边形.
∴EF与GH互相平分.
10. 如图F18-14-6，以△ABC的三边为一边且在边BC的同侧作等边三角形ABE，BCF，ACG.求证：四边形AEFG是平行四边形.
证明：∵△ABE，△BCF为等边三角形，
∴AB=EB，BF=BC，
∠ABE=∠CBF=60°.
∴∠ABE-∠ABF=∠CBF-∠ABF,
即∠FBE=∠CBA.
在△FBE和△CBA中，
∴△FBE≌△CBA（SAS）.
∴EF=AC.
又∵△AGC为等边三角形，
∴AG=AC.
∴EF=AG.
同理可得AE=GF.
∴四边形AEFG是平行四边形.
BF=BC，
∠FBE=∠CBA，
EB=AB，
【C组】
11. 如图F18-14-7，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6 cm，AD=9 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动．当一点到达终点时，两点均停止运动．
（1）经过几秒，四边形ABQP为平行
四边形？
（2）经过几秒，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
解：（1）设经过t s（0≤t≤3），四边形ABQP是平行四边形．
由题意，得AP=t cm，CQ=2t cm．
∴BQ=BC-CQ=（6-2t）cm．
∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形．
∴t=6-2t．解得t=2．
∴经过2 s，四边形ABQP为平行四边形．
（2）由（1）知，经过2 s，四边形ABQP是平行四边形．
设经过x s（0≤x≤3），直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP．
由题意，得AP=x cm，CQ=2x cm．
∴PD=（9-x）cm．
∵AD∥BC，
∴当CQ=PD时，四边形DCQP是平行四边形．
∴2x=9-x．解得x=3．
综上所述，经过2 s或3 s，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
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第十八章 平行四边形
第17课时 矩形（二）
【A组】
1. 如图F18-17-1，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A. AB=BE B. BE⊥DC
C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE
B
2. 如图F18-17-2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件：________________________,使四边形ABCD为矩形.
AC＝BD（答案不唯一）
3. 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是___________________________________.
对角线相等的平行四边形是矩形
4. 如图F18-17-3，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON=OB，再延长OC至点M，使CM=AN.求证:四边形NDMB为矩形．
证明∶∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB.
∵AN=CM，
∴OA+AN=OC+CM,即ON=OM.
∴四边形NDMB为平行四边形.
又∵ON=OB,
∴MN=BD.
∴四边形NDMB为矩形．
【B组】
5. 如图F18-17-4，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E,F, 则线段EF的最小值为（ ）
A. 6 B.
C. 5 D.
D
6. 如图F18-17-5，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△ABC的外角∠CAF的平分线.若DE∥AB，求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∴∠FAC=2∠ACB.
∵AE平分∠FAC,
∴∠FAC=2∠CAE.
∴∠CAE=∠ACB.
∴AE∥BC．
又∵DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD.
∵AD⊥BC,AB=AC，
∴BD=CD= BC，∠ADC=90°.∴AE=CD．
又∵AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．
【C组】
7. 如图F18-17-6，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC. 设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，连接AE,AF.
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置
时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠ECB．
∵MN∥BC，
∴∠ECB=∠OEC．
∴∠OCE=∠OEC．
∴OC=OE．
同理可得OC=OF．
∴OE=OF．
（2）解：当点O移动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. 理由如下：
当点O移动到AC的中点时，OA=OC.
由（1）知OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形.
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠OCE+∠OCF= ∠ACB+ ∠ACD= (∠ACB+∠ACD)=
×180°=90°.
∴四边形AECF为矩形.
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第十八章 平行四边形
第16课时 矩形（一）
【A组】
1. 如图F18-16-1，在矩形ABCD中，ABA. 8个
B. 6个
C. 4个
D. 2个
C
2. 如图F18-16-2，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
B
3. 如图F18-16-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
B
4. 如图F18-16-4，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E，F分别是BD，DC的中点.若AB＝8，BC＝6，则AE+EF的长为__________.
8
5. 如图F18-16-5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝4，CD＝3. 求直角边BC的长.
解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝6.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC= =2
【B组】
6. 如图F18-16-6，在矩形ABCD中，作CE⊥BD于点E.若∠DCE＝3∠ECB，则∠ACE度数为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 22.5°
C
7.如图F18-16-7，在矩形ABCD中，点E，F分别为边BC，DA延长线上的点，且CE＝AF，连接AE，DE，BF.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AF＝1，AB＝2，AD= 求证：AE平分∠DEB.
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AF=CE，
∴AD+AF=BC+CE，即DF＝BE.
又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF为平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°.
∴∠FAB=180°-∠DAB＝90°.
在Rt△ABF中，AF＝1，AB＝2，
由勾股定理，得BF=
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴DF∥BE，DE＝BF= ∴∠DAE＝∠AEB.
∵AD= ∴DE＝AD.∴∠DAE＝∠DEA.
∴∠AEB＝∠DEA，即AE平分∠DEB.
【C组】
8.如图F18-16-8，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，AE=3，BF=5，求BD的长．
解：如答图F18-16-1，连接BE．
∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，OD=OB．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC．
∴∠ODE=∠OBF．
在△ODE和△OBF中，
∴△ODE≌△OBF（ASA）．
∠ODE＝∠OBF，
OD＝OB，
∠DOE＝∠BOF，
∴DE=BF=5．∴BE=DE=5．
∴AD=AE+DE=8．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB= =4．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
BD= =4
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第十八章 平行四边形
第12课时 平行四边形的性质（一）
【A组】
D
1. 在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（ ）
A. 1∶2∶3∶4 B. 1∶2∶2∶1
C. 2∶2∶1∶1 D. 2∶1∶2∶1
2. 如图F18-12-1，在□ABCD中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=4，则CD的长为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
3. 直线a，b，c是三条平行直线. 已知a与b的距离为7 cm，b与c的距离为3 cm，则a与c的距离为（ ）
A. 4 cm B. 10 cm
C. 3 cm D. 4 cm或10 cm
D
4. 如图F18-12-2，在□ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AE＝3，ED＝1，则ABCD的周长为（ ）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
C
5. 如图F18-12-3，在□ABCD中，点E,F分别为BC,AD边上的点，且BE＝DF. 求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D.
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF（SAS）.∴∠1＝∠2.
AB=CD,
∠B=∠D,
BE=DF,
【B组】
6. 在□ABCD中，∠BAD的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则□ABCD的周长是__________.
22或20
7. 如图F18-12-4，在□ABCD中，AE,AF分别垂直于BC,DC的延长线，垂足分别为点E,F.若∠EAF=30°，AB=6，AD=10，则CD=___________,AB与CD的距离为___________,AD与BC的距离为___________,∠D=___________.
6
5
3
30°
8. 如图F18-12-5，已知□ABCD，点E在BA的延长线上，BE＝CE，CE交AD于点F. 求证：△CDF是等腰三角形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AD∥BC.
∴∠ECB＝∠DFC.
∵BE＝CE，
∴∠B＝∠ECB.
∴∠D＝∠DFC.
∴CD＝CF.∴△CDF是等腰三角形.
【C组】
9. 如图F18-12-6，在□ABCD中，CM平分∠BCD，交AD于点M.
（1）若CD=2，求DM的长；
（2）若M是AD的中点，连接BM，求证：BM平分∠ABC.
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠BCM=∠DMC.
∵CM平分∠BCD，
∴∠BCM=∠DCM.
∴∠DMC=∠DCM.
∴DM=CD=2.
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC．
∴∠AMB=∠CBM．
由（1）知CD=DM，∴AB=DM．
∵M是AD的中点，∴AM=DM．
∴AB=AM．∴∠ABM=∠AMB．
∴∠ABM=∠CBM．
∴BM平分∠ABC．
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第十八章 平行四边形
第18课时 菱形（一）
【A组】
1. 如图F18-18-1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形.其中一定成立的是（ ）
A. ①② B. ③④
C. ②③ D. ①③
D
2. 如图F18-18-2，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，则对角线AC的长是___________.
4
3. 如图F18-18-3是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动菱形衣架. 若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝__________.
120°
4. 如图F18-18-4，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE. 求证：OE=BC.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD.
∴∠DOC=90°.
∴四边形OCED是矩形.
∴OE=CD.
∴OE=BC.
【B组】
5. 如图F18-18-5，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，已知∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（ ）
A. 20° B. 25°
C. 30° D. 40°
A
6. 如图F18-18-6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝2 BD＝2，则AB边上的高DE的长为____________.
7. 如图F18-18-7，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，点F在边CD上. 若∠AEF=60°，求证：BE=DF.
证明：如答图F18-18-1，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，AB∥CD.
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC.∴∠AEC=90°.
∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝∠AEC-∠AEF＝30°.
∵AB∥CD，
∴∠ECF＝180°-∠B=120°.
∴∠EFC＝180°-∠ECF-∠FEC=30°.
∴∠FEC=∠EFC.
∴CE＝CF.
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
【C组】
8.如图F18-18-8，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点．若AB=2 求PB+PE的最小值．
解：如答图F18-18-2，连接BD，交AC于点O，连接DP.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OD=OB．
∴PD=PB．
∴PB+PE=PD+PE．
∴当点D，P，E在同一直线上时，
PD+PE有最小值，此时PD+PE=DE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=AB=2
∴∠BAD=180°-∠ABC=60°．
∴△ABD是等边三角形．
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，AE= AB=
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE= =3．
∴PB+PE的最小值是3．
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第十八章 平行四边形
第15课时 平行四边形的判定（二）
【A组】
1. 如图F18-15-1，在△ABC中，E，F分别为AC，BC中点，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，则EF＝（ ）
A. 3
B. 3.5
C. 4
D. 4.5
A
2. 如图F18-15-2，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE=15 m，则AB=（ ）
A．7.5 m
B．15 m
C．22.5 m
D．30 m
D
3. 如图F18-15-3，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD的周长为14，则AB+BC的长为____________.
14
4. 如图F18-15-4，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD和EF. 求证：CD＝EF.
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线.
∴DE∥BC，DE＝ BC.
∵CF＝ BC，
∴DE＝CF.
又∵DE∥FC，
∴四边形DCFE是平行四边形.
∴CD＝EF.
【B组】
5. 如图F18-15-5,在△ABC中,M是BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN.若AB=14,AC=20,则MN的长是（ ）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 17
B
6. 如图F18-15-6，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于点F，交AB于点G.若AB=8，AC=6，求EF的长.
解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形.
∴AG=AC.
∵AC=6，
∴AG=AC=6，FG=CF.
又∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线.
∴EF= BG.
∵AB=8，
∴BG=AB-AG=8-6=2.
∴EF= BG=1.
【C组】
7.（创新题）在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：________________________________．
DE∥BC，且DE= BC
证明：如图F18-15-7，延长DE到点F，使FE=DE，连接CF……
（1）补全求证；
（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程．
解：（2）∵点E是AC的中点，
∴AE=CE．
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（SAS）．
DE=FE，
∠AED＝∠CEF，
AE＝CE，
∴AD=CF，∠A=∠ECF．
∴AD∥CF．
∵点D是AB的中点，∴AD=BD．∴BD=CF．
∴四边形BDFC是平行四边形．
∴DE∥BC，DF=BC．
又∵FE=DE，∴DE∥BC，且DE= BC．
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第十八章 平行四边形
第21课时 正方形（二）
【A组】
1. 下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的是（ ）
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD.
A. ①③ B. ②③
C. ②④ D. ①②③
C
2. 如图F18-21-1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A. 若AB⊥BC，则□ABCD是菱形
B. 若AC⊥BD，则□ABCD是正方形
C. 若AC＝BD，则□ABCD是矩形
D. 若AB＝AD，则□ABCD是正方形
C
3. 如图F18-21-2，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，小明判定的方法是______________________________________.
有一组邻边相等的矩形是正方形
4.如图F18-21-3，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC= ∠ABC=45°，
∠ECB= ∠DCB=45°．
∴∠EBC=∠ECB．∴BE=CE．
∴四边形BECF是菱形．
又∵∠BEC=180°-∠ECB-∠ECB=90°，
∴四边形BECF是正方形．
【B组】
5. 如图F18-21-4，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M,N. 若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.
证明：∵BD平分 ∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD（SAS）.
∴∠ADB=∠CDB.
∴BD是∠ADC的平分线.
∵PM⊥AD，PN⊥CD,
∴PM=PN,∠PMD=∠PND=90°.
∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.
又∵ PM=PN,
∴四边形MPND是正方形.
AB=CB,
∠ABD=∠CBD,
BD=BD,
【C组】
6. 如图F18-21-5，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为点A，AF=AE.
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC的中点时（其他
条件都保持不变），四边形AFBE是什
么特殊四边形？说明理由.
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°.
∴∠EAF-∠BAE=∠BAD-∠BAE,即∠BAF=∠DAE.
在△ADE和△ABF中,
∴△ADE≌△ABF（SAS）. ∴BF=DE.
AD=AB,
∠DAE=∠BAF,
AE=AF,
（2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形.
理由如下.
∵点E运动到AC的中点，四边形ABCD为正方形，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC.∴EB∥AF.
∵AF=AE，∴BE=AF.
∴四边形AFBE为平行四边形.
又∵∠EAF=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形.
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第十八章 平行四边形
第13课时 平行四边形的性质（二）
【A组】
1. 如图F18-13-1，在□ABCD中，全等三角形的对数共有（ ）
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
C
2. 如图F18-13-2，□ABCD的对角线相交于点O，下列式子中，不一定正确的是（ ）
A. AC＝BD
B. AB＝CD
C. ∠BAD＝∠BCD
D. AO＝CO
A
3. 在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是___________.
4. 如图F18-13-3,□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.求证：
△AEO≌△CFO.
3＜x＜11
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（AAS）.
∠EAO=∠FCO,
∠AEO=∠CFO,
OA=OC,
【B组】
5. 如图F18-13-4，在□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.5，则四边形BCEF的周长为（ ）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
A
6. 如图F18-13-5，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若□ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A. 28
B. 24
C. 21
D. 14
D
7. 如图F18-13-6，□ABCD的周长为100 cm，AC与BD交于O，△OAB的周长与△OBC的周长之和为122 cm，AC∶BD=5∶4，
求AC与BD的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OB．
∵□ABCD的周长为100 cm，
∴AB+BC=50（cm）．
∵AC∶BD=5∶4，
∴设AC=5k，BD=4k．
∵△OAB的周长与△OBC的周长的和为122 cm，
∴(OA+OB+AB)+(OB+OC+BC)=AB+BC+AC+BD=50+5k+4k=122．
解得k=8．
∴AC=5k=40，BD=4k=32．
【C组】
8. (创新题)如图F18-13-7①，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F，则OE=OF. 若将EF向两方向延长，并与平行四边形的两对边的延长线分别相交（如图F18-13-7②和图F18-13-7③），OE与OF还相等吗？若相等，请说明你的理由.
解：Ⅰ. 图F18-13-7②中仍然相等. 理由如下.
∵在□ABCD中，AB∥CD，OA=OC，
∴∠E=∠F.
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS）. ∴OE=OF.
Ⅱ. 图F18-13-7③中仍然相等. 理由如下.
∵在□ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠E=∠F.
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS）. ∴OE=OF.
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第十八章 平行四边形
第20课时 正方形（一）
【A组】
1. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 四条边相等的四边形是菱形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等
D. 正方形的邻边相等
C
2. 如图F18-20-1，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G.若正方形ABCD的周长为8，则EF+EG等于（ ）
A. B. C.2 D.4
C
3. 如图F18-20-2，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边三角形ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为__________.
150°
4. 如图F18-20-3，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC=∠BCD=90°.
∵CE＝DF，
∴BC+CE=CD+DF，
即BE＝CF.
在△AEB与△BFC中，
∴△AEB≌△BFC（SAS）.
∴AE＝BF.
AB=BC,
∠ABE=∠BCF,
BE=CF,
【B组】
5. 如图F18-20-4，E，F分别是正方形ABCD的
边CB，DC的延长线上的点，且BE＝CF，过点E
作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，
连接GF. 求证：AE⊥BF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.
∴∠ABE＝∠BCF＝90°.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（SAS）.∴∠BAE＝∠CBF.
∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG.
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CEG+∠BEA＝90°.
∴∠AEG＝90°.∴AE⊥EG.
又∵EG∥BF,∴AE⊥BF.
AB=BC，
∠ABE=∠BCF，
BE=CF，
【C组】
6.如图F18-20-5，在正方形ABCD中，延长CB到P，使得BP=DF，连接PA，∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°．
∴∠ABP=180°-∠ABC=90°．
在△ABP与△ADF中，
AB＝AD，
∠ABP＝∠ADF，
BP＝DF，
∴△ABP≌△ADF（SAS）．
∴AP=AF，∠PAB=∠FAD．
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°．
∴∠BAE+∠BAP=45°，即∠PAE=45°．
在△PAE与△FAE中，
∴△PAE≌△FAE（SAS）．
∴EF=EP=BE+BP=BE+DF．
PA＝FA，
∠PAE＝∠FAE，
AE＝AE，
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第十八章 平行四边形
第19课时 菱形（二）
【A组】
1. 要使□ABCD变为菱形，需要添加的条件是（ ）
A. AC＝BD B. AD＝BC
C. AB＝CD D. AB＝BC
D
2. 如图F18-19-1,在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（ ）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B. 四条边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B
3. 如图F18-19-2，已知AD是△ABC的角平分线， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F. 求证：四边形AEDF是菱形.
证明：∵DE∥AC，DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE∥AC,
∴∠EDA=∠CAD.
∴∠EDA=∠BAD.
∴ED=EA.
∴四边形AEDF是菱形.
【B组】
4. 若四边形的四条边的长顺次为a,b,c,d，且a2+b2+c2+d2=
ab+bc+cd+ad，则该四边形一定是（ ）
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
C
5. 图F18-19-3如图F18-19-3，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为___________.
6
6. 如图F18-19-4，已知□ABCD的对角线AC，BD交于点O，且∠1＝∠2.
（1）求证：□ABCD是菱形；
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于点E，
且AE＝AF.若AF＝3，AB＝5，求AO的长.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠2＝∠ACB.
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB.
∴AB＝CB.
∴□ABCD是菱形.
（2）解：∵□ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO.
∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE.
∵AE＝AF＝3，∴∠AFE＝∠AEF.
又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB=∠CBE.
∴CE＝BC＝5.∴AC＝AE+CE＝3+5＝8.
∴AO＝ AC＝4.
【C组】
7. （创新题）如图F18-19-5,将一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:
第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;
第二步:再折叠一次,使点A落在MN上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时得到线段BA′,EA′,展开,如图F18-19-5①;
第三步:再沿EA′所在的直线
折叠,使点B落在AD上的点B′
处,得到折痕EF,同时得到线段
B′F,展开,如图F18-19-5②.
求证:四边形BFB′E为菱形.
证明:∵沿EA′所在的直线折叠,点B落在AD上的点B′处,
∴BE=B′E,BF=B′F,∠BEF=∠B′EF.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC.∴∠BFE=∠B′EF.
∴∠BEF=∠BFE.∴BE=BF.
∴BE=B′E=B′F=BF.
∴四边形BFB′E为菱形.
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