4.5增长速度的比较 导学案(含答案）
文档属性
| 名称 | 4.5增长速度的比较 导学案(含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 162.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-27 10:48:33 | ||
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文档简介
4.5增长速度的比较
学习目标
1.复习平均变化率的定义,理解其意义及几何意义.(直观想象)
2.能利用平均变化率比较幂指对函数增长的快慢.(逻辑推理)
3.了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.(数学建模)
自主预均变化率
1.试求出y=3x+4在[3,5]上的平均变化率.
提示:平均变化率为y的改变量与x的改变量之比.
2.(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为 .
(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率为 .
(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加 个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.
3.函数y=4x的平均变化率为a1,函数y=x-3的平均变化率为a2,则a1,a2的大小关系是( )
A.a1>a2 B.a1C.a1=a2 D.无法确定
4.y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是( )
A.2 B.2x
C.2+Δx D.2+(Δx)2
课堂探究
有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
问题1:凭直觉,你认为上述问题的答案是什么 为什么
问题2:房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗 怎么刻画它们的增长速度呢
问题3:函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1问题4:平均变化率有怎样的意义
问题5:平均变化率的几何意义是什么
探究1:函数平均变化率的计算
例1 求函数y=2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.
变式训练
求函数y=log2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.
探究2:函数增长速度的比较
例2 已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.
要点归纳:平均变化率大小比较常用方法
引申:①当0②比较三个函数的平均变化率的变化趋势,你能得到什么结论
③能否举一些生活中指数增长、线性增长、对数增长的例子
例3 回扣情境与问题
我们再来研究本节课开始的问题:有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子( )
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
核心素养专练
A组
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )
A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44
2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是( )
3.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )
A.y=2x-2 B.y=
C.y=log2x D.y=(x2-1)
4.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法,其中正确的说法是( )
A.前5 min温度增加的速度越来越快
B.前5 min温度增加的速度越来越慢
C.5 min以后温度保持匀速增加
D.5 min以后温度保持不变
5.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图像,A对应 ;B对应 ;C对应 ;D对应 .
6.同一坐标系中,画出函数y=x+5和y=2x的图像,并比较x+5与2x的大小.
B组
7.某国2016年至2019年国内生产总值(单位:万亿元)如下表所示:
年份 2016 2017 2018 2019
x(年份代码) 0 1 2 3
生产总值y(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(1)画出函数图像,猜想y与x之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式;
(2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较;
(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值.
参考答案
自主预习
1.3
2.(1)平均变化率 (2)= (3)
3.A 4.C
课堂探究
问题:略
例1 解:因为==,
所以y=2x在[1,2]上的平均变化率为=2.
y=2x在[2,3]上的平均变化率为=4.
变式训练 解:因为==,
所以g(x)=log2x在[1,2]上的平均变化率为=log22=1.
g(x)=log2x在[2,3]上的平均变化率为=log2.
例2 解:因为==2a,
==1,
==log2,
又因为a>1时,2a>21=2>1,log21)上,f(x)的平均变化率最大,h(x)的最小.
引申:略
例3 解析:设经过x年后,房价为p(x)万元,这个人攒下的钱共有r(x)万元,则这两个函数的解析式分别为:p(x)=200×1.1x,r(x)=40x,(x∈N).在区间[a,a+1],a∈N上,==20×1.1a,==40.令>,得20×1.1a>40,所以a>log1.12≈7.3.
即a≥8时,房价的增长速度比攒钱的增长速度快.
我们也可以列表,直观看一下两个函数值(取整数,单位:万元)的变化情况:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p(x) 220 242 266 293 322 354 390 429 472
r(x) 40 80 120 160 200 240 280 320 360
x的值每增加1,r(x)的值稳定地增长40,而p(x)的值的增加量则逐渐变大,并且越来越快.经过8年后,p(x)的值的年增加量将接近40,以后则均大于40.在前8年里,攒钱的总数始终小于房价,所以,这个人永远也买不起房子.
核心素养专练
1.B 解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.故选B.
2.C 解析:小明匀速运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.
3.D 解析:法一:相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,二次函数曲线拟合程度最好,故选D.
法二:比较四个函数值的大小,可以采用特殊值代入法.可取x=4,经检验易知选D.
4.BD 解析:因为温度y关于时间t的图像是先凸后平,所以前5 min每当t增加一个单位,相应的增量Δy越来越小,而5 min后y关于t的增量保持为0,则BD正确.
5.(4) (1) (3) (2) 解析:A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.
6.解:如图,根据函数y=x+5与y=2x的图像增长差异,得
当x<3时,x+5>2x;
当x=3时,x+5=2x;
当x>5时,x+5<2x.
7.解:(1)画出函数图像,如图所示.
从函数的图像可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式,解得k=0.677 7,b=8.206 7.
所以函数关系式为y=0.677 7x+8.206 7.
(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为
0.677 7×1+8.206 7=8.884 4(万亿元),
0.677 7×2+8.206 7=9.562 1(万亿元).
与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元.
(3)2033年,即x=17时,由(1)得y=0.677 7×17+8.206 7=19.727 6,
即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元.
学习目标
1.复习平均变化率的定义,理解其意义及几何意义.(直观想象)
2.能利用平均变化率比较幂指对函数增长的快慢.(逻辑推理)
3.了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.(数学建模)
自主预均变化率
1.试求出y=3x+4在[3,5]上的平均变化率.
提示:平均变化率为y的改变量与x的改变量之比.
2.(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比称为 .
(2)函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1
(3)平均变化率也可理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加 个单位,因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.
3.函数y=4x的平均变化率为a1,函数y=x-3的平均变化率为a2,则a1,a2的大小关系是( )
A.a1>a2 B.a1
4.y=x2+1在[1,1+Δx]上的平均变化率是( )
A.2 B.2x
C.2+Δx D.2+(Δx)2
课堂探究
有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
问题1:凭直觉,你认为上述问题的答案是什么 为什么
问题2:房价的增长速度一直都比攒钱的增长速度快吗 怎么刻画它们的增长速度呢
问题3:函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1
问题5:平均变化率的几何意义是什么
探究1:函数平均变化率的计算
例1 求函数y=2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.
变式训练
求函数y=log2x在[1,2]与[2,3]上的平均变化率,并说明,当自变量每增加1个单位时,函数值变化的规律.
探究2:函数增长速度的比较
例2 已知函数f(x)=2x,g(x)=x,h(x)=log2x,分别计算这三个函数在[a,a+1](a>1)上的平均变化率,并比较它们的大小.
要点归纳:平均变化率大小比较常用方法
引申:①当0
③能否举一些生活中指数增长、线性增长、对数增长的例子
例3 回扣情境与问题
我们再来研究本节课开始的问题:有一套房子,价格为200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款、收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子( )
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
核心素养专练
A组
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )
A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44
2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是( )
3.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表:
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )
A.y=2x-2 B.y=
C.y=log2x D.y=(x2-1)
4.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法,其中正确的说法是( )
A.前5 min温度增加的速度越来越快
B.前5 min温度增加的速度越来越慢
C.5 min以后温度保持匀速增加
D.5 min以后温度保持不变
5.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图像,A对应 ;B对应 ;C对应 ;D对应 .
6.同一坐标系中,画出函数y=x+5和y=2x的图像,并比较x+5与2x的大小.
B组
7.某国2016年至2019年国内生产总值(单位:万亿元)如下表所示:
年份 2016 2017 2018 2019
x(年份代码) 0 1 2 3
生产总值y(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(1)画出函数图像,猜想y与x之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式;
(2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较;
(3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值.
参考答案
自主预习
1.3
2.(1)平均变化率 (2)= (3)
3.A 4.C
课堂探究
问题:略
例1 解:因为==,
所以y=2x在[1,2]上的平均变化率为=2.
y=2x在[2,3]上的平均变化率为=4.
变式训练 解:因为==,
所以g(x)=log2x在[1,2]上的平均变化率为=log22=1.
g(x)=log2x在[2,3]上的平均变化率为=log2.
例2 解:因为==2a,
==1,
==log2,
又因为a>1时,2a>21=2>1,log2
引申:略
例3 解析:设经过x年后,房价为p(x)万元,这个人攒下的钱共有r(x)万元,则这两个函数的解析式分别为:p(x)=200×1.1x,r(x)=40x,(x∈N).在区间[a,a+1],a∈N上,==20×1.1a,==40.令>,得20×1.1a>40,所以a>log1.12≈7.3.
即a≥8时,房价的增长速度比攒钱的增长速度快.
我们也可以列表,直观看一下两个函数值(取整数,单位:万元)的变化情况:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p(x) 220 242 266 293 322 354 390 429 472
r(x) 40 80 120 160 200 240 280 320 360
x的值每增加1,r(x)的值稳定地增长40,而p(x)的值的增加量则逐渐变大,并且越来越快.经过8年后,p(x)的值的年增加量将接近40,以后则均大于40.在前8年里,攒钱的总数始终小于房价,所以,这个人永远也买不起房子.
核心素养专练
1.B 解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.故选B.
2.C 解析:小明匀速运动时,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.
3.D 解析:法一:相邻的自变量之差大约为1,相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6,基本上是逐渐增加的,二次函数曲线拟合程度最好,故选D.
法二:比较四个函数值的大小,可以采用特殊值代入法.可取x=4,经检验易知选D.
4.BD 解析:因为温度y关于时间t的图像是先凸后平,所以前5 min每当t增加一个单位,相应的增量Δy越来越小,而5 min后y关于t的增量保持为0,则BD正确.
5.(4) (1) (3) (2) 解析:A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.
6.解:如图,根据函数y=x+5与y=2x的图像增长差异,得
当x<3时,x+5>2x;
当x=3时,x+5=2x;
当x>5时,x+5<2x.
7.解:(1)画出函数图像,如图所示.
从函数的图像可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,设所求的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
把直线经过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式,解得k=0.677 7,b=8.206 7.
所以函数关系式为y=0.677 7x+8.206 7.
(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为
0.677 7×1+8.206 7=8.884 4(万亿元),
0.677 7×2+8.206 7=9.562 1(万亿元).
与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元.
(3)2033年,即x=17时,由(1)得y=0.677 7×17+8.206 7=19.727 6,
即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元.