6.2.3向量的数乘运算 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
6.2.3　向量的数乘运算
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题. 1.通过向量数乘运算知识的形成过程,体会概念及性质的产生发展的过程,达成学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
2.通过向量共线定理的学习与应用,培养学生的逻辑推理与数学运算的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.向量的数乘运算
(1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,它的长度和方向规定如下:
①|λa|= ;
②当λ>0时,λa的方向与a的方向 ;当λ<0时,λa的方向与a的方向 .
(2)运算律:设λ,μ为任意实数,则有
①λ(μa)= a;
②(λ+μ)a= ;
|λ||a|
相同
相反
(λμ)
λa+μa
③λ(a+b)= .
特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.
(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±
λμ2b.
2.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 .
λa+λb
b=λa
小试身手
B
D
B
解析:因为a与b共线,且方向相同,所以a=λb(λ>0).
所以|a|=|λb|=|λ||b|.
又|a|=8|b|,所以|λ|=8(λ>0).所以a=8b.
答案:8
课堂探究·素养培育
探究点一
数乘运算的定义及其几何意义
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故④正确;对于⑤,由λμ<0可得λ,μ异号,所以λa和μa中,一个与a同向,另一个与a反向,所以λa与μa是反向的,故⑤正确.故选D.
方法技巧
(1)当λ>0时,λa与a同向;当λ<0时,λa与a反向(a≠0).
(2)当λ=0且a≠0时,或当λ≠0且a=0时,λa=0,注意是0,而不是0.
解析:(1)由已知可得若λ<0,则a与-λa的方向相同,故A错误;由于实数与向量不能比较大小,故B错误;a与λ2a方向相同,故C正确;D中|-2λa|=
2|λ||a|正确.故选CD.
答案:(1)CD
答案:(2)①②③
向量的线性运算
探究点二
解:(1)①原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.
解:②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
方法技巧
向量线性运算的基本方法
(1)类比法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作向量的系数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
向量共线的判定及应用
探究点三
方法总结
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.
课堂达标
C
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
A
3.化简4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
解析:4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
答案:10a