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北师版八年级下册数学6.1.2 平行四边形的对角线性质教学设计
课题 6.1.2 平行四边形的对角线性质 单元 第六单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.进一步理解平行四边形的定义,平行四边形的对称性、对边相等、对角相等的性质.2.理解并能够说出平行四边形的对角线互相平分的性质,且能够进行证明.3.能够运用平行四边形的定义和性质证明或解决有关问题.4.经历平行四边形的性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
重点 1.理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分的性质.2.应用平行四边形的性质证明和解决有关问题.
难点 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：思考：(1)什么样的四边形是平行四边形？两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(2)平行四边形有什么性质？①边:平行四边形的对边相等. ②角:平行四边形的对角相等，邻角互补. 一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是按如图所示的方式分的。当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少.同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 学生思考上节课学习的知识点，回答问题。 复习上节课的知识点,在此基础上,引出本节课的知识点,形成一个知识体系,使学生的学习具有连贯性.把知识融入到故事情境中,能够提高学生的学习兴趣.
讲授新课 【探究】在纸上画两个全等的□ABCD和□EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O. 把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将□ EFGH绕点O沿顺时针方向旋转180°，观察它还能和□ ABCD重合吗？你能发现平行四边形的什么性质？猜想：平行四边形的对角线互相平分.请你写出已知和求证。已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.求证：OA＝OC， OB＝OD.怎样证明这个结论呢？已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.求证：OA＝OC，OB＝OD.证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD（平行四边形的对边相等），AB∥CD（平行四边形的定义）.∴ ∠BAO =∠DCO，∠ABO =∠CDO.∴ △ABO≌△CDO.∴ OA=OC，OB=OD．你还有其他证明方法吗？方法二：证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD=BC（平行四边形的对边相等），AD∥BC（平行四边形的定义）.∴ ∠DAO =∠BCO，∠ADO =∠CBO.∴ △ADO≌△CBO.∴ OA=OC，OB=OD．【总结归纳】平行四边形的对角线性质：平行四边形的对角线互相平分.数学语言：∵ □ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD.观察四个小三角形的面积，你能发现什么？△ABO， △AOD， △DOC， △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.【例2】已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ DO=BO（平行四边形的对角线互相平分），AD∥BC（平行四边形的定义）.∴ ∠ODE=∠OBF.∵ ∠DOE=∠BOF，∴ △DOE≌△BOF．∴ OE=OF.【做一做】如图，□ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=90°，OA=6， OB=3. 求AD和AC的长度.解: ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=6，OB=OD=3，∴AC=12.又∠ADB=90°，∴在Rt△ADO中，根据勾股定理，得:OA2=OD2+AD2，∴AD2=OA2-OD2=62-32=27.∴AD=3. 学生画平行四边形，探究老师提问的问题。学生根据老师的提示写出已知和求证，并证明。学生根据之前探究的性质解决平行四边形的面积问题。 利用实际动手操作的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,印象深刻,容易理解.通过对上节课动手操作活动的回顾,得出平行四边形对角线互相平分的性质,再通过严格的说理证明,深化对知识的理解.在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。
课堂练习 1.如图，在□ABCD中，全等三角形的对数共有( C)A.2对 B.3对 C.4对 D.5对2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有4对全等三角形．其中正确结论的个数是( B )A.4 B.3 C.2 D.13.如图，在□ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( C )A.3 B.6 C.12 D.244.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.证明：OE＝OF.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.5.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. AC平分∠DAE. (1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°.(2)求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴AE＝CF.6.【中考·遂宁】如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE. 若□ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( D )A.28 B.24 C.21 D.147.【中考·益阳】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( D )A.10 B.8 C.7 D.6 学生做练习，教师订正答案。 通过各种形式的练习，进一步提高学生学习兴趣，使 学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？平行四边形的对角线性质：平行四边形的对角线互相平分.
板书 课题：6.1.2 平行四边形的对角线性质一、平行四边形的对角线性质二、例题讲解三、做一做
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6.1.2 平行四边形的对角线性质
北师版 八年级下册
新知导入
思考：(1)什么样的四边形是平行四边形？
①边:平行四边形的对边相等.
②角:平行四边形的对角相等，邻角互补.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2)平行四边形有什么性质？
新知导入
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是按如图所示的方式分的。当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少.
同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
老大
老二
老三
老四
新知讲解
【探究】在纸上画两个全等的□ABCD和□EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O. 把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将□ EFGH绕点O沿顺时针方向旋转180°，观察它还能和□ ABCD重合吗？
A
B
C
D
E
F
G
H
新知讲解
猜想：平行四边形的对角线互相平分.
请你写出已知和求证。
已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA＝OC， OB＝OD.
你能发现平行四边形的什么性质？
怎样证明这个结论呢？
新知讲解
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的定义）.
∴ ∠BAO =∠DCO，∠ABO =∠CDO.
∴ △ABO≌△CDO.
∴ OA=OC，OB=OD．
已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
你还有其他证明方法吗？
新知讲解
已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD=BC（平行四边形的对边相等），
AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴ ∠DAO =∠BCO，∠ADO =∠CBO.
∴ △ADO≌△CBO.
∴ OA=OC，OB=OD．
新知讲解
平行四边形的对角线性质：
【总结归纳】
平行四边形的对角线互相平分.
数学语言：
∵ □ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD.
新知讲解
观察四个小三角形的面积，你能发现什么？
E
△ABO， △AOD， △DOC， △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
新知讲解
【例2】已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE＝OF.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DO=BO（平行四边形的对角线互相平分），
AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴ ∠ODE=∠OBF.
∵ ∠DOE=∠BOF，∴ △DOE≌△BOF．
∴ OE=OF.
新知讲解
【做一做】如图，□ABCD 的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=90°，OA=6， OB=3.
求AD和AC的长度.
解: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=6，OB=OD=3，∴AC=12.
又∠ADB=90°，
∴在Rt△ADO中，根据勾股定理，得:
OA2=OD2+AD2，
∴AD2=OA2-OD2=62-32=27.
∴AD=3.
1.如图，在□ABCD中，全等三角形的对数共有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
课堂练习
C
课堂练习
2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有4对全等三角形．
其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
B
课堂练习
3.如图，在□ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A.3
B.6
C.12
D.24
C
课堂练习
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，
∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF.
4.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.
证明：OE＝OF.
拓展提高
5.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°.
拓展提高
5.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. AC平分∠DAE.
(2)求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴AE＝CF.
中考链接
6.【中考·遂宁】如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE. 若□ABCD的周长为28，则△ABE的周长为( )
A.28
B.24
C.21
D.14
D
7.【中考·益阳】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )
A.10
B.8
C.7
D.6
中考链接
D
课堂总结
本节课你学到了什么？
平行四边形的对角线性质：
平行四边形的对角线互相平分.
数学语言：
∵ □ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD.
板书设计
课题：6.1.2 平行四边形的对角线性质
教师板演区
学生展示区
一、平行四边形的对角线性质
二、例题讲解
三、做一做
作业布置
课本 P139 练习题
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