5.1.2　数据的数字特征 学案（含答案）

5.1.2　数据的数字特征
第1课时
学习目标
1.会求样本的最值、平均数、众数.
2.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.
自主预习
阅读课本61~63页内容,并思考以下问题.
(1)最大值、最小值的符号表示.
(2)平均数的公式,用求和符号表示平均数.
课堂探究
在日常生活中,当面对一组数据时,相比每一个观测数值,有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值.例如,某次考试中的两个班的成绩,我们可以从最值、平均分、中位数、方差等角度比较两个班级的成绩.
一、最值
在许多情境中,有时我们只关心数据的最值.比如,高考部分科目实行“一年多考”,最终取的是多次考试中成绩的最大值.
概念:一组数据的最值指的是其中的　　　　与　　　　,最值反映的是这组数最极端的情况.一般地,最大值用　　　　表示,最小值用　　　　表示.
二、平均数
概念:如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为　　　　　　　.这一公式可以简记为　　　　.
其中求和符号∑,读作　　　　　　　,
三、众数
一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为这组数据的众数.(一组数据的众数可以不止一个)
　　小试牛刀
1.某电冰箱专卖店出售容积为182 L,185 L,228 L,268 L四种型号的同一品牌的冰箱,每出售一台,售货员就做一个记录,月底得到一组由15个268,66个228,18个185和11个182组成的数据.
(1)这组数据的平均数有实际意义吗
(2)这组数据的中位数、众数分别是多少
　　2.一组数据x1,x2,…,xn的平均数为3,则2x1,2x2,…,2xn的平均数为(　　)
A.3 B.6 C.5 D.2
　　知识拓展
平均数会受每一个数的影响,尤其是　　　　.很多情况下为了避免过于极端的值影响结果太大等,会去掉　　　　与　　　　　　再计算平均数.
四、运算性质
1.求和符号∑的性质:(1)(xi+yi)=　　　　;(2)kxi=　　　　;(3)t=　　　　.
2.如果x1,x2,…,xn的平均数为,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为(axi+b)=　　　　　　.
　　小试牛刀
计算下列各组数的平均数.
(1)90,92,92,93,93;(2)900,920,920,930,930.
提示:可利用性质去计算.
　　评价反馈
1.求下列各式的值.
(1)2i;(2)(i-2).
2.已知x1,x2,…,xn的平均数为3,求5x1+2,5x2+2,…,5xn+2的平均数.
　　作业布置
1.已知x1,x2,…,xn的平均数为,求证:(xi-)=0.
2.求1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数,75%分位数,90%分位数.
3.求下列各组数的平均数与方差.
(1)0,2,2,3,3;(2)-2,0,0,1,1.
参考答案
自主预习
(1)max　min　(2)=xi
课堂探究
一、最大值　最小值　max　min
二、=(x1+x2+…+xn)　=xi　西格玛
小试牛刀
1.解:(1)这组数据的平均数没有实际意义,对专卖店经营没有任何参考价值.
(2)这组数据共有110个,中位数为228,众数为228.
2.B
知识拓展
最大值与最小值　最高分　最低分
四、1.(1)xi+yi　(2)kxi　(3)nt
2.a+b
小试牛刀
解:(1)把每个数减去90,得到新数为0,2,2,3,3.
0+2+2+3+3=10,
=90+×10=92.
(2)同(1),=920.
评价反馈
1.解:(1)2i=2×1+2×2+2×3=12.
(2)(i-2)=(3-2)+(4-2)+(5-2)=6.
2.解:设x1,x2,…,xn的平均数为,则
5x1+2,5x2+2,…,5xn+2的平均数为
5+2=17.
作业布置
1.证明:(xi-)=xi-=0.
2.3　8　9.5
3.(1)平均数2,方差　(2)平均数0,方差
第2课时
学习目标
1.会求样本的中位数、百分位数、方差与标准差.
2.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数学建模能力.
自主预习
一、阅读课本63~65页,并思考以下问题.
1.完成课本63页“尝试与发现”,总结中位数的求法.
2.完成课本64页“尝试与发现”,通过实例理解甲、乙两组数据的25%分位数.
3.计算百分位数的步骤.
二、阅读课本65~66页“5.极差、方差与标准差”的内容,并思考:
1.极差、方差、标准差公式.
2.极差、方差、标准差反映了数据的什么特征
课堂探究
一、中位数
概念:如果一组数,按照从小到大的顺序排列.
1.奇数个数:x1,x2,…,x2n+1,则称　　　　　　　　为这组数的中位数.
2.偶数个数:x1,x2,…,x2n,则称　　　　　　　　为这组数的中位数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.为了解某种轮胎的性能,随机抽取了8个进行测试,其最远里程数(单位:1 000 km)为96,112,97,108,99,104,86,98,则它们的中位数是(　　)
A.100 B.99 C.98.5 D.98
4.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)中位数是一组数据中间的数. (　　)
(2)众数是一组数据中出现次数最多的数. (　　)
二、百分位数
1.p%分位数(求法):
注:0分位数:
100%分位数:
2.为了解毕业生工作情况,某高校对12名应届毕业生起始月薪作了统计如下:
毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪
1 2 850 7 2 890
2 2 950 8 3 130
3 3 050 9 2 940
4 2 880 10 3 325
5 2 755 11 2 920
6 2 710 12 2 880
　　请计算这组数据的85%分位数.
三、极差、方差、标准差
1.一组数的极差是指这组数的　　　　减去　　　　所得的差,极差反映了一组数的变化范围,描述了这组数的　　　　.
描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差.
2.方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
方差表示数据的离散程度,方差越小,数据的离散程度　　　　.
3.标准差:方差的算术平方根称为标准差.
s=.
核心素养专练
一、对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们最大速度(m/s)的数据如下:
甲:27,38,30,37,35,31;
乙:33,29,38,34,28,36.
根据以上数据,试判断他们谁更优秀.
二、1.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为　　　　,25%分位数为　　　　.
2.(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定
参考答案
自主预习
一、1.(1)奇数个数:x1,x2,…,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位数.
(2)偶数个数:x1,x2…,x2n,则称为这组数的中位数.
2.略
3.设一组数按照从小到大的顺序排列后为x1,x2,…,xn,计算i=n·p%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的最小正整数,取为p%分位数;如果i是整数,取为p%分位数.
注:0分位数是x1,100%分位数是xn.
课堂探究
一、1.xn+1
2.
3.C
4.(1)×　(2)√
二、1.略.
2.解:首先对数据按从小到大排序:2 710,2 755,2 850,2 880,2 880,2 890,2 920,2 940,2 950,3 050,3 130,3 325.
计算i:i=np%=12×85%=10.2.
因为i不是整数,故取i=11,所以85%分位数是3 130.
三、1.最大值　最小值　离散程度
2.方差:越小
核心素养专练
一、解:=(27+38+30+37+35+31)=33.
=[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]
=×94≈15.7.
=(33+29+38+34+28+36)=33.
=[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]
=×76≈12.7.
所以=,>.说明甲、乙两人的最大速度的平均值相等,但乙比甲更稳定,故乙比甲更优秀.
二、1.6　5
2.ACD　解析:由数据的极差、标准差、方差的定义可知,它们都可以影响样本数据的分布和稳定性,而数据的平均数则与之无关,故B不正确,ACD正确.