人教新课标A版 选修2-1 2.1 曲线与方程

人教新课标A版 选修2-1 2.1 曲线与方程
一、单选题
1．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）方程 表示的图形是（　　）
A．圆 B．两条直线 C．一个点 D．两个点
【答案】C
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】由已知得 即 所以方程表示点 ．
故答案为：C
【分析】直接利用二次根式及平方的非负数性质得到答案。
2．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）已知 ， ，则以 为斜边的直角三角形的直角顶点 的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设 ，∵△ 为直角三角形，∴
∴ ，整理得 .
∵ 不共线，∴ ，∴轨迹方程为 ．
故答案为：D
【分析】可根据坐标向量垂直等价于数量积为0建立等量关系得到轨迹方程；或者根据圆周角定理直接得到圆心坐标与半径，直接写出轨迹圆的标准方程；也或者可根据Rt三角形的勾股定理建立等量关系。
3．（2016高二上·大连期中）下列所给点中，在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（　　）
A．（0，0） B．（1，﹣1） C． D．（1，1）
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：把（0，0）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（0，0）不在曲线上．
把（1，﹣1）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，﹣1）不在曲线上．
把（0，﹣ ）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，成立，所以点（0，﹣ ）在曲线上．
把（1，1）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，1）不在曲线上．
故选：C．
【分析】通过选顶点的坐标代入方程，判断即可．
4．方程（x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是（　　）
A．一条直线和一双曲线 B．两条直线
C．两个点 D．圆
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】因为，所以x-y=0且xy-1="0，" 方程表示的曲线是两个点，选C.
【分析】简单题，注意理解即两个平方项同时为0.
5．（2020高二下·嘉定期末）曲线 的图像（　　）
A．关于x轴对称
B．关于原点对称,但不关于直线 对称
C．关于y轴对称
D．关于直线 对称，关于直线 对称
【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】A． ，所以不关于 轴对称；
B． ， ，
所以关于原点对称，也关于直线 对称；
C． ，所以不关于 轴对称；
D． ，所以关于直线 对称，同时也关于直线 对称.
故答案为：D.
【分析】构造二元函数 ，分别考虑 与 、 、 、 、 的关系，即可判断出相应的对称情况.
6．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）已知坐标满足方程 的点都在曲线 上，那么（　　）
A．曲线 上的点的坐标都适合方程
B．凡坐标不适合 的点都不在 上
C．不在 上的点的坐标必不适合
D．不在 上的点的坐标有些适合 ，有些不适合
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】根据题意可以举例方程 为 ，曲线 为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线 的一部分，结合选项知A，B，D都不正确，只有C正确.
【分析】A选项由于题设没有说对于任意的x,y都成立，所以A选项错误；
B选项由于可以是部分的曲线C是方程f（x，y）=0满足的，所以B选项错误；
如果不在曲线C上，那么点的坐标必定不满足方程f（x，y）=0，所以C选项正确，D选项错误。
7．（2018高二上·太和月考）方程 表示的曲线是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】因为 表示圆心在原点，半径为1的圆，
又 ，说明图像在二，四象限，
故答案为：D.
【分析】结合方程表示的是圆心为（0，0），半径为1的圆，由xy＜0，可得：x＞0时，y＜0，x＜0时，y＞0，即x与y异号，根据上步分析可得（x，y）在二、四象限，结合图像即可得出答案。
8．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）一条线段的长等于 ，两端点 分别在 轴和 轴上滑动， 在线段 上且 ，则点 的轨迹方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设
则 .∵ ， ，
∴ 即 代入 ，得 ，
即 ，故答案为：B.
【分析】A,B坐标满足斜边为10的勾股定理可建立等量关系；A,B,M三点共线联立题设向量的等量关系可直接得到轨迹方程。
9．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）已知点 ．若曲线 上存在两点 ，使△ 为正三角形，则称 为 型曲线．给定下列三条曲线：
① ；② ；③ ．
其中， 型曲线的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】结合图象定性分析，① 表示一条线段，线段上存在两点 ，使△ 为正三角形；② 表示圆 位于第二象限的一部分，不存在满足条件的点；③ 表示位于第四象限的一支双曲线，结合其对称性知存在满足条件的点.故答案为：C.
【分析】阅读理解型问题一定要理解题设的要求；题目所给的三条曲线要根据曲线方程与取值范围通过数形结合的思想方法作出图像；结合组成正三角形的条件即可判断。
10．（2016高二上·张家界期中）方程（x+y﹣1） =0所表示的曲线是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：原方程等价于： ，或x2+y2=4；其中当x+y﹣1=0需 有意义，等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x﹣y﹣1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节．
故选D
【分析】原方程等价于： ，或x2+y2=4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分．
二、填空题
11．（2020高二下·上海期末）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y＝x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ；
④曲线W上的点到原点距离的最小值为
其中，所有正确结论的序号是　 　．
【答案】②③④
【知识点】轨迹方程；曲线与方程
【解析】【解答】由题意 ，化简得 ，用 代方程中的 所得方程与原方程不相同，因此①错；把原方程中 互换，方程不变，因此曲线关于直线 对称，②正确；当 时，方程为 ，即 ，记 ，曲线 在 内部，而 ，因此③正确；当 时，曲线方程为 ，当 时，方程为 或 ，由于曲线关于直线 对称，由 ，解得 或 ，曲线 上点到原点的最短距离为 ，④正确，故填②③④。
【分析】利用动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，从而求出点P的轨迹为曲线W ，再利用点P的轨迹曲线W的图象的对称性、 曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积求解方法、两点距离公式结合几何法，从而找出正确结论的序号。
12．若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】x2﹣9≥0，曲线y=，可化为x2﹣y2=9（y≥0），
x2﹣9＜0，曲线y=，可化为x2+y2=9（y≥0），
图象如图所示，直线与半圆相切时，m=3，双曲线的渐近线为y=±x
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】化简曲线y=，作出图象，即可得出结论．
13．（2017·天心模拟）过定点（﹣2，0）的直线l与曲线C：（x﹣2）2+y2=4（0≤x≤3）交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：过定点（﹣2，0）的直线l与曲线C：（x﹣2）2+y2=4（0≤x≤3）交于不同的两点，如图：
可得：k∈[kBQ，kAQ）．
B（3， ），kBQ= = ，
|AQ|= =2 ，kAQ= = ，
由对称性可知：直线的斜率的范围： ．
故答案为： ．
【分析】画出图形，判断直线与曲线有两个交点的范围即可．
三、解答题
14．（2015高三上·丰台期末）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．
【答案】（1）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．
根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．
设R的轨迹方程为：y2=2px， ，p=2
所以R的轨迹方程为：y2=4x
（2）证明：由条件可知 ，则 ．
联立 ，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2）
， ， ．
因为 ，
所以kAP=kAQ，
所以A，P，Q三点共线．
【知识点】曲线与方程
【解析】【分析】（1）由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等，利用抛物线的定义求曲线E的方程；（2）联立 ，消去y，证明kAP=kAQ，可得A，P，Q三点共线．
15．（2019高二上·绍兴期末）从原点 向圆 作两条切线，切点分别为 ， ，记切线 ， 的斜率分别为 ， ．
（Ⅰ）若圆心 ，求两切线 ， 的方程；
（Ⅱ）若 ，求圆心 的轨迹方程．
【答案】解：（Ⅰ）圆 ，
设切线为 ，由相切得 ，
解得 ，所以两切线 ， 分别为 ， ．
（Ⅱ）因为直线 ： ， ： ，与圆 相切，
由直线和圆相切得 ，
整理得 ， ，当 时， ， 是方程 的两个不相等的实数根， ，因 ，则 ．
当 时， ，也满足 ．
因此圆心 的轨迹方程为 ．
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；曲线与方程
【解析】【分析】（1） 设切线为 ，由圆的切线的性质可得k的值，可得切线方程；
（2） 由直线和圆相切得 ， ，即可得到 ，又 ，可得圆心 的轨迹方程．
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一、单选题
1．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）方程 表示的图形是（　　）
A．圆 B．两条直线 C．一个点 D．两个点
2．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）已知 ， ，则以 为斜边的直角三角形的直角顶点 的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2016高二上·大连期中）下列所给点中，在方程x2﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（　　）
A．（0，0） B．（1，﹣1） C． D．（1，1）
4．方程（x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是（　　）
A．一条直线和一双曲线 B．两条直线
C．两个点 D．圆
5．（2020高二下·嘉定期末）曲线 的图像（　　）
A．关于x轴对称
B．关于原点对称,但不关于直线 对称
C．关于y轴对称
D．关于直线 对称，关于直线 对称
6．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）已知坐标满足方程 的点都在曲线 上，那么（　　）
A．曲线 上的点的坐标都适合方程
B．凡坐标不适合 的点都不在 上
C．不在 上的点的坐标必不适合
D．不在 上的点的坐标有些适合 ，有些不适合
7．（2018高二上·太和月考）方程 表示的曲线是（　　）
A． B．
C． D．
8．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）一条线段的长等于 ，两端点 分别在 轴和 轴上滑动， 在线段 上且 ，则点 的轨迹方程是（　　）
A． B． C． D．
9．（高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程，2.1.2求曲线方程）已知点 ．若曲线 上存在两点 ，使△ 为正三角形，则称 为 型曲线．给定下列三条曲线：
① ；② ；③ ．
其中， 型曲线的个数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2016高二上·张家界期中）方程（x+y﹣1） =0所表示的曲线是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020高二下·上海期末）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y＝x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 ；
④曲线W上的点到原点距离的最小值为
其中，所有正确结论的序号是　 　．
12．若曲线y=与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是　 　
13．（2017·天心模拟）过定点（﹣2，0）的直线l与曲线C：（x﹣2）2+y2=4（0≤x≤3）交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围是　 　．
三、解答题
14．（2015高三上·丰台期末）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．
15．（2019高二上·绍兴期末）从原点 向圆 作两条切线，切点分别为 ， ，记切线 ， 的斜率分别为 ， ．
（Ⅰ）若圆心 ，求两切线 ， 的方程；
（Ⅱ）若 ，求圆心 的轨迹方程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆锥曲线的实际背景及作用
【解析】【解答】由已知得 即 所以方程表示点 ．
故答案为：C
【分析】直接利用二次根式及平方的非负数性质得到答案。
2．【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设 ，∵△ 为直角三角形，∴
∴ ，整理得 .
∵ 不共线，∴ ，∴轨迹方程为 ．
故答案为：D
【分析】可根据坐标向量垂直等价于数量积为0建立等量关系得到轨迹方程；或者根据圆周角定理直接得到圆心坐标与半径，直接写出轨迹圆的标准方程；也或者可根据Rt三角形的勾股定理建立等量关系。
3．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：把（0，0）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（0，0）不在曲线上．
把（1，﹣1）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，﹣1）不在曲线上．
把（0，﹣ ）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，成立，所以点（0，﹣ ）在曲线上．
把（1，1）代入方程x2﹣xy+2y+1=0，不成立，所以点（1，1）不在曲线上．
故选：C．
【分析】通过选顶点的坐标代入方程，判断即可．
4．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】因为，所以x-y=0且xy-1="0，" 方程表示的曲线是两个点，选C.
【分析】简单题，注意理解即两个平方项同时为0.
5．【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】A． ，所以不关于 轴对称；
B． ， ，
所以关于原点对称，也关于直线 对称；
C． ，所以不关于 轴对称；
D． ，所以关于直线 对称，同时也关于直线 对称.
故答案为：D.
【分析】构造二元函数 ，分别考虑 与 、 、 、 、 的关系，即可判断出相应的对称情况.
6．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】根据题意可以举例方程 为 ，曲线 为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线 的一部分，结合选项知A，B，D都不正确，只有C正确.
【分析】A选项由于题设没有说对于任意的x,y都成立，所以A选项错误；
B选项由于可以是部分的曲线C是方程f（x，y）=0满足的，所以B选项错误；
如果不在曲线C上，那么点的坐标必定不满足方程f（x，y）=0，所以C选项正确，D选项错误。
7．【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】因为 表示圆心在原点，半径为1的圆，
又 ，说明图像在二，四象限，
故答案为：D.
【分析】结合方程表示的是圆心为（0，0），半径为1的圆，由xy＜0，可得：x＞0时，y＜0，x＜0时，y＞0，即x与y异号，根据上步分析可得（x，y）在二、四象限，结合图像即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】设
则 .∵ ， ，
∴ 即 代入 ，得 ，
即 ，故答案为：B.
【分析】A,B坐标满足斜边为10的勾股定理可建立等量关系；A,B,M三点共线联立题设向量的等量关系可直接得到轨迹方程。
9．【答案】C
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】结合图象定性分析，① 表示一条线段，线段上存在两点 ，使△ 为正三角形；② 表示圆 位于第二象限的一部分，不存在满足条件的点；③ 表示位于第四象限的一支双曲线，结合其对称性知存在满足条件的点.故答案为：C.
【分析】阅读理解型问题一定要理解题设的要求；题目所给的三条曲线要根据曲线方程与取值范围通过数形结合的思想方法作出图像；结合组成正三角形的条件即可判断。
10．【答案】D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：原方程等价于： ，或x2+y2=4；其中当x+y﹣1=0需 有意义，等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x﹣y﹣1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节．
故选D
【分析】原方程等价于： ，或x2+y2=4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分．
11．【答案】②③④
【知识点】轨迹方程；曲线与方程
【解析】【解答】由题意 ，化简得 ，用 代方程中的 所得方程与原方程不相同，因此①错；把原方程中 互换，方程不变，因此曲线关于直线 对称，②正确；当 时，方程为 ，即 ，记 ，曲线 在 内部，而 ，因此③正确；当 时，曲线方程为 ，当 时，方程为 或 ，由于曲线关于直线 对称，由 ，解得 或 ，曲线 上点到原点的最短距离为 ，④正确，故填②③④。
【分析】利用动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，从而求出点P的轨迹为曲线W ，再利用点P的轨迹曲线W的图象的对称性、 曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积求解方法、两点距离公式结合几何法，从而找出正确结论的序号。
12．【答案】
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】x2﹣9≥0，曲线y=，可化为x2﹣y2=9（y≥0），
x2﹣9＜0，曲线y=，可化为x2+y2=9（y≥0），
图象如图所示，直线与半圆相切时，m=3，双曲线的渐近线为y=±x
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】化简曲线y=，作出图象，即可得出结论．
13．【答案】
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：过定点（﹣2，0）的直线l与曲线C：（x﹣2）2+y2=4（0≤x≤3）交于不同的两点，如图：
可得：k∈[kBQ，kAQ）．
B（3， ），kBQ= = ，
|AQ|= =2 ，kAQ= = ，
由对称性可知：直线的斜率的范围： ．
故答案为： ．
【分析】画出图形，判断直线与曲线有两个交点的范围即可．
14．【答案】（1）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．
根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．
设R的轨迹方程为：y2=2px， ，p=2
所以R的轨迹方程为：y2=4x
（2）证明：由条件可知 ，则 ．
联立 ，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2）
， ， ．
因为 ，
所以kAP=kAQ，
所以A，P，Q三点共线．
【知识点】曲线与方程
【解析】【分析】（1）由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等，利用抛物线的定义求曲线E的方程；（2）联立 ，消去y，证明kAP=kAQ，可得A，P，Q三点共线．
15．【答案】解：（Ⅰ）圆 ，
设切线为 ，由相切得 ，
解得 ，所以两切线 ， 分别为 ， ．
（Ⅱ）因为直线 ： ， ： ，与圆 相切，
由直线和圆相切得 ，
整理得 ， ，当 时， ， 是方程 的两个不相等的实数根， ，因 ，则 ．
当 时， ，也满足 ．
因此圆心 的轨迹方程为 ．
【知识点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程；曲线与方程
【解析】【分析】（1） 设切线为 ，由圆的切线的性质可得k的值，可得切线方程；
（2） 由直线和圆相切得 ， ，即可得到 ，又 ，可得圆心 的轨迹方程．
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