人教A版(2019)数学必修第一册 5.7 三角函数的应用

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名称 人教A版(2019)数学必修第一册 5.7 三角函数的应用
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2020-03-05 17:32:06

文档简介

人教A版(2019)数学必修第一册 5.7 三角函数的应用
一、单选题
1.在一幢20m高的楼顶,测得对面一塔吊顶的仰角为,塔基的俯角为,那么塔吊的高是(  )
A. B. C. D.
2.(人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测)如图为一半径为3m的水轮,水轮中心O距水面2m,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(t)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则(  )
A.ω= ,A=5 B.ω= ,A=5
C.ω= ,A=3 D.ω= ,A=3
3.(2018高一下·宜昌期末)如图,某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数: ,则中午 12 点时最接近的温度为(  )
A. B. C. D.
4.(2017·临汾模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3 ,﹣3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|< ).则下列叙述错误的是(  )
A.
B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6
C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减
D.当t=20时,
5.(2017·汕头模拟)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,其初始位置为A0( , ),12秒旋转一周,则动点A的纵坐标y关于时间t(单位:秒)的函数解析式为(  )
A. B.
C. D.
6.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针指向位置P(x,y),若初如位置为,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(  )
A. B.
C. D.
7.如图,某大风车的半径为2m,每6s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(s)后与地面的距离为h(m),则函数h=f(t)的关系式(  )
A.y=﹣2cos+2.5 B.y=﹣2sin+2.5
C.y=﹣2cos+2.5 D.y=﹣2sin+2.5
8.夏季来临,人们注意避暑.如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B,则成都市这一天中午12时天气的温度大约是(  )
A.25℃ B.26℃ C.27℃ D.28℃
9.设y=f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象,下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(t∈[0,24])(  )
A. B.
C. D.y=12+3sin
二、填空题
10.(2016高一下·福建期末)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[ (x﹣6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温值为   ℃.
11.某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin()+20,(x∈[6,20]),其中x表示时间,y表示温度,设温度不低于20,某人可以进行室外活动,则此人在6时至20时中,可以进行室外活动的时间约为    小时.
12.已知某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin160πt+110,其中f(t)为血压(mmHg),t为时间(min),则此人每分钟心跳次数为   
13.(人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测)国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin(ωπt+ )+60(美元)[t(天),A>0,ω>0],现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150(天)时达到最低油价,则ω=   .
14.(人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 (x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为   ℃
三、解答题
15.(2018高一下·鹤壁期末)某实验室白天的温度 (单位: )随时间 (单位: )的变化近似满足函数关系: , .
(1)求实验室白天的最大温差;
(2)若要求实验室温差不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温?
16.(2018高一下·西华期末)如图,一个水轮的半径为 ,水轮圆心 距离水面 ,已知水轮每分钟转动 圈,如果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 )开始计算时间。
(1)将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数;
(2)点 第一次到达最高点大约需要多少时间?
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意,AB=20米,∠DAE=60°,∠DAC=45°,可知ABCD是正方形,有此易得CD=AD=20米,再由,∠DAE=60°,在直角三角形ADE中可求得DE=,AD=20∴塔高为DE+CD="20+20" =20(+1)故选B
【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题,解答本题的关键是建立起符合条件的模型,然后再由三角形中的相关知识进行运算,解三角形的应用一般是求距离(长度问题,高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件,求解三角形的边与角
2.【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答:已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m,水轮中心O距水面2m,
∴最高点为5,即A=3,
故选D.
分析:根据题意,水轮旋转一周所用的时间为一个周期,由周期公式,T= 求解;A为最大振幅,由图象知到最高点时即为A值.
3.【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:不妨令A>0,B>0,
则由 得:A=10,B=20℃;
又 =14﹣6=8,
∴T=16= ,
∴|ω|= ,不妨取ω= .
由图可知,6× +φ=2kπ﹣ (k∈Z),
∴φ=2kπ﹣ ,不妨取φ= .
∴曲线的近似解析式为:y=10sin( x+ )+20,
∴中午12点时最接近的温度为:y=10sin( ×12+ )+20℃=10sin +20℃=20+10sin =5 +20℃≈27℃.
故答案为:B.
【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式,令,即可求解答案。
4.【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:由题意,R= =6,T=60= ,∴ω= ,
点A(3 ,﹣3)代入可得﹣3=6sinφ,∵|φ|< ),∴φ=﹣ .故A正确;
f(t)=6sin( t﹣ ),当t∈[35,55]时, t﹣ ∈[π, ],∴点P到x轴的距离的最大值为6,正确;
当t∈[10,25]时, t﹣ ∈[ π, ],函数y=f(t)单调递减,不正确;
当t=20时, t﹣ = ,P的纵坐标为6,|PA|= =6 ,正确,
故选C.
【分析】求出函数的解析式,再分析选项,即可得出结论.
5.【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:设y关于t的函数:y=sin(ωt+θ)
∵12秒旋转一周,
∴T= =12,
∴ω= ,
∵当t=0时,点A0( , ),将该点代入,得到θ= ,
∴y=sin( t+ ),
故选:C
【分析】首先,设y关于t的函数:y=sin(ωt+θ),根据周期求出ω,再根据过点A求出φ,问题得以解决
6.【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:∵秒针是顺时针旋转,
∴角速度ω<0.又由每60秒转一周,
∴ω=﹣=﹣(弧度/秒),
由P0(,),得,cosφ=,sinφ=.
解得φ=,
故选:C.
【分析】由秒针是顺时针旋转,每60秒转一周,求出ω,由cosφ=,sinφ=.求出φ,由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系.
7.【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:设h=f(t)=Asinωt+k或Acosωt+k,
∵大风车每6s旋转一周,
∴周期T=6,即T==6,解得ω==,排除A,B.
则f(t)=Asint+k或Acost+k,
∵大风车的半径为2m,它的最低点O离地面0.5 m,
∴函数的最小值为0.5,最大值为4.5,
则A+k=4.5,﹣A+k=0.5,
解得A=2,k=2.5,
当t=0时,f(0)=0.5为最小值,
若y=﹣2cos+2.5,则当t=0时,y=﹣2cos0+2.5=2.5﹣2=0.5满足条件.
若y=﹣2sin+2.5,则当t=0时,y=﹣2sin0+2.5=2.5﹣0=2.5不满足条件.排除D,
故选:C
【分析】根据实际问题建立三角函数模型,求出函数的周期和最值分别进行判断即可.
8.【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:由题意以及函数的图象可知,A+B=30,﹣A+B=10,所以A=10,B=20
∵,∴T=16
∵T=,∴
∴y=10sin(x+φ)+20
∵图象经过点(14,30)
∴30=10sin(×14+φ)+20
∴sin(×14+φ)=1
∴φ可以取
∴y=10sin(x+)+20
当x=12时,y=10sin(×12+)+20=10×+20≈27.07
故选C.
【分析】通过函数的图象,求出A,B,求出函数的周期,推出ω,利用函数经过(14,30)求出φ,得到函数的解析式,从而可求中午12时天气的温度.
9.【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:由于y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象,根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系,可得函数的周期T=12可排除A、D,将(3,15)代入B,C,可排除B,C满足.
故选C
【分析】通过排除法进行求解,由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象,故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中,根据周期和函数值排除,即可求出答案.
10.【答案】20.5
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:据题意得28=a+A, =a﹣A
解得a=23,A=5
所以
令x=10得y= =20.5
故答案为:20.5
【分析】根据题意列出方程组,求出a,A,求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数;将x=10代入求出10月份的平均气温值.
11.【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:由题意,10sin()+20≥20
∴sin()≥0
∴2kπ≤≤2kπ+π
∴16k﹣6≤x≤16k+2,
∵x∈[6,20],
∴10≤x≤18
∴此人在6时至20时中,可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时
故答案为:8
【分析】利用温度不低于20,建立不等式,结合x的范围,即可得到此人在6时至20时中,可以进行室外活动的时间.
12.【答案】80
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:∵f(t)=24sin160πt+110,
∴T=,
∴此人每分钟心跳次数为=80
故答案为:80.
【分析】频率就是每分钟心跳的次数.
13.【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin(ωπt+ )+60(美元)[t(天),A>0,ω>0],最高油价80美元,所以80=Asin(ωπt+ )+60,因为sin(ωπt+ )≤1,所以A=20,
当t=150(天)时达到最低油价,即sin(150ωπ+ )=﹣1,
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ,k∈Z,
因为ω>0,所以令k=1,150ωπ+ =2π﹣ ,
解得ω= .
故答案为: .
【分析】通过三角函数的最大值,利用最高油价80美元,求出A,通过当t=150(天)时达到最低油价,求出ω.
14.【答案】16
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】据题意得28=a+A, =a﹣A
解得a=20,A=8
所以
令x=10得y= =16
故答案为:16
【分析】根据题意列出方程组,求出a,A,求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数;将x=10代入求出10月份的平均气温值.
15.【答案】(1)解:已知 ,
因为 ,所以 , ,
所以 在 上取得最大值为12,取得最小值为9,
故实验室这一天最高温度为 ,最低温度为 ,最大温差为
(2)解:依题意当 时,实验室需要降温,即 ,
,∴ , ,
∴ , ,又∵ ,
∴ ,即在10时到18时实验室需要降温
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)求出f(t) 在 t∈[6,18] 上取得的最大值最大值和最小值,即可求出温差;
(2)依据题意求出 f(t)>11 时,t的范围,从而得出需要降温的时间段.
16.【答案】(1)解:依题意可知 的最大值为 ,最小为 ,
∴ ;
∵ 每秒钟内所转过的角为 ,得 ,
当 时, ,得 ,即 ,故所求的函数关系式为
(2)解:令 ,得 ,
取 ,得 ,
故点 第一次到达最高点大约需要
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)先根据z的最大和最小值求得A和B,利用周期求得ω,当x=0时,z=0,进而求得φ的值,则函数的表达式可得;
(2)令最大值为6,得方程求出t,可得点 P 第一次到达最高点的时间。
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一、单选题
1.在一幢20m高的楼顶,测得对面一塔吊顶的仰角为,塔基的俯角为,那么塔吊的高是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意,AB=20米,∠DAE=60°,∠DAC=45°,可知ABCD是正方形,有此易得CD=AD=20米,再由,∠DAE=60°,在直角三角形ADE中可求得DE=,AD=20∴塔高为DE+CD="20+20" =20(+1)故选B
【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题,解答本题的关键是建立起符合条件的模型,然后再由三角形中的相关知识进行运算,解三角形的应用一般是求距离(长度问题,高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件,求解三角形的边与角
2.(人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测)如图为一半径为3m的水轮,水轮中心O距水面2m,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(t)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则(  )
A.ω= ,A=5 B.ω= ,A=5
C.ω= ,A=3 D.ω= ,A=3
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答:已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m,水轮中心O距水面2m,
∴最高点为5,即A=3,
故选D.
分析:根据题意,水轮旋转一周所用的时间为一个周期,由周期公式,T= 求解;A为最大振幅,由图象知到最高点时即为A值.
3.(2018高一下·宜昌期末)如图,某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数: ,则中午 12 点时最接近的温度为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:不妨令A>0,B>0,
则由 得:A=10,B=20℃;
又 =14﹣6=8,
∴T=16= ,
∴|ω|= ,不妨取ω= .
由图可知,6× +φ=2kπ﹣ (k∈Z),
∴φ=2kπ﹣ ,不妨取φ= .
∴曲线的近似解析式为:y=10sin( x+ )+20,
∴中午12点时最接近的温度为:y=10sin( ×12+ )+20℃=10sin +20℃=20+10sin =5 +20℃≈27℃.
故答案为:B.
【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式,令,即可求解答案。
4.(2017·临汾模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3 ,﹣3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|< ).则下列叙述错误的是(  )
A.
B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6
C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减
D.当t=20时,
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:由题意,R= =6,T=60= ,∴ω= ,
点A(3 ,﹣3)代入可得﹣3=6sinφ,∵|φ|< ),∴φ=﹣ .故A正确;
f(t)=6sin( t﹣ ),当t∈[35,55]时, t﹣ ∈[π, ],∴点P到x轴的距离的最大值为6,正确;
当t∈[10,25]时, t﹣ ∈[ π, ],函数y=f(t)单调递减,不正确;
当t=20时, t﹣ = ,P的纵坐标为6,|PA|= =6 ,正确,
故选C.
【分析】求出函数的解析式,再分析选项,即可得出结论.
5.(2017·汕头模拟)动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,其初始位置为A0( , ),12秒旋转一周,则动点A的纵坐标y关于时间t(单位:秒)的函数解析式为(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:设y关于t的函数:y=sin(ωt+θ)
∵12秒旋转一周,
∴T= =12,
∴ω= ,
∵当t=0时,点A0( , ),将该点代入,得到θ= ,
∴y=sin( t+ ),
故选:C
【分析】首先,设y关于t的函数:y=sin(ωt+θ),根据周期求出ω,再根据过点A求出φ,问题得以解决
6.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针指向位置P(x,y),若初如位置为,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:∵秒针是顺时针旋转,
∴角速度ω<0.又由每60秒转一周,
∴ω=﹣=﹣(弧度/秒),
由P0(,),得,cosφ=,sinφ=.
解得φ=,
故选:C.
【分析】由秒针是顺时针旋转,每60秒转一周,求出ω,由cosφ=,sinφ=.求出φ,由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系.
7.如图,某大风车的半径为2m,每6s旋转一周,它的最低点O离地面0.5 m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(s)后与地面的距离为h(m),则函数h=f(t)的关系式(  )
A.y=﹣2cos+2.5 B.y=﹣2sin+2.5
C.y=﹣2cos+2.5 D.y=﹣2sin+2.5
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:设h=f(t)=Asinωt+k或Acosωt+k,
∵大风车每6s旋转一周,
∴周期T=6,即T==6,解得ω==,排除A,B.
则f(t)=Asint+k或Acost+k,
∵大风车的半径为2m,它的最低点O离地面0.5 m,
∴函数的最小值为0.5,最大值为4.5,
则A+k=4.5,﹣A+k=0.5,
解得A=2,k=2.5,
当t=0时,f(0)=0.5为最小值,
若y=﹣2cos+2.5,则当t=0时,y=﹣2cos0+2.5=2.5﹣2=0.5满足条件.
若y=﹣2sin+2.5,则当t=0时,y=﹣2sin0+2.5=2.5﹣0=2.5不满足条件.排除D,
故选:C
【分析】根据实际问题建立三角函数模型,求出函数的周期和最值分别进行判断即可.
8.夏季来临,人们注意避暑.如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B,则成都市这一天中午12时天气的温度大约是(  )
A.25℃ B.26℃ C.27℃ D.28℃
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:由题意以及函数的图象可知,A+B=30,﹣A+B=10,所以A=10,B=20
∵,∴T=16
∵T=,∴
∴y=10sin(x+φ)+20
∵图象经过点(14,30)
∴30=10sin(×14+φ)+20
∴sin(×14+φ)=1
∴φ可以取
∴y=10sin(x+)+20
当x=12时,y=10sin(×12+)+20=10×+20≈27.07
故选C.
【分析】通过函数的图象,求出A,B,求出函数的周期,推出ω,利用函数经过(14,30)求出φ,得到函数的解析式,从而可求中午12时天气的温度.
9.设y=f(x)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象,下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(t∈[0,24])(  )
A. B.
C. D.y=12+3sin
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:由于y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象,根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系,可得函数的周期T=12可排除A、D,将(3,15)代入B,C,可排除B,C满足.
故选C
【分析】通过排除法进行求解,由y=f(t)可以近似看成y=k+Asin(ωx+φ)的图象,故可以把已知数据代入y=k+Asin(ωx+φ)中,根据周期和函数值排除,即可求出答案.
二、填空题
10.(2016高一下·福建期末)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[ (x﹣6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温值为   ℃.
【答案】20.5
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:据题意得28=a+A, =a﹣A
解得a=23,A=5
所以
令x=10得y= =20.5
故答案为:20.5
【分析】根据题意列出方程组,求出a,A,求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数;将x=10代入求出10月份的平均气温值.
11.某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin()+20,(x∈[6,20]),其中x表示时间,y表示温度,设温度不低于20,某人可以进行室外活动,则此人在6时至20时中,可以进行室外活动的时间约为    小时.
【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:由题意,10sin()+20≥20
∴sin()≥0
∴2kπ≤≤2kπ+π
∴16k﹣6≤x≤16k+2,
∵x∈[6,20],
∴10≤x≤18
∴此人在6时至20时中,可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时
故答案为:8
【分析】利用温度不低于20,建立不等式,结合x的范围,即可得到此人在6时至20时中,可以进行室外活动的时间.
12.已知某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin160πt+110,其中f(t)为血压(mmHg),t为时间(min),则此人每分钟心跳次数为   
【答案】80
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解:∵f(t)=24sin160πt+110,
∴T=,
∴此人每分钟心跳次数为=80
故答案为:80.
【分析】频率就是每分钟心跳的次数.
13.(人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测)国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin(ωπt+ )+60(美元)[t(天),A>0,ω>0],现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150(天)时达到最低油价,则ω=   .
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin(ωπt+ )+60(美元)[t(天),A>0,ω>0],最高油价80美元,所以80=Asin(ωπt+ )+60,因为sin(ωπt+ )≤1,所以A=20,
当t=150(天)时达到最低油价,即sin(150ωπ+ )=﹣1,
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ,k∈Z,
因为ω>0,所以令k=1,150ωπ+ =2π﹣ ,
解得ω= .
故答案为: .
【分析】通过三角函数的最大值,利用最高油价80美元,求出A,通过当t=150(天)时达到最低油价,求出ω.
14.(人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 (x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为   ℃
【答案】16
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】据题意得28=a+A, =a﹣A
解得a=20,A=8
所以
令x=10得y= =16
故答案为:16
【分析】根据题意列出方程组,求出a,A,求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数;将x=10代入求出10月份的平均气温值.
三、解答题
15.(2018高一下·鹤壁期末)某实验室白天的温度 (单位: )随时间 (单位: )的变化近似满足函数关系: , .
(1)求实验室白天的最大温差;
(2)若要求实验室温差不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温?
【答案】(1)解:已知 ,
因为 ,所以 , ,
所以 在 上取得最大值为12,取得最小值为9,
故实验室这一天最高温度为 ,最低温度为 ,最大温差为
(2)解:依题意当 时,实验室需要降温,即 ,
,∴ , ,
∴ , ,又∵ ,
∴ ,即在10时到18时实验室需要降温
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)求出f(t) 在 t∈[6,18] 上取得的最大值最大值和最小值,即可求出温差;
(2)依据题意求出 f(t)>11 时,t的范围,从而得出需要降温的时间段.
16.(2018高一下·西华期末)如图,一个水轮的半径为 ,水轮圆心 距离水面 ,已知水轮每分钟转动 圈,如果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 )开始计算时间。
(1)将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数;
(2)点 第一次到达最高点大约需要多少时间?
【答案】(1)解:依题意可知 的最大值为 ,最小为 ,
∴ ;
∵ 每秒钟内所转过的角为 ,得 ,
当 时, ,得 ,即 ,故所求的函数关系式为
(2)解:令 ,得 ,
取 ,得 ,
故点 第一次到达最高点大约需要
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】(1)先根据z的最大和最小值求得A和B,利用周期求得ω,当x=0时,z=0,进而求得φ的值,则函数的表达式可得;
(2)令最大值为6,得方程求出t,可得点 P 第一次到达最高点的时间。
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