人教A版（2019）数学必修第一册 5.7 三角函数的应用
一、单选题
1．在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么塔吊的高是（ ）
A． B． C． D．
2．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）
A．ω= ，A=5 B．ω= ，A=5
C．ω= ，A=3 D．ω= ，A=3
3．（2018高一下·宜昌期末）如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，则中午 12 点时最接近的温度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2017·临汾模拟）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3 ，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜ ）．则下列叙述错误的是（ ）
A．
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减
D．当t=20时，
5．（2017·汕头模拟）动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0（ ， ），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（ ）
A．y=﹣2cos+2.5 B．y=﹣2sin+2.5
C．y=﹣2cos+2.5 D．y=﹣2sin+2.5
8．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
9．设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（ ）
A． B．
C． D．y=12+3sin
二、填空题
10．（2016高一下·福建期末）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[ （x﹣6）]（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃．
11．某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为 小时．
12．已知某人的血压满足函数关系式f（t）=24sin160πt+110，其中f（t）为血压（mmHg），t为时间（min），则此人每分钟心跳次数为
13．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
14．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 （x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃
三、解答题
15．（2018高一下·鹤壁期末）某实验室白天的温度 （单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系： ， .
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温差不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？
16．（2018高一下·西华期末）如图，一个水轮的半径为 ，水轮圆心 距离水面 ，已知水轮每分钟转动 圈，如果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 )开始计算时间。
（1）将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数；
（2）点 第一次到达最高点大约需要多少时间？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米，再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20∴塔高为DE+CD="20+20" =20（+1)故选B
【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角
2．【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T= 求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
3．【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：不妨令A＞0，B＞0，
则由 得：A=10，B=20℃；
又 =14﹣6=8，
∴T=16= ，
∴|ω|= ，不妨取ω= ．
由图可知，6× +φ=2kπ﹣ （k∈Z），
∴φ=2kπ﹣ ，不妨取φ= ．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ x+ ）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（ ×12+ ）+20℃=10sin +20℃=20+10sin =5 +20℃≈27℃．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式，令，即可求解答案。
4．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，R= =6，T=60= ，∴ω= ，
点A（3 ，﹣3）代入可得﹣3=6sinφ，∵|φ|＜ ），∴φ=﹣ ．故A正确；
f（t）=6sin（ t﹣ ），当t∈[35，55]时， t﹣ ∈[π， ]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10，25]时， t﹣ ∈[ π， ]，函数y=f（t）单调递减，不正确；
当t=20时， t﹣ = ，P的纵坐标为6，|PA|= =6 ，正确，
故选C．
【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．
5．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ）
∵12秒旋转一周，
∴T= =12，
∴ω= ，
∵当t=0时，点A0（ ， ），将该点代入，得到θ= ，
∴y=sin（ t+ ），
故选：C
【分析】首先，设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ），根据周期求出ω，再根据过点A求出φ，问题得以解决
6．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ=，sinφ=．
解得φ=，
故选：C．
【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
7．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h=f（t）=Asinωt+k或Acosωt+k，
∵大风车每6s旋转一周，
∴周期T=6，即T==6，解得ω==，排除A，B．
则f（t）=Asint+k或Acost+k，
∵大风车的半径为2m，它的最低点O离地面0.5 m，
∴函数的最小值为0.5，最大值为4.5，
则A+k=4.5，﹣A+k=0.5，
解得A=2，k=2.5，
当t=0时，f（0）=0.5为最小值，
若y=﹣2cos+2.5，则当t=0时，y=﹣2cos0+2.5=2.5﹣2=0.5满足条件．
若y=﹣2sin+2.5，则当t=0时，y=﹣2sin0+2.5=2.5﹣0=2.5不满足条件．排除D，
故选：C
【分析】根据实际问题建立三角函数模型，求出函数的周期和最值分别进行判断即可．
8．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵，∴T=16
∵T=，∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．
9．【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系，可得函数的周期T=12可排除A、D，将（3，15）代入B，C，可排除B，C满足．
故选C
【分析】通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin（ωx+φ）中，根据周期和函数值排除，即可求出答案．
10．【答案】20.5
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：据题意得28=a+A， =a﹣A
解得a=23，A=5
所以
令x=10得y= =20.5
故答案为：20.5
【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．
11．【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，10sin（）+20≥20
∴sin（）≥0
∴2kπ≤≤2kπ+π
∴16k﹣6≤x≤16k+2，
∵x∈[6，20]，
∴10≤x≤18
∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时
故答案为：8
【分析】利用温度不低于20，建立不等式，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间．
12．【答案】80
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵f（t）=24sin160πt+110，
∴T=，
∴此人每分钟心跳次数为=80
故答案为：80．
【分析】频率就是每分钟心跳的次数．
13．【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
14．【答案】16
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】据题意得28=a+A， =a﹣A
解得a=20，A=8
所以
令x=10得y= =16
故答案为：16
【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．
15．【答案】（1）解：已知 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 在 上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为 ，最低温度为 ，最大温差为
（2）解：依题意当 时，实验室需要降温，即 ，
，∴ ， ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，即在10时到18时实验室需要降温
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）求出f(t) 在 t∈[6，18] 上取得的最大值最大值和最小值，即可求出温差；
（2）依据题意求出 f(t)>11 时，t的范围，从而得出需要降温的时间段.
16．【答案】（1）解：依题意可知 的最大值为 ，最小为 ，
∴ ；
∵ 每秒钟内所转过的角为 ，得 ，
当 时， ，得 ，即 ，故所求的函数关系式为
（2）解：令 ，得 ，
取 ，得 ，
故点 第一次到达最高点大约需要
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为6，得方程求出t，可得点 P 第一次到达最高点的时间。
1 / 1人教A版（2019）数学必修第一册 5.7 三角函数的应用
一、单选题
1．在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么塔吊的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米，再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，AD=20∴塔高为DE+CD="20+20" =20（+1)故选B
【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角
2．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）
A．ω= ，A=5 B．ω= ，A=5
C．ω= ，A=3 D．ω= ，A=3
【答案】D
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】解答：已知水轮每分钟旋转4圈
∴ω=
又∵半径为3m，水轮中心O距水面2m，
∴最高点为5，即A=3，
故选D．
分析：根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T= 求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．
3．（2018高一下·宜昌期末）如图，某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数： ，则中午 12 点时最接近的温度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：不妨令A＞0，B＞0，
则由 得：A=10，B=20℃；
又 =14﹣6=8，
∴T=16= ，
∴|ω|= ，不妨取ω= ．
由图可知，6× +φ=2kπ﹣ （k∈Z），
∴φ=2kπ﹣ ，不妨取φ= ．
∴曲线的近似解析式为：y=10sin（ x+ ）+20，
∴中午12点时最接近的温度为：y=10sin（ ×12+ ）+20℃=10sin +20℃=20+10sin =5 +20℃≈27℃．
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的图象求得函数的解析式，令，即可求解答案。
4．（2017·临汾模拟）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3 ，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜ ）．则下列叙述错误的是（ ）
A．
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减
D．当t=20时，
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，R= =6，T=60= ，∴ω= ，
点A（3 ，﹣3）代入可得﹣3=6sinφ，∵|φ|＜ ），∴φ=﹣ ．故A正确；
f（t）=6sin（ t﹣ ），当t∈[35，55]时， t﹣ ∈[π， ]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10，25]时， t﹣ ∈[ π， ]，函数y=f（t）单调递减，不正确；
当t=20时， t﹣ = ，P的纵坐标为6，|PA|= =6 ，正确，
故选C．
【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．
5．（2017·汕头模拟）动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为A0（ ， ），12秒旋转一周，则动点A的纵坐标y关于时间t（单位：秒）的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ）
∵12秒旋转一周，
∴T= =12，
∴ω= ，
∵当t=0时，点A0（ ， ），将该点代入，得到θ= ，
∴y=sin（ t+ ），
故选：C
【分析】首先，设y关于t的函数：y=sin（ωt+θ），根据周期求出ω，再根据过点A求出φ，问题得以解决
6．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵秒针是顺时针旋转，
∴角速度ω＜0．又由每60秒转一周，
∴ω=﹣=﹣（弧度/秒），
由P0（，），得，cosφ=，sinφ=．
解得φ=，
故选：C．
【分析】由秒针是顺时针旋转，每60秒转一周，求出ω，由cosφ=，sinφ=．求出φ，由此能求出点P的纵坐标y与时间t的函数关系．
7．如图，某大风车的半径为2m，每6s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m），则函数h=f（t）的关系式（ ）
A．y=﹣2cos+2.5 B．y=﹣2sin+2.5
C．y=﹣2cos+2.5 D．y=﹣2sin+2.5
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：设h=f（t）=Asinωt+k或Acosωt+k，
∵大风车每6s旋转一周，
∴周期T=6，即T==6，解得ω==，排除A，B．
则f（t）=Asint+k或Acost+k，
∵大风车的半径为2m，它的最低点O离地面0.5 m，
∴函数的最小值为0.5，最大值为4.5，
则A+k=4.5，﹣A+k=0.5，
解得A=2，k=2.5，
当t=0时，f（0）=0.5为最小值，
若y=﹣2cos+2.5，则当t=0时，y=﹣2cos0+2.5=2.5﹣2=0.5满足条件．
若y=﹣2sin+2.5，则当t=0时，y=﹣2sin0+2.5=2.5﹣0=2.5不满足条件．排除D，
故选：C
【分析】根据实际问题建立三角函数模型，求出函数的周期和最值分别进行判断即可．
8．夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+B，则成都市这一天中午12时天气的温度大约是（ ）
A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意以及函数的图象可知，A+B=30，﹣A+B=10，所以A=10，B=20
∵，∴T=16
∵T=，∴
∴y=10sin（x+φ）+20
∵图象经过点（14，30）
∴30=10sin（×14+φ）+20
∴sin（×14+φ）=1
∴φ可以取
∴y=10sin（x+）+20
当x=12时，y=10sin（×12+）+20=10×+20≈27.07
故选C．
【分析】通过函数的图象，求出A，B，求出函数的周期，推出ω，利用函数经过（14，30）求出φ，得到函数的解析式，从而可求中午12时天气的温度．
9．设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（ ）
A． B．
C． D．y=12+3sin
【答案】C
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由于y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系，可得函数的周期T=12可排除A、D，将（3，15）代入B，C，可排除B，C满足．
故选C
【分析】通过排除法进行求解，由y=f（t）可以近似看成y=k+Asin（ωx+φ）的图象，故可以把已知数据代入y=k+Asin（ωx+φ）中，根据周期和函数值排除，即可求出答案．
二、填空题
10．（2016高一下·福建期末）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[ （x﹣6）]（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28℃，12月份的月平均气温最低为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃．
【答案】20.5
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：据题意得28=a+A， =a﹣A
解得a=23，A=5
所以
令x=10得y= =20.5
故答案为：20.5
【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．
11．某地一天6时至20时的温度变化近似满足函数y=10sin（）+20，（x∈[6，20]），其中x表示时间，y表示温度，设温度不低于20，某人可以进行室外活动，则此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为 小时．
【答案】8
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，10sin（）+20≥20
∴sin（）≥0
∴2kπ≤≤2kπ+π
∴16k﹣6≤x≤16k+2，
∵x∈[6，20]，
∴10≤x≤18
∴此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间约为18﹣10=8小时
故答案为：8
【分析】利用温度不低于20，建立不等式，结合x的范围，即可得到此人在6时至20时中，可以进行室外活动的时间．
12．已知某人的血压满足函数关系式f（t）=24sin160πt+110，其中f（t）为血压（mmHg），t为时间（min），则此人每分钟心跳次数为
【答案】80
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】解：∵f（t）=24sin160πt+110，
∴T=，
∴此人每分钟心跳次数为=80
故答案为：80．
【分析】频率就是每分钟心跳的次数．
13．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．
【答案】
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+ ）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+ ）+60，因为sin（ωπt+ ）≤1，所以A=20，
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+ ）=﹣1，
此时150ωπ+ =2kπ﹣ ，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+ =2π﹣ ，
解得ω= ．
故答案为： ．
【分析】通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150（天）时达到最低油价，求出ω．
14．（人教新课标A版必修4数学1.6 三角函数模型的简单应用同步检测）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数 （x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ℃
【答案】16
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【解答】据题意得28=a+A， =a﹣A
解得a=20，A=8
所以
令x=10得y= =16
故答案为：16
【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．
三、解答题
15．（2018高一下·鹤壁期末）某实验室白天的温度 （单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足函数关系： ， .
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温差不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？
【答案】（1）解：已知 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 在 上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为 ，最低温度为 ，最大温差为
（2）解：依题意当 时，实验室需要降温，即 ，
，∴ ， ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，即在10时到18时实验室需要降温
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）求出f(t) 在 t∈[6，18] 上取得的最大值最大值和最小值，即可求出温差；
（2）依据题意求出 f(t)>11 时，t的范围，从而得出需要降温的时间段.
16．（2018高一下·西华期末）如图，一个水轮的半径为 ，水轮圆心 距离水面 ，已知水轮每分钟转动 圈，如果当水轮上点 从水中浮现时(图中点 )开始计算时间。
（1）将点 距离水面的高度 表示为时间 的函数；
（2）点 第一次到达最高点大约需要多少时间？
【答案】（1）解：依题意可知 的最大值为 ，最小为 ，
∴ ；
∵ 每秒钟内所转过的角为 ，得 ，
当 时， ，得 ，即 ，故所求的函数关系式为
（2）解：令 ，得 ，
取 ，得 ，
故点 第一次到达最高点大约需要
【知识点】三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为6，得方程求出t，可得点 P 第一次到达最高点的时间。
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