9.2.4总体离散程度的估计 课件(共18张PPT)

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9.2.4总体离散程度的估计
样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息。平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态．特别的，当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.
问题引入
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：７　８　７　９　５　４　９　１０　７　４
乙：９　５　７　８　７　６　８　６　 ７　 ７
那么两个人的水平就没有什么差异吗
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
思考：甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别.观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？
甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.
思考：如何度量成绩的这种差异呢？
一、极差：
甲命中环数的极差=10-4=6，
乙命中环数的极差=9-5=4.
甲的成绩波动范围比乙的大，极差在一定程度上刻画了样本数据的离散程度.
思考：为什么说“一定程度”呢？
因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少.
如果射击成绩稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；否则，会比较远.因此，可以用这个量度量成绩的波动幅度.
假设一组数据是 用 表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即
作为 到 的“距离”.
它们都可以刻画离散程度.
方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.标准差的单位与原始数据一致.在解决实际问题中，一般多采用标准差.
总体中所有个体的 变量值分别为 总体平均数为 .则称
为总体方差， 为总体标准差.
一个样本中个体的 变量值分别为 样本平均数
为 .则称
为样本方差， 为样本标
准差.
标准差（方差）刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小 .所以，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.
实际问题中，我们通常用样本标准差估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.
请同学们计算两名运动员成绩的标准差.
由 可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.所以应选乙.
如果总体的N个变量值中，不同的值有k（k≤N)个,不妨记为 其中 则总体方差还可以写成加权的形式
思考：那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？
标准差为0的所有样本数据都相等.
说明:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.它用来描述样本数据的分散程度.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.
例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
解：把男生样本记为 其平均数记为 ，方
差记为 ；把女生样本记为 其平均数记为 ，
方差记为 ；把总样本数据的平均数记为 ，方差记为
根据方差的定义，总样本方差为
可得
同理可得
因此
所以
所以总样本的方差为51.4862，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为51.4862.
样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据值的信息.
例如：根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数 样本标准差
可以发现，这100个数据中大部分落在区间
内 ，在区间 外的只有7 个.也就是说，绝大部分数据落在 内.
关于统计的有关性质及规律
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