(共33张PPT)
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
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核心知识目标 核心素养目标
1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量一组基底的含义. 2.在平面内,当选定一组基底后,会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养.
2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
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平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作{e1,e2}.
小试身手
1.下列说法中正确的是( )
(A)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底
(B)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量
(C)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a=c,b=d
(D)若一组向量中含有零向量,则该组向量也可以作为平面内基底向量
解析:A.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底,错误;
B.正确.
C.错误.当e1与e2共线时,结论不一定成立.
D.由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为平面内基底向量,结论错误.故选B.
B
D
答案:0
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探究点一
对平面向量基本定理的理解
解析:①③中的向量不共线,可以作为基底,②④中的向量共线,不能作基底.故选B.
方法总结
对基底的理解
两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作基底,若不共线,则可作基底.
答案:③
用基底表示向量
探究点二
方法总结
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
平面向量基本定理的应用
探究点三
方法技巧
若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得.
课堂达标
ABC
A
3.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为 .
解析:若能作为平面内的一组基底,则a与b不共线.
a=e1+2e2,b=2e1+λe2,
由a≠kb即得λ≠4.
答案:(-∞,4)∪(4,+∞)(共40张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
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核心知识目标 核心素养目标
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 1.通过推导数量积的坐标运算培养逻辑推理及数学运算的核心素养.
2.根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直,进一步发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1.平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=
.
(2)向量垂直:a⊥b .
x1x2+y1y2
x1x2+y1y2=0
2.平面向量的模与夹角的坐标表示
小试身手
1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则a·b等于( )
(A)1 (B)-1
(C)2 (D)-2
解析:因为a=(0,1),b=(2,-1),
所以a·b=(0,1)·(2,-1)=0×2+1×(-1)=-1.故选B.
B
D
3.(2021·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb,若a⊥c,则
.
答案:(1,2)或(-1,-2)
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探究点一
数量积的坐标运算
解析:(1)a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),
所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.
故选B.
答案:(1)B
(2)已知a=(2,-1),a+2b=(6,3),若b·c=14,|c|=5,则向量c的坐标为 .
答案:(2)(3,4)或(4,3)
答案:(3)5
方法技巧
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系:
①|a|2=a2;②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解.
(3)向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充.如本例中的(3).
即时训练1-1:(1)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于( )
(A)-1 (B)0
(C)1 (D)2
解析:(1)因为a=(1,-1),b=(-1,2),
所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.故选C.
答案:(1)C
答案:(2)A
[备用例1] 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
解:(1)法一 因为a=(-1,2),b=(3,2),
所以a-b=(-4,0).
所以a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
法二 a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
[备用例1] 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(2)求(a+b)·(2a-b);
解:(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
[备用例1] 已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c).
解:(3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
平面向量的模
探究点二
答案:(1)B
①
②
方法技巧
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
答案:(1)C
[备用例2] 已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb(λ∈R),则|c|取最小值时,λ的值为 .
平面向量的夹角和垂直问题
探究点三
答案:(1)D
答案:(2)C
(3)已知向量a=(-2,-1),b=(t,1),且a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 .
变式训练3-1:若将本例(3)的“钝角”改为“锐角”呢
方法技巧
即时训练3-1:(1)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ= .
解析:(1)(a+λb)⊥(a-λb) (a+λb)·(a-λb)=a2-λ2b2=0 18-2λ2=
0 λ=±3.
答案:(1)±3
[备用例3] 已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得(1)a与b的夹角为直角;
[备用例3] 已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得(2)a与b的夹角为钝角;
[备用例3] 已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得(3)a与b的夹角为锐角.
课堂达标
解析:a·b=-x+6=3,故x=3.故选A.
A
2.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是( )
(A)直角三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)等边三角形
A
C
4.若a·b=39,b=(12,5),则a在b上的投影向量是 . (共44张PPT)
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 1.借助平面直角坐标系及平面向量基本定理,学会平面向量的坐标表示,体会数学抽象及直观想象的核心素养.
2.通过平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示及平面向量共线的坐标表示,发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1.平面向量的坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
(2)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.
(3)坐标:对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.
(4)坐标表示a=(x,y).
(5)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
2.平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表
3.平面向量共线的坐标表示
(1)条件:a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
(2)结论:
当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
小试身手
1.(多选题)下列说法中正确的是( )
(A)相等向量的坐标相同
(B)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
(C)一个坐标对应唯一的一个向量
(D)平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应
解析:由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误.其余均正确,选ABD.
ABD
AB
3.已知P(2,6),Q(-4,0),则PQ的中点坐标为 .
解析:根据中点坐标公式可得,PQ的中点坐标为(-1,3).
答案:(-1,3)
答案:(4,6)
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探究点一
平面向量的坐标表示
方法技巧
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.
(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.
即时训练1-1:如图所示,写出向量a,b,c,d的坐标,其中每个小正方形的边长是1.
解:a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3).
平面向量的坐标运算
探究点二
解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
方法技巧
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
解:(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1) =(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
向量共线的判定及应用
探究点三
变式训练3-1:本例条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平
行 ”,又如何求k的值
方法技巧
根据向量共线求参数值的方法
根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
即时训练3-1:(1)已知四点坐标A(-1,1),B(1,5),C(-2,-1),D(4,11),请判断直线AB与CD是否平行;
[备用例3] 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(1)DE∥BC;
[备用例3] 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点,试建立适当的坐标系并用向量的方法证明:
(2)D,M,B三点共线.
课堂达标
1.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于( )
(A)(-2,-4) (B)(-3,-6)
(C)(-4,-8) (D)(-5,-10)
解析:由a∥b得到m=-4,所以b=(-2,-4),所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=
(-4,-8).故选C.
C
A
3.(多选题)下列各组向量中,不共线的是( )
(A)a=(-2,3),b=(4,6)
(B)a=(2,3),b=(3,2)
(C)a=(1,-2),b=(7,14)
(D)a=(-3,2),b=(6,-4)
解析:选项A中,3×4-(-2)×6≠0,则a与b不共线;同理,B,C中的两向量不共线;选项D中,2×6-(-3)×(-4)=0,则有a∥b.故选ABC.
ABC
4.已知向量a=(1,λ),b=(2,1),c=(1,-2),若向量2a+b与c共线,则λ=
.
