(共29张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第一课时 余弦定理
核心知识目标 核心素养目标
1.会借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握余弦定理及其推论. 3.能够利用余弦定理及推论解三角形. 1.借助于向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,体会数学抽象及逻辑推理的核心素养.
2.通过利用余弦定理及推论解三角形,发展逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1.余弦定理
(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和 这两边与它们夹角的 的积的两倍.
(2)符号语言:在△ABC中,a2= ,b2= ,
c2= .
2.余弦定理的推论
在△ABC中,cos A= ,cos B= ,cos C= .
减去
余弦
b2+c2-2bccos A
c2+a2-2cacos B
a2+b2-2abcos C
3.解三角形
一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
元素
解三角形
小试身手
A
解析:注意余弦定理形式,特别是正负号问题.
故选A.
B
3.在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC= .
答案:150°
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探究点一
已知两边及一角解三角形
方法总结
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出的两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出的两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出的两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.
答案:(2)5
答案:(1)60
答案:(2)4或5
已知三边解三角形
探究点二
方法总结
已知三边解三角形的步骤
(1)分别用余弦定理的推论求出两个角;
(2)用三角形内角和定理求出第三个角.
即时训练2-1:在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,求其最大内角.
判断三角形的形状
探究点三
[例3] 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=
3bc.
(1)求角A的大小;
[例3] 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=
3bc.
方法总结
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系;②化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
①△ABC为直角三角形 a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2;
②△ABC为锐角三角形 a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2;
③△ABC为钝角三角形 a2+b2
即时训练3-1:在△ABC中,若(a-ccos B)b=(b-ccos A)a,判断△ABC的形状.
[备用例3] 已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断此三角形的形状.
课堂达标
D
2.在△ABC中,若B=60°,b2=ac,则△ABC的形状是( )
(A)等腰直角三角形 (B)直角三角形
(C)等腰三角形 (D)等边三角形
解析:因为b2=ac,B=60°,
由余弦定理b2=a2+c2-2ac·cos B,
得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,
所以a=c,又B=60°,
所以△ABC为等边三角形.故选D.
D
4.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则cos C= . (共31张PPT)
第三课时 三角形中的几何计算
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核心知识目标 核心素养目标
1.掌握三角形的面积公式及其应用. 2.熟练掌握利用正、余弦定理判断三角形形状的方法. 3.能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题. 1.借助于三角形的面积公式的简单推导和应用,强化逻辑推理及数学运算的核心素养.
2.通过运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题,提升逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1.三角形的面积公式
π
2.三角形中有关边和角的常用性质
(1)三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C= .
(2)在△ABC中,a>b A B .
>
sin A>sin B
(3)在△ABC中,a+b c,b+c a,c+a b.
(4)在△ABC中,A为锐角 cos A>0 a2 b2+c2;A为直角 cos A=0 a2 .
b2+c2;A为钝角 cos A<0 a2 b2+c2.
>
>
>
<
=
>
小试身手
A
B
(A)75° (B)60° (C)45° (D)30°
3.在△ABC中,A=30°,AB=2,BC=1,则△ABC的面积为 .
答案:2
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探究点一
与三角形面积有关的计算问题
[例1] (1)在△ABC中,A=30°,C=45°,a=2,求S△ABC;
方法总结
三角形面积计算的解题思路
(1)若所求面积为多边形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.
(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.
即时训练1-1:如图,四边形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( )
三角形中的线段长度和角度的计算
探究点二
[例2] 已知四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求角C和线段BD;
[例2] 已知四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(2)求四边形ABCD的面积.
方法总结
三角形中几何计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点,善于应用正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形,一般问题便能很快解决.
(2)此类问题突破的关键是仔细观察,发现图形中较隐蔽的几何条件.
即时训练2-1:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=
45°,求BD的长.
三角形的综合问题
探究点三
[例3] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A=(2c+
a)cos(π-B).
(1)求角B的大小;
[例3] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A=(2c+
a)cos(π-B).
(1)△ABC周长的取值范围;
(2)△ABC面积的最大值.
方法总结
解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起,要注意选择合适的方法、知识进行求解.
(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查,解答此类题目,首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件,然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.
课堂达标
B
D
(A)30° (B)60°
(C)30°或150° (D)60°或120°
A(共31张PPT)
第二课时 正弦定理
核心知识目标 核心素养目标
1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程,掌握正弦定理及其变形. 2.能够利用正弦定理解三角形,并会判断三角形的形状. 1.通过对任意三角形边角关系的探索,证明正弦定理,发展数学抽象及逻辑推理的核心素养.
2.通过利用正弦定理及推论解三角形,加强逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1.正弦定理
2.正弦定理的推论及变形公式
(2)正弦定理的变形(R是△ABC外接圆的半径)
①a= ,b= ,c= ;
③a∶b∶c= .
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
小试身手
B
A
3.已知△ABC外接圆半径是2,A=60°,则BC的长为 .
答案:75°或15°
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探究点一
已知两角和一边解三角形
方法总结
解决已知两角及一边类型的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.
[备用例1] 在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.
已知两边和其中一边的对角解三角形
探究点二
方法总结
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角;
③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数;
②在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表:
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absin A 两解
a=bsin A 一解
a[备用例2] 已知△ABC中的下列条件,解三角形.
(1)a=10,b=20,A=60°;
[备用例2] 已知△ABC中的下列条件,解三角形.
判断三角形的形状
探究点三
[例3] 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=acos C,试判定△ABC的形状.
方法总结
(1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.
(2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式
(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.
即时训练3-1:已知在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
[备用例3] 已知在△ABC中,2sin Acos B=sin C,试判断△ABC的形状.
法二 (利用角的关系进行判断)
因为在△ABC中,A+B+C=π,
即C=π-(A+B),所以sin C=sin(A+B),
由2sin Acos B=sin C=sin(A+B),
得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B-cos Asin B=0,
所以sin(A-B)=0.
因为-π所以△ABC是等腰三角形.
课堂达标
B
C
3.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,则△ABC是( )
(A)直角三角形 (B)等腰三角形
(C)锐角三角形 (D)钝角三角形
解析:由sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5,
得a∶b∶c=3∶4∶5.
不妨设a=3k,b=4k,c=5k(k>0),
则有c2=a2+b2,故△ABC为直角三角形.故选A.
A
答案:60°或120°(共31张PPT)
第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解实际测量中专用名词与术语. 2.熟练掌握正、余弦定理. 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的距离、高度及角度等实际问题. 通过分析问题,利用余弦、正弦定理解决实际问题,培养数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1.实际应用问题中的专用名词与术语
(1)基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的 叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越 ,测量的精确度越高.
(2)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线
的角叫仰角,目标视线在水平视线 的角叫俯角(如图①).
线段
长
上方
下方
(3)方位角:指从正北方向按 转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
顺时针
(4)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
2.解三角形应用题的一般步骤
小试身手
D
1.为了测量B,C之间的距离,在河岸A,C处测量,如图,测得下面四组数据,较合理的是( )
(A)c与α (B)c与b
(C)b,c与β (D)b,α与γ
解析:因为测量者在A,C处测量,所以较合理的应该是b,α与γ.故选D.
B
2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是( )
(A)α>β (B)α=β
(C)α+β=90° (D)α+β=180°
解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.故选B.
3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
(A)北偏东10° (B)北偏西10°
(C)南偏东10° (D)南偏西10°
B
解析:由题意可知,∠ACB=180°-40°-60°=80°,又AC=BC,所以∠CAB=
∠CBA=50°,故A在B的北偏西10°.故选B.
4.甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲楼高为 ,乙楼高为 .
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探究点一
求距离问题
方法总结
测量距离的基本类型及方案
类型 A,B两点间不可通或不可视 A,B两点间可视,但有一点不可达 A,B两点
都不可达
图 形
方 法 先测角C,AC= b,BC=a,再用余弦定理求AB 以点A不可达为 例,先测角B,C, BC=a,再用正弦定理求AB 测得CD=a,∠BCD,∠BDC,
∠ACD,∠ADC,在△ACD中用正弦定理求AC;在△BCD中用正弦定理求BC;在△ABC中用余弦定理求AB
即时训练1-1:如图,为测量河对岸A,B两点间的距离,沿河岸选取相距40 m的C,D两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则A,B两点的距离是 .
求高度问题
探究点二
方法总结
高度问题的求法
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC=a,∠BCA=α,AB=a·tan α
底部不可达 点B 与C, D共线 测得CD=a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD,再解三角形得AB的值
点B 与C, D不 共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC,再解三角形得AB的值
即时训练2-1:如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN= .
答案:150 m
[备用例2] 如图,在测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
求角度问题
探究点三
方法总结
(1)三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理,这是因为:余弦函数在(0,π)上是单调递减的,由所求得余弦值,不用判断角的个数问题(主要区别钝角、锐角问题),答案是唯一的,而正弦函数在(0,π)上不是单调的,因而求出正弦值后有两个角对应,还需判断角的合理性.若用正弦定理求角,应结合具体图形来判断角的解的个数,也可尽量地利用直角三角形来解答.
(2)测量角度问题的情境属于“根据需要对某些物体定位”,测量数量越准确,定位精度越高.
答案:北偏东30°
[备用例3]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 km的A处,并正以30 km/h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v km/h的航行速度匀速行驶,经过t h与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 km/h,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
[备用例3]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20 km的A处,并正以30 km/h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v km/h的航行速度匀速行驶,经过t h与轮船相遇.
课堂达标
C
1.若P在Q的北偏东44°50′方向上,则Q在P的( )
(A)东偏北45°10′方向上
(B)东偏北44°50′方向上
(C)南偏西44°50′方向上
(D)西偏南44°50′方向上
解析:如图所示.故选C.
B
2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 km/h,15 km/h,则14时两船之间的距离是( )
(A)50 km (B)70 km
(C)90 km (D)110 km
3.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为
km.
4.如图,要测出山上一座天文台BC的高,从山脚A处测得AC=60 m,天文台最高处B的仰角为45°,天文台底部C的仰角为15°,则天文台BC的高为
m. (共32张PPT)
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
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核心知识目标 核心素养目标
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理问题. 2.培养运算能力、分析问题和解决实际问题的能力. 3.了解三角形中关于向量的有关结论. 1.通过合作探究用向量方法解决平面几何问题的实际过程,体会数学建模及逻辑推理的核心素养.
2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题,体验数学建模及数学运算的核心素养.
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1.向量方法在几何中的应用
(1)用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
(2)平面向量及三角形的“四心”
设O为△ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则
2.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.
小试身手
D
B
3.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为( )
(A)梯形 (B)菱形
(C)矩形 (D)正方形
A
答案:1
4.已知力F=(2,3)作用在一物体上,使物体从A(2,0)移动到B(-2,3),则F对物体所做的功为 焦耳.
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探究点一
平面向量在几何证明中的应用
[例1] 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,用向量方法证明:AF⊥DE.
方法技巧
可用向量方法求解的平面几何中的一些问题
(1)证明线段平行或相等或点共线问题,可用共线向量定理;
(2)证明线段平行或相等、判断平面几何图形的形状等,可用向量数乘运算、共线向量定理;
(3)证明线段垂直问题可以转化为线段对应向量的数量积为0.
即时训练1-1:用向量法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
[备用例1] 用向量法证明三角形的三条中线交于一点.
平面向量在几何计算中的应用
探究点二
[例2]如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
方法技巧
(1)用向量法求长度的策略
①利用图形特点选择基底,用公式|a|2=a2求解.
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想方法
①基向量法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
②坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
即时训练2-1:正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,试求
cos ∠DOE的值.
向量在物理中的应用举例
探究点三
[例3] 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,
∠BCW=120°,求A和B处所受绳子的拉力的大小(忽略绳子质量).
方法技巧
用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化:即把物理问题转化为数学问题;
(2)模型的建立:即建立以向量为主体的数学模型;
(3)参数的获得:即求出数学模型的有关解——理论参数值;
(4)问题的答案:即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
[备用例3]质量m=2.0 kg的木块,在平行于斜面向上的拉力F=10 N的作用下,沿倾斜角θ=30° 的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m的距离.(g=9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功;
解:(1)木块受三个力的作用,重力G,拉力F和支持力FN,如图所示,拉力F与位移s方向相同,所以拉力对木块所做的功为WF=F·s=|F||s|cos 0°=20(J);
支持力FN与位移方向垂直,不做功,
所以WN=FN·s1=0;
重力G对物体所做的功为WG=G·s=|G||s|cos(90°+θ)=2.0×9.8×2.0×
cos 120° =-19.6(J).
解:(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W=WF+WN+WG=0.4 J.
[备用例3]质量m=2.0 kg的木块,在平行于斜面向上的拉力F=10 N的作用下,沿倾斜角θ=30° 的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m的距离.(g=9.8 N/kg)
(2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少
课堂达标
C
C