(共35张PPT)
7.1.2 复数的几何意义
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核心知识目标 核心素养目标
1.理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数. 2.了解复数模的概念及几何意义,会求复数的模. 3.了解共轭复数的概念及意义. 通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用,共轭复数的概念的理解,发展数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
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1.复平面
(1)定义:建立了 来表示复数的平面叫做复平面.
(2)实轴:在复平面内, 叫做实轴,单位是 ,实轴上的点都表示 .
(3)虚轴:在复平面内, 叫做虚轴,单位是 ,除 外,虚轴上的点都表示 .
(4)原点:原点(0,0)表示 .
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi一一对应复平面内的点 .
直角坐标系
x轴
1
实数
y轴
i
原点
纯虚数
实数0
Z(a,b)
(2)复数z=a+bi一一对应平面向量 .
3.复数的模
相等
4.共轭复数
(1)定义:一般地,当两个复数的实部 ,虚部 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
互为相反数
(3)性质:①两个共轭复数的对应点关于 对称.
实轴
它本身
小试身手
B
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
D
解析:由题意知点A的坐标为(6,5),点B的坐标为(-2,3).由中点坐标公
式,得线段AB的中点C的坐标为(2,4),故点C对应的复数为2+4i.故选C.
3.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
(A)4+8i (B)8+2i
(C)2+4i (D)4+i
C
答案:9
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探究点一
复平面内的点同复数的对应关系
(1)在复平面的第二象限内;
(2)在复平面内的x轴上方.
解:点Z在x轴上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5时,点Z在x
轴上.
变式训练1-1:本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在x轴上时,实数a
的值.
变式训练1-2:本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在y轴上时,实数a
的值.
变式训练1-3:本例中题设条件不变,如果点Z在直线x+y+7=0上,求实数a的值.
方法总结
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标.
(2)根据已知条件,建立实部与虚部满足的关系,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
即时训练1-1:已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;
即时训练1-1:已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(2)在第三象限内.
[备用例1] (1)实部为-2,虚部为1的复数的共轭复数所对应的点位于复平面的( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:(1)实部为-2,虚部为1的复数的共轭复数所对应的复平面内的点为(-2,-1),位于第三象限.故选C.
答案:(1)C
(2)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= .
解析:(2)可知z1=2-3i在复平面内对应点为(2,-3),再由z1,z2对应的点关于原点对称易知z2对应点的坐标为(-2,3),所以z2=-2+3i.
答案:(2)-2+3i
复数与复平面内向量的关系
探究点二
方法技巧
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
(A)1+i,1+i (B)2+i,2+i
(C)1+i,2+i (D)2+i,1+i
[备用例2] 在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.
复数的模及其几何意义
探究点三
(1)求|z1|与|z2|的值,并比较它们的大小;
(2)设复平面内,复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|,复数z对应的点Z的集合是什么
解:(2)|z2|≤|z|≤|z1|,由(1)知1≤|z|≤2.
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1上和该圆外部所有点的集合,不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2上和该圆内部所有点组成的集合,所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环(包括边界),如图所示.
方法总结
(1)两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小.
(2)复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
(3)|z1-z2|表示z1,z2所表示的两点间的距离,|z|=r表示以原点为圆心,以r为半径的圆.
即时训练3-1:已知复数z满足|z|2-2|z|-8=0,则复数z对应点的轨迹为
( )
(A)一个圆 (B)线段
(C)两点 (D)两个圆
解析:因为|z|2-2|z|-8=0,所以(|z|-4)(|z|+2)=0,所以|z|=4,表示一个圆.故选A.
即时训练3-2:已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为 .
答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|
[备用例3] 已知复数z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求实数a的取值范围.
课堂达标
A
1.已知复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),则z等于( )
(A)1-i (B)1+i
(C)-1-i (D)-1+i
解析:复数z在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),所以z的实部为1,虚部为-1,所以z=1-i.故选A.
B
2.若复数a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
(A)(-∞,1) (B)(-∞,-1)
(C)(1,+∞) (D)(-1,+∞)
3.已知0
4.若复数z1=2+bi与复数z2=a-4i互为共轭复数,则a= ,b=
.
解析:因为z1与z2互为共轭复数,
所以a=2,b=4.
答案:2 4(共30张PPT)
第七章 复数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解数系的扩充过程. 2.理解复数的基本概念及复数相等的条件. 3.了解复数的表示方法. 通过复数的基本概念及复数相等的有关知识的学习,达成数学抽象及数学运算的核心素养.
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1.复数的有关概念
(1)复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做 ,其中i叫做虚数单位,且i2=-1.
(2)复数集:全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.
(3)复数的表示:z= ,其中 叫做复数z的实部, 叫做复数z的虚部.
复数
a+bi(a,b∈R)
a
b
2.数系的扩充
3.复数相等
若a,b,c,d∈R,则复数a+bi与c+di相等的充要条件是 且 .
4.复数的分类
(1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是 ;当且仅当 时,它是实数0;当b≠0时,叫做 ;当a=0且b≠0时,叫做 .
这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:
复数a+bi(a,b∈R)
a=c
b=d
实数
a=b=0
虚数
纯虚数
(2)集合表示:
小试身手
C
A
2.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )
(A)-1 (B)0
(C)1 (D)-1或1
答案:0
4.若(x+y-2)+(x-y-4)i=0(x,y∈R),则x= ,y= .
答案:3 -1
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探究点一
复数的基本概念
[例1] (1)下列说法中正确的是 .
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
②若x2+x-2+(x2+2x-3)i是纯虚数,则实数x=1或x=-2;
③两个虚数不能比较大小.
答案:(1)③
(2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
.
方法总结
(1)对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,而且更要注意a,b均为实数,才能确定复数的实、虚部.
(2)将数系扩充到复数后,在判定数的性质和结论时要明确在哪个数集上,若一个命题在实数范围内成立,但是在复数范围内却不一定成立,如一个数的平方为非负数在实数范围内是真命题,在复数范围内是假命题.
(3)复数范围内能够比较大小的只能是实数.
答案:3-3i
[备用例1] 已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是( )
(A)-1或3
(B){a|a>3或a<-1}
(C){a|a>-3或a<1}
(D){a|a>3或a=-1}
解析:由已知可以得到a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,因此,实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.故选B.
复数的分类
探究点二
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
变式训练2-1:把例2中的“z”换成“z=lg m+(m-1)i”,分别求相应问题.
(2)当m-1≠0且m>0,即m>0且m≠1时,复数z是虚数.
(3)当lg m=0且m-1≠0时,此时无解,即无论实数m取何值均不能表示纯虚数.
方法技巧
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义,其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解.
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
[备用例2] 已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,试求实数m分别取什么值
时,z分别为:(1)实数;
(2)虚数;
[备用例2] 已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i,试求实数m分别取什么值
时,z分别为:(3)纯虚数.
复数相等
探究点三
[例3] 根据下列条件,分别求实数x,y的值.
(1)x2-y2+2xyi=2i;
[例3] 根据下列条件,分别求实数x,y的值.
(2)(2x-1)+i=y-(3-y)i.
方法技巧
复数相等的充要条件是化复数问题为实数问题的主要依据,多用来求解参数的值.步骤是:分别分离出两个复数的实部与虚部,利用实部与实部相
等,虚部与虚部相等,列方程组求解.
即时训练3-1:已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.
课堂达标
B
1.复数i-2的实部是( )
(A)i (B)-2 (C)1 (D)2
解析:i-2=-2+i,因此实部是-2.故选B.
B
2.若复数z=(m+2)+(m2-9)i>0(m∈R),则实数m的值为( )
(A)-2 (B)3 (C)-3 (D)±3
3.设a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,其中a为实数,则a= .
解析:由题意知a-2=2a+1,解得a=-3.
答案:-3
4.设i为虚数单位,若关于x的方程x2-(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为n,则m= .
答案:1