(共45张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握复数的乘、除运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 通过复数代数形式的乘法和除法运算法则、运算律的学习与应用,培养数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.
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课堂探究·素养培育
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1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1z2=(a+bi)·(c+di)=
.
2.复数的乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
(ac-bd)+(ad+bc)i
交换律 z1z2= .
结合律 (z1z2)z3= .
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)= .
z2z1
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
3.复数的除法法则
|z|2
小试身手
A
1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于( )
(A)4+2i (B)2+i (C)2+2i (D)3+i
解析:z1·z2=(1+i)(3-i)=4+2i.故选A.
B
2.(2021·全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z等于( )
(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4
D
4.在复数范围内方程3x2+4=0的根为 .
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探究点一
复数的乘除运算
探究角度1 复数的乘法运算
[例1] 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.
方法总结
(1)复数乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开;再将i2换成-1;然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
即时训练1-1:(1)(2+i)2等于( )
(A)5-4i (B)5+4i
(C)3-4i (D)3+4i
解析:(1)(2+i)2=4-1+4i=3+4i.故选D.
(2)已知i是虚数单位,若复数(1+ai)·(2+i)是纯虚数,则实数a等于( )
解析:(2)因为(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i为纯虚数,所以2-a=0且1+2a≠
0,解得a=2.故选A.
[备用例1] 求5+12i的平方根.
探究角度2 复数的除法运算
方法总结
(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
(2)常用公式
答案:-2+i
探究角度3 复数的积与商的模
[例3] (1)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|等于( )
答案:(1)C
方法总结
答案:(1)A
答案:(2)1
答案:-6
探究角度4 复数的商与复数有关概念的综合
变式训练4-1:若本例中的复数为实数,则a的值为 .
方法总结
涉及含未知量的复数的商为纯虚数或实数问题,一种方法是利用复数的除法将复数的商化为z=a+bi(a,b∈R)的形式后利用复数的有关概念求解,另一种方法是设出纯虚数或实数将问题转化为复数相等求解.
虚数单位i的幂的周期性及其应用
探究点二
[例5] (1)复数z=i8+(-i)9可化简为( )
(A)1-i (B)0 (C)1+i (D)2
答案:(1)A
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
答案:(2)C
(3)1+i+i2+i3+…+i2 022= .
解析:(3)因为in+++=0,n∈N*,
所以1+i+i2+i3+…+i2 022=1+i+i2+(i3+i4+i5+i6)+(i7+i8+i9+i10)+…+
(i2 019+i2 020+i2 021+i2 022)=1+i+i2=i.
答案:(3)i
方法技巧
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
实系数一元二次方程
探究点三
[例6] 在复数范围内解下列方程.
(1)x2+5=0;
[例6] 在复数范围内解下列方程.
(2)x2+4x+6=0.
方法总结
在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
(1)利用求根公式求解.
(2)利用复数相等的定义求解.
(1)求复数z的模;
(2)若复数z是方程2x2+mx+n=0的一个根,求实数m,n的值.
[备用例4]已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根.
(1)求实数a,b的值;
[备用例4]已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根.
(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.
解:(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.
设另一个根为x2,由根与系数的关系,得-1+i+x2=-2,所以x2=-1-i.下面给予证明:
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0,
则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边,
所以x2=-1-i是方程的另一个根.
课堂达标
B
1.i为虚数单位,i607等于( )
(A)i (B)-i (C)1 (D)-1
解析:i607=i4×151+3=i3=-i.故选B.
A
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)2
3.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为( )
(A)3+i (B)1-3i
(C)3-i (D)-1+3i
B
解析:根据复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式知,两个虚数根互为共轭虚数,所以另一个根为1-3i.故选B.
答案:-1+i(共30张PPT)
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.熟练掌握复数的加减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义,并能简单应用. 1.通过复数的代数形式的加、减运算法则和运算律的学习与应用,发展数学抽象及数学运算的核心素养.
2.通过复数加、减法的几何意义的学习与应用,强化直观想象及数学运算的核心素养.
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1.复数的加减运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)=
.
(2)加法运算律:
对任意z1,z2,z3∈C,有
(a±c)+(b±d)i
交换律 z1+z2= .
结合律 (z1+z2)+z3= .
z2+z1
z1+(z2+z3)
2.复数加减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义.
小试身手
B
1.已知复数z1=3+4i,复数z2=3-4i,那么z1+z2等于( )
(A)8i (B)6
(C)6+8i (D)6-8i
解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=6.故选B.
C
2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故复数z对应的点为(-1,-3),位于第三象限.故选C.
(A)-10+8i (B)10-8i
(C)0 (D)10+8i
C
解析:由题意z=x+yi(x,y∈R),结合|z-i|=2可知x2+(y-1)2=4.
4.若复数z满足|z-i|=2,则复平面内复数z对应的点(x,y)满足的关系式是
.
答案:x2+(y-1)2=4
课堂探究·素养培育
探究点一
复数的加减运算
[例1] 计算下列各题.
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).
[例1] 计算下列各题.
解:(3)原式=(5-2-3)+[-6+(-2)-3]i=-11i.
方法总结
(1)复数的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项);若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
解:(2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.
[备用例1] 已知复数z1=(3-10i)y,z2=(-2+i)x(x,y∈R),且z1+z2=1-9i,求
z1-z2.
复数加减法的几何意义
探究点二
[例2] 在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
[例2] 在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
(2)判断△ABC的形状.
方法技巧
利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.
即时训练2-1:如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,
-2+4i.求:
即时训练2-1:如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,
-2+4i.求:
即时训练2-1:如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,
-2+4i.求:
[备用例2] 在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,
AC为邻边作一个平行四边形.求点D对应的复数z4及AD的长.
复数加减法及几何意义的综合应用
探究点三
[例3] 已知|z+1-i|=1,求|z-3+4i|的最大值和最小值.
方法技巧
(1)|z-z0|表示复数z,z0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
即时训练3-1:已知复数z满足|z+2-2i|=1,求|z-3-2i|的最大值与最小值.
[备用例3] 若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.
解:设复数-i,i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3.如图,
因为|z+i|+|z-i|=2,
所以|Z1Z2|=2,
所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,由图可知|Z1Z3|的长即ZZ3长的最小值,最小值为1.
课堂达标
C
1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为( )
(A)5-3i (B)3+5i (C)7-8i (D)7-2i
解析:(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1)+(-3-3)i+(2-2i)=5+(-6)i+(2-2i)=
(5+2)+(-6-2)i=7-8i.故选C.
C
(A)2+8i (B)-6-6i
(C)4-4i (D)-4+2i
3.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点Z在( )
(A)实轴上 (B)虚轴上
(C)第一象限 (D)第二象限
B
解析:因为|z-1|=|z+1|,所以点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上,即在虚轴上.故选B.
4.设平行四边形ABCD在复平面内,A为原点,B,D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i,则点C对应的复数是 .
答案:5-2i
