(共40张PPT)
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 简单多面体
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核心知识目标 核心素养目标
1.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. 1.通过对棱柱、棱锥、棱台的结构特征的学习,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.
2.通过运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体及进行有关计算,发展逻辑推理、数学运算的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.空间几何体
在我们周围存在着各种各样的物体,它们都占据着空间的一部分,如果只考虑这些物体的 和 ,而不考虑其他因素,那么由这些物体 的空间图形就叫空间几何体.
形状
大小
抽象出来
2.多面体和旋转体
类别 定义 图示
多面体 由若干个 围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个 叫做多面体的面;两个面的 叫做多面体的棱; 的公共点叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的 旋转所形成的 叫做旋转面, 的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 叫做旋转体的轴
平面多边形
多边形
公共边
棱与棱
一条定直线
曲面
封闭
这条定直线
3.棱柱、棱锥与棱台
多面体 定义 相关概念 图形及表示 分类 特殊情形
棱柱 一般地,有两个面互相 ,其余各面都是 ,并且相邻两个四边形的公共边都互相 ,由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底):两个互相 的面; 侧面:其余各面 侧棱:相邻侧面的 ; 顶点:侧面与底面的 . 记作:棱柱 ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;
斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;
正棱柱:底面是正多边形的直棱柱
平行
四边形
平行
平行
公共边
公共顶点
棱锥 有一个面是 ,其余各面都是有一个公共顶点的 ,由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面(底):多边形面; 侧面:有公共顶点的各个三角形面; 侧棱:相邻侧面的 ; 顶点:各侧面的 . 记作:棱锥S-ABCD 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……,其中三棱锥又叫四面体 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
多边形
三角形
公共边
公共顶点
棱台 用一个 . .的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体叫做 棱台 上底面:原棱锥的 ; 下底面:原棱锥的 ; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与上 (下)底面的公共顶点 记作:棱台 ABCD-A′B′C′D′ 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
于棱锥底面
平行
截面
底面
棱柱、棱 锥、棱台的 关系 在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)
小试身手
1.下面多面体中,是棱柱的有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
D
解析:根据棱柱的定义进行判定知,这4个图都满足.故选D.
2.棱锥的侧面和底面可以都是( )
(A)三角形 (B)四边形
(C)五边形 (D)六边形
A
解析:棱锥的侧面都是三角形,所以底面和侧面相同只能是三角形.
故选A.
3.下列图形中,是棱台的是( )
C
解析:由棱台的定义知,A,D的侧棱延长线不交于一点,所以不是棱台;B中两个面不平行,不是棱台,只有C符合棱台的定义.故选C.
答案: 4 8
4.四棱柱有 条侧棱, 个顶点.
解析:四棱柱有4条侧棱,8个顶点(可以结合正方体观察求得).
课堂探究·素养培育
探究点一
棱柱的结构特征
[例1] 下列说法正确的是( )
(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱
(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱
(C)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
(D)九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形
解析:选项A,B都不正确,反例如图所示.选项C也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.故选D.
方法技巧
有关棱柱的结构特征问题的解题策略
(1)棱柱的定义有以下两个要点,缺一不可.
①有两个平面(底面)互相平行;
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.
解析:根据棱柱的结构特征可知几何体①③④⑤均不符合,仅有②符合.故选D.
即时训练1-1:下列几何体是棱柱的有( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
解析:A错,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面,B,
C,D是正确的.故选A.
即时训练1-2:下列四个命题中,假命题为( )
(A)棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
(B)棱柱的各个侧面都是平行四边形
(C)棱柱的两底面是全等的多边形
(D)棱柱的面中,至少有两个面互相平行
解析:(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;
(3)正确,由棱柱的定义易知,两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是(3)(4).
[备用例1] 下列关于棱柱的说法:
(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形;
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确的序号是 .
答案:(3)(4)
棱锥和棱台的结构特征
探究点二
[例2] 下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(2)棱锥的侧面只能是三角形;
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是 .
解析:(1)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
(2)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;
(3)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)错误,如图所示,四棱锥S-ABCD被平面SAC截成的两部分都是棱锥.
答案:(1)(2)(3)
方法技巧
判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
即时训练2-1:下面图形中,为棱锥的是( )
(A)①③ (B)①③④
(C)①②④ (D)①②③④
解析:根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.故选C.
即时训练2-2:有下列三种叙述:
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.
[备用例2] 下列说法中正确的是( )
(A)棱锥的侧面不一定是三角形
(B)棱锥的各侧棱长一定相等
(C)棱台的各侧棱的延长线交于一点
(D)用一平面去截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台
解析:根据定义,棱锥的侧面一定是三角形,故A不正确.在斜棱锥中侧棱长不一定相等,故B不正确.用一平行底面的平面截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,一个是棱台,故D不正确.故选C.
多面体的平面展开图
探究点三
[例3] (1)下面图形中是正方体展开图的是( )
解析:(1)由正方体表面展开图性质知A是正方体的展开图;B折叠后第一行两个面无法折起来,而且下边没有面,故不能折成正方体;C缺少一个正方形;D折叠后有一个面重合,另外还少一个面,故不能折成正方体.故选A.
(2)(2020·广东韶关高一期末)如图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是( )
解析:(2)将平面图形 折叠起来,变成正方体后的图形中,相
邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D.故选B.
方法技巧
(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手
能力.
(2)若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面.
(3)若是给出表面展开图,则可把上述程序逆推.
即时训练3-1:水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上),若图中“0”上方的“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是( )
(A)1 (B)2 (C)快 (D)乐
解析:由题意知,将正方体的展开图还原成正方体,1与乐相对,2与2相对,
0与快相对,所以下面是2.故选B.
[备用例3] 如图是三个几何体的表面展开图,请问各是什么几何体
解:由几何体的表面展开图的特点,结合棱柱,棱锥,棱台的定义,可把表面展开图还原为原几何体,如图所示.
所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.
多面体表面距离最短问题
探究点四
[例4] 如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
方法技巧
该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
即时训练4-1:如图所示,长方体的底面相邻边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.
如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长
[备用例4] 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
课堂达标
B
解析:棱柱、棱台的上、下底面是平行的,而棱锥的任意两面均不平行.故选B.
1.有两个面平行的多面体不可能是( )
(A)棱柱 (B)棱锥
(C)棱台 (D)以上都错
2.(教材习题改编)已知集合A={正方体},B={长方体},C={正四棱柱},
D={直四棱柱},E={棱柱},F={直平行六面体},则( )
(A)A B C D F E
(B)A C B F D E
(C)C A B D F E
(D)它们之间不都存在包含关系
B
解析:根据棱柱、直四棱柱、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体的结构特征可以得到答案.故选B.
3.棱台不具有的性质是( )
(A)两底面相似
(B)侧面都是梯形
(C)侧棱都平行
(D)侧棱延长后都交于一点
C
解析:根据棱台的定义:用平行于底面的平面截棱锥,截面与底面之间的部分叫做棱台,所以棱台具有的性质是上、下底面多边形相似,每个侧面都是梯形,侧棱延长后交于一点,所以棱台的侧棱都不平行.故选C.
解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知,①③是棱柱,⑤是棱锥,④是
棱台.
4.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台.
(仅填相应序号)
答案:①③ ⑤ ④(共36张PPT)
第2课时 简单旋转体及组合体
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核心知识目标 核心素养目标
1.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征. 2.理解柱、锥、台的关系. 3.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体. 4.培养学生的空间想象能力和抽象概括能力. 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征,发现圆柱、圆锥、圆台的联系,理解共性和个性,达成数学抽象、直观想象的核心素养.
2.运用圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构,培养数学建模、直观想象的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
圆柱 图形及表示
定义:以 所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为圆柱O′O
相关概念: 圆柱的轴: ; 圆柱的底面: 的边旋转而成的圆面; 圆柱的侧面: 的边旋转而成的曲面; 圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置, .的边
新知探究·素养启迪
1.圆柱的结构特征
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴
圆锥 图形及表示
定义:以直角三角形的 所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念: 圆锥的轴:旋转轴; 圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面; 圆锥的侧面:直角三角形的斜边旋转而成的 ; 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
2.圆锥的结构特征
一条直角边
曲面
圆台 图形及表示
定义:用 的平面去截圆锥, 之间的部分叫做圆台; 旋转法定义:以直角梯形中 所在直线为旋转轴,将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台
图中圆台表示为圆台O′O
相关概念: 圆台的轴:旋转轴; 圆台的底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面; 圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边
3.圆台的结构特征
平行于圆锥底面
底面和截面
垂直于底边的腰
球 图形及表示
定义: 所在直线为旋转轴,旋转一周形成的 叫做球面,球面所围成的 叫做球体,简称球
图中的球表示为球O
相关概念: 球心:半圆的 ; 半径:连接球心和球面上任意一点的线段; 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段
半圆以它的直径
4.球的结构特征
曲面
旋转体
圆心
5.柱体、锥体和台体
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体.其中棱柱与圆柱统称为 ,棱锥与圆锥统称为 ,棱台与圆台统称为 .
6.简单组合体
(1)除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外,还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的,这些几何体称作简单组合体.
(2)简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体 而成;一种是由简单几何体 一部分而成.
柱体
锥体
台体
拼接
截去或挖去
小试身手
1.下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体.
(A)①和⑤ (B)①和② (C)③和④ (D)①和④
D
解析:②六棱锥,③正方体,⑤四面体是多面体;①圆柱,④球体是旋转体.故选D.
2.下列说法正确的是( )
(A)矩形绕其一边所在直线旋转一周其余三边形成的面所围成的几何体是圆柱
(B)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
(C)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台
(D)用任意平面截球所得截面均为圆
A
解析:由圆柱的定义可知,A正确;由圆台的定义可知,B不正确,应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴;C错误,应是用一个与圆锥底面平行的平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台;D错误,平面截球所得截面是圆面,而不是圆.故选A.
3.(多选题)下列关于球体的说法正确的是( )
(A)球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
(B)球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
(C)一个半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
(D)球的对称轴只有1条
BC
解析:空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面,所以A错误,B正确;由球体的定义知C正确;球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴,所以D错误.故选BC.
答案:5
课堂探究·素养培育
探究点一
旋转体的结构特征
[例1] 下列命题正确的是 .(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥;
⑤半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球;
⑥用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
解析:①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台;③它们的底面为圆面;④⑤⑥正确.
答案:④⑤⑥
方法技巧
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
解析:由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确,①③错误.故选D.
即时训练1-1: 给出下列命题:
①圆柱的母线与它的轴可以不平行;
②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )
(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)②④
解析:(1)正确,圆柱的底面是圆面;
(2)正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;
(3)不正确,圆台的母线延长相交于一点;
(4)不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
[备用例1] 给出下列说法:(1)圆柱的底面是圆面;(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中说法正确的是 .
答案:(1)(2)
简单组合体
探究点二
[例2] 观察下列几何体的结构特点,完成以下问题:
(1)图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的 试画出几何图形,可旋转该图形180°后得到几何体①;
解:(1)题图①是由圆锥和圆台组合而成.
可旋转图①180°得到题中几何体①.
[例2] 观察下列几何体的结构特点,完成以下问题:
(2)图②所示几何体结构特点是什么 试画出几何图形,可旋转该图形360°得到几何体②;
解:(2)题图②是一个圆台,从上而下挖去一个圆锥,且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心.
可旋转图②360°得到题中几何体②.
[例2] 观察下列几何体的结构特点,完成以下问题:
(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的 并说明该几何体的面数、棱数、顶点数.
解:(3)题图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成,且四棱锥的底面与四棱柱底面重合.
该几何体共有9个面,9个顶点,16条棱.
方法技巧
(1)明确组合体的结构特征,主要弄清它是由哪些简单几何体组成的,必要时也可以指出棱数、面数和顶点数.
(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步,因此我们应注意观察周围的物体,然后将它们“分拆”成几个简单的几何体,进而培养我们的空间想象能力和识图能力.
即时训练2-1:下列组合体是由哪些几何体组成的
解:(1)由两个几何体组合而成,分别为球、圆柱.
(2)由三个几何体组合而成,分别为圆柱、圆台、圆柱.
(3)由三个几何体组合而成,分别为圆锥、圆柱、圆台.
[备用例2] 如图(1)(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的
解:旋转题图(1)(2)后的图形分别如图(1)(2)所示.其中图(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图(2)是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
旋转体中的计算
探究点三
[例3] 一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为 4π cm2 和25π cm2,求圆台的高.
变式训练3-1:求本例中截得圆台的圆锥的母线长.
方法技巧
与圆锥(台)有关的计算问题的解决策略
(1)画出圆锥(台)的轴截面.
(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系.
(3)求解圆锥(台)的内接几何体问题,应画出其轴截面图形,借助平面几何的知识求解.
即时训练3-1:如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长.
1.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体(如图所示),其结构特征是( )
(A)一个棱柱中挖去一个棱柱
(B)一个棱柱中挖去一个圆柱
(C)一个圆柱中挖去一个棱锥
(D)一个棱台中挖去一个圆柱
课堂达标
B
解析:一个六棱柱挖去一个等高的圆柱.故选B.
2.(教材习题改编)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
A
解析:此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成,是由选项A中的平面图形旋转而形成的.故选A.
3.如图所示的图形中有( )
(A)圆柱、圆锥、圆台和球 (B)圆柱、球和圆锥
(C)球、圆柱和圆台 (D)棱柱、棱锥、圆锥和球
B
解析:根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台.故选B.
答案:63
