(共40张PPT)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和
体积
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式的推导过程. 2.理解圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积公式之间的关系,以及球的表面积的推导. 3.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的表面积、体积公式及应用,会运用体积的割补法、等积转换法等常规方法. 通过圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式的推导及应用,发展学生直观想象、数学运算的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
几何体 侧面展开图 表面积公式
圆柱 S圆柱=2πr(r+l),r为 ,
l为 .
圆锥 S圆锥=πr(r+l),r为 ,
l为 .
圆台 S圆台=π(r′2+r2+r′l+rl),r′为
,r为 ,
l为 .
新知探究·素养启迪
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面半径
底面半径
母线长
母线长
上底面半径
下底面半径
母线长
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
V圆柱= (r是底面半径,h是高);
V圆锥= (r是底面半径,h是高);
V圆台= (r′,r分别是上、下底面半径,h是高).
πr2h
3.柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体:柱体的底面积为S,高为h,则V= .
(2)锥体:锥体的底面积为S,高为h,则V= .
(3)台体:台体的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,则V= .
Sh
(4)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系:
4.球的表面积和体积
(1)S球= (R是球的半径).
(2)V球= (R是球的半径).
4πR2
小试身手
1.圆台OO′的母线长为6,两底面半径分别为2,7,则圆台OO′的侧面积是
( )
(A)54π (B)8π (C)4π (D)16π
A
解析:S圆台侧=π(r+r′)l=π(7+2)×6=54π.故选A.
2.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为( )
(A)15π (B)30π (C)12π (D)36π
C
答案:12π
解析:由底面周长为2π可得底面半径为1.
S底=2πr2=2π,
S侧=2πr·h=4π,
所以S表=S底+S侧=6π.
4.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .
答案:6π
课堂探究·素养培育
探究点一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
(2)若圆锥的高为3,底面半径为4,则此圆锥的表面积为( )
(A)40π (B)36π (C)26π (D)20π
(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为( )
(A)81π (B)100π (C)168π (D)169π
方法技巧
求旋转体侧面积及表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素,因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键.
(2)对于圆台问题,要重视“还台为锥”的思想方法.
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长,而求解这些未知量常常需要列方程.
即时训练1-1:(1)已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )
解析:(1)S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,所以r2=4,所以r=2 cm.
故选B.
答案:(1)B
(2)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为 .
答案:(2)4
解析:(1)由题意知,母线长l=2,底面半径为1,所以侧面积为π×1×2=2π.
答案:(1)2π
解析:(2)设圆台较小的底面半径为r,那么较大的底面半径为3r,由已知得π(r+3r)×3+πr2+9πr2=574π,解得r=7.
答案:(2)7
(2)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍,母线长为3,圆台的表面积为574π,则圆台较小的底面半径为 .
圆柱、圆锥、圆台的体积
探究点二
解析:(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.故选D.
(2)如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为( )
(A)5π (B)6π (C)20π (D)10π
方法技巧
求解圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高,对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面,将待求的量转化到轴截面内求.
即时训练2-1:(1)圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是( )
答案:(1)D
(2)已知某圆柱是将边长为2的正方形(及其内部)绕其一条边所在的直线旋转一周形成的,则该圆柱的体积为 ;
解析:(2)因为圆柱是将边长为2的正方形(及其内部)绕其一条边所在的直线旋转一周形成的,
所以该圆柱的高h=2,底面圆半径r=2,
所以该圆柱的体积为V=πr2h=π×22×2=8π.
答案:(2)8π
[备用例2] (2020·重庆高二月考)在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,
BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
球的表面积和体积
探究点三
变式训练3-2:将本例(3)变为圆柱内接于球,圆柱的底面半径为3,高为8,则球的表面积为 .
解析:如图,由题意知,O1A=3,OO1=4,所以 OA=5,所以球的表面积为100π.
答案:100π
方法技巧
(1)求球的体积与表面积的方法
①要求球的体积或表面积,必须知道半径R或通过条件求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
②半径和球心是球的最关键要素,把握这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
(2)球的截面问题的解题技巧
①有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
②解题时要注意借助球半径R、截面圆半径r、球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.
(3)常见的几何体与球的切、接问题的解决策略
①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等.
②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.
即时训练3-1:(1)已知两个球的半径之比为1∶2,则这两个球的表面积之比为( )
(A)1∶2 (B)1∶4 (C)1∶6 (D)1∶8
答案:(1)B
(2)已知球的表面积为64π,则它的体积为 .
(2)球的一个内接圆锥满足球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为 .
1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )
(A)4π (B)3π (C)2π (D)π
课堂达标
C
解析:该几何体是圆柱,底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×
1×1=2π.故选C.
2.两个半径为1的铁球,熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径为( )
A
3.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )
D
4.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等,则球O的半径为 .(共35张PPT)
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图及它们的内在联系. 2.理解棱柱、棱锥、棱台侧面展开图与几何体的表面积之间的关系. 3.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积. 在棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式的应用过程中,要把实际问题转化为数学问题,并进行计算,可发展学生的数学建模、数学运算和直观想象的核心素养.
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课堂探究·素养培育
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1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的 .棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的 .
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
(1)棱柱:棱柱的底面面积为S,高为h,则V= .
(2)棱锥:棱锥的底面面积为S,高为h,则V= .
(3)棱台:棱台的上、下底面面积分别为S′,S,高为h,则V= .
和
和
Sh
小试身手
1.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )
A
2.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则它的体积为( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)12
B
3.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于 .
课堂探究·素养培育
探究点一
棱柱、棱锥、棱台的表面积
方法技巧
(1)求多面体的表面积,可以先求侧面积,再求底面积.求侧面积,要清楚各侧面的形状,并找出求面积的条件;求底面积要清楚底面多边形的形状及求面积的条件.
(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量:底面边长、高、斜高、侧棱,并注意两个直角梯形的应用:①高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形;②高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.
即时训练1-1:若一个四棱锥的底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等,高为4,则该四棱锥的表面积为( )
[备用例1] 已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面间的部分)上底面边长为4,侧棱和下底面边长都是8,求它的侧面面积.
棱柱、棱锥、棱台的体积
探究点二
探究角度1 直接应用公式求体积
[例2] 已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图所示,则三棱锥 B1-ABC 的体积为( )
方法技巧
求几何体的体积首先应明确几何体的形状,确定公式,然后根据几何体的底面积与高直接代入公式求解.
即时训练2-1:如图,已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2,互相平行的两个侧面的距离为1 m,则这个六棱柱的体积为( )
探究角度2 等积转化法求体积
[例3] 如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为 ( )
方法技巧
由于四面体的任何一个面都可以作为底面,因此求四面体(三棱锥)只需选用底面积和高都易求的形式即可.
即时训练3-1:如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为 .
探究角度3 间接法求体积
[例4] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.
方法技巧
间接法求体积的实质是将待求体积的几何体与一个体积易求的几何体结合起来,将所求几何体的体积转化为两个或多个几何体体积的和或差.
即时训练4-1:如图,将一正方体截去四个角后,得到一个四面体,这个四面体的体积是原正方体体积的( )
[备用例2]如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,
BD=3,FC=4,AE=5,求此几何体的体积.
棱柱、棱锥、棱台的简单组合体的表面积和体积
探究点三
[例5] 一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位:米),浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计,精确到0.01立方米)
方法技巧
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于棱柱、棱锥、棱台有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的每个面是什么多边形,再利用相应多边形的面积公式求得面积.
即时训练5-1:(2019·全国Ⅲ卷) 学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,
AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为 0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g.
答案:118.8
1.(2020·浙江嘉兴高二期中)正方体的体积是64,则其表面积是( )
(A)64 (B)16
(C)96 (D)无法确定
课堂达标
C
解析:因为正方体的体积是64,所以正方体的棱长为4,所以它的表面积S=6×42=96.故选C.
2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是
( )
A
3.棱长和底面边长均为1的正四棱锥的侧面积为( )
A
4.如图,某几何体下面部分为正方体ABCD-A′B′C′D′,上面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为 .
答案:12
