(共35张PPT)
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系. 2.会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系. 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义的过程中,达成学生的数学抽象和直观想象的核心素养.
2.通过运用符号语言和图形语言来表示空间点、直线、平面的位置关系,培养学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.点与直线、点与平面的位置关系
(1)点在直线上和点在直线外.
(2)点在平面内和点在平面外.
2.空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线:我们把不同在 内的两条直线叫做异面直线.
任何一个平面
位置关系 特点
相交 同一平面内,有且只有 公共点
平行 同一平面内, 公共点
异面直线 不同在 内, 公共点
(2)空间两条直线的位置关系
一个
没有
任何一个平面
没有
(3)异面直线的画法
画异面直线时,为了突出它们不共面的特点,常常需要一个或两个面作衬托,明显地体现出异面直线既不相交也不平行的特点,如图甲、乙、丙所示.
位置 关系 直线a 在平面α内 直线a在平面α外
直线a与 平面α相交 直线a与
平面α平行
公共点 公共点 公共点 公共点
符号表示 a α a∩α=A a∥α
图形 表示
3.空间中直线与平面的位置关系
无数个
一个
没有
4.空间中平面与平面的位置关系
(1)两个平面之间的位置关系有且只有两种
①两个平面平行——没有公共点;
②两个平面相交——有一条公共直线.
(2)两个平面位置关系的图形表示和符号表示
位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数
两平面 平行 α∥β 无公共点
两平面 相交 α∩β=a 有一条
公共直线
小试身手
1.不平行的两条直线的位置关系是( )
(A)相交 (B)异面
(C)平行 (D)相交或异面
D
解析:由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面.故选D.
2.若直线a∥α,直线b α,则直线a与b的位置关系是( )
(A)相交 (B)异面
(C)异面或平行 (D)平行
C
解析:由题意直线a∥α,直线b α,可得直线a,b一定没有公共点,故两条直线的位置关系可以是异面或平行.故选C.
3.直线a与平面α满足a α,则( )
(A)a∥α
(B)a与α至少有一个公共点
(C)a∩α=A
(D)a与α至多有一个公共点
D
解析:直线a在平面α外,则直线a与平面α平行或相交,因此直线a与平面α至多有一个公共点.故选D.
4.正方体AC1中,与面ABCD的对角线AC异面的棱有 条.
解析:如图,在正方体AC1中,与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1,DD1,A1B1,
A1D1,D1C1,B1C1,共6条.
答案:6
课堂探究·素养培育
探究点一
空间两条直线的位置关系的判定
[例1] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
解析:直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以(3)应该填相交;直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线平行.所以(1)应该填平行;点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C异面.同理,直线AB与直线B1C异面.所以(2),(4)都应该填异面.
答案:(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
方法技巧
判断直线平行、相交可用平面几何中的定义和方法来处理,判定异面直线的方法有反证法和定义法,只是用定义法不好判断,往往根据“过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线”来判断.
即时训练1-1:若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是
( )
(A)平行 (B)异面
(C)相交 (D)平行、相交或异面
解析:可借助长方体来判断.
如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,A′D′所在直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体
ABCD-A′B′C′D′中的B′C′,DD′,CC′.故a和c可以平行、相交或异面.故选D.
即时训练1-2:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是 .
答案:相交
解析:直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF 平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
解析:如题图①中,GH∥MN.
图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,因此直线GH与MN异面.
图③中,连接GM,GM∥HN,因此,GH与MN共面.
图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN,因此GH与MN异面.
所以图②,④中GH与MN异面.
[备用例1] 如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填序号)
答案:②④
直线与平面的位置关系
探究点二
[例2] 下列命题中,正确命题的个数是( )
①如果a,b是两条平行直线,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足 a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,则a∥b;④如果直线a,b和平面α满足a∥b,
a∥α,b α,那么b∥α;⑤如果平面α的同侧有两点A,B到平面α的距离相等,则AB∥α.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′在过BB′的平面ABB′A′内,故命题①不正确;AA′∥平面BCC′B′,BC 平面BCC′B′,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;AA′∥平面BCC′B′,
A′D′∥平面BCC′B′,但AA′与A′D′相交,所以③不正确;④中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即④正确;⑤显然正确.故选C.
方法技巧
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
(1)在判断直线与平面的位置关系时,直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行,这三种情况都要考虑到,避免疏忽或遗漏.
(2)解决此类问题时,可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.
(3)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面α内;要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.
即时训练2-1:若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是( )
(A)直线上所有的点都在平面外
(B)直线上有无数多个点都在平面外
(C)直线上有无数多个点都在平面内
(D)直线上至少有一个点在平面内
解析:直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数多个点在平面外.故选B.
即时训练2-2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中
点,则
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系是 ;
解析:(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.
答案:(1)相交
即时训练2-2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中
点,则
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系是 ;
解析:(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.
答案:(2)相交
即时训练2-2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中
点,则
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系是 ;
解析:(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.
答案:(3)平行
即时训练2-2:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中
点,则
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系是 .
解析:(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.
答案:(4)相交
[备用例2] 下列说法中,正确的有( )
①如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行;②如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内无数条直线相交;③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行;④一条直线上有两点到平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面.
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的直线平行或异面,所以①错;如果一条直线与一个平面相交,在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交,有无数条,所以②正确;对于③显然有无数条;而④,也有可能相交,所以错误.故选B.
平面与平面的位置关系
探究点三
[例3] 给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是( )
①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行;④若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.
(A)0 (B)1 (C)3 (D)4
解析:如图(1),平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交,故①②错;如图(2),△ABC的三个顶点到β的距离相等,但α与β相交.故③错;不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故④正确.故选B.
方法技巧
平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.
[注意]判断面面的位置关系,要牢牢抓住其特征和定义,要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.
即时训练3-1:下列说法中正确的个数是( )
①平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有2条或3条交线;
②如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
③直线a不平行于平面α,则a不平行于α内任何一条直线;
④如果α∥β,a∥α,那么a∥β.
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
解析:①中,交线也可能是1条;②a也可能在经过b的平面内;③中a不平行于平面α,则a可能在平面α内,平面α内有与a平行的直线;④中,a可能在平面β内.故四个命题都是错误的.故选A.
[备用例3] 已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a α,b β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a α,
b β,则a与b一定不相交;③若两个平面α∩β=b,a α,则a与β一定相交.
其中正确的是 .(将你认为正确的序号都填上)
解析:①错,a与b也可能异面;②对,因为α∥β,所以平面α与β无公共点.又因为a α,b β,所以a与b无公共点;③错,a与平面β也可能平行.
答案:②
1.如图所示,用符号语言可表示为( )
(A)α∩β=l
(B)α∥β,l∈α
(C)l∥β,l α
(D)α∥β,l α
课堂达标
D
解析:显然题图中α∥β,且l α.
故选D.
2.若a∥α,b∥α,则直线a,b的位置关系是( )
(A)平行或异面
(B)平行或相交
(C)相交或异面
(D)平行、相交或异面
D
解析:若a∥α,b∥α,则直线a,b的位置关系可能是平行、相交或异面.故选D.
3.直线a与直线b为两条异面直线,已知直线l∥a,那么直线l与直线b的位置关系为 .
解析:以正方体为例,如图,当直线l位于图中两位置时,直线l与b的位置关系是相交或异面.
答案:异面或相交(共38张PPT)
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平 面
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法. 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实以及三个推论,理解它们的地位与作用. 1.在学习平面的概念和基本事实
1—3的过程中,把现实生活中的平面形状的物体及其具有的性质抽象出来,发展学生的数学抽象和直观想象的核心素养.
2.在应用基本事实1—3的过程中,培养学生的逻辑推理和直观想象的核心素养.
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概念 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的,类似于直线向两端无限延伸,平面是向四周 的
画法 我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面
当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成横向 当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成竖向
新知探究·素养启迪
1.平面的概念、画法与表示
无限延展
表示 方法 (1)用希腊字母表示,如平面α、平面β、平面γ.
(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示,如平面ABCD.
(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面AC、平面BD
文字语言 符号语言
点A在直线l上 .
点A在直线l外 .
点A在平面α内 .
点A在平面α外 .
直线l在平面α内 .
直线l在平面α外 .
平面α,β相交于l .
2.点、直线、平面之间的基本位置关系的符号表示
A∈l
A l
A∈α
A α
l α
l α
α∩β=l
3.平面的基本性质
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本 事实1 过 的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,
B∈α .
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 . P∈α,且P∈β
.
不在一条直线上
两个点
l α
公共直线
α∩β=l,且P∈l
(2)基本事实1的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面
小试身手
1.下列说法:①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是 100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
B
解析:①错误,因为平面具有延展性;②错误,平面无厚度;③错误,因为平面无厚度、大小之分;④正确,符合平面的概念.故选B.
2.能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
C
解析:选项A只表示点A在直线l上;选项D表示直线l与平面α相交于点A;选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面,所以不能表示直线在平面α内.故选C.
3.如果a α,b α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系成立的是( )
(A)l α (B)l α
(C)l∩α=A (D)l∩α=B
A
解析:因为l∩a=A,又a α,
所以A∈l且A∈α.
同理B∈l且B∈α.所以l α.故选A.
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探究点一
图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
[例1] 用符号表示下列语句,并画出图形.
点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
解:用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C 直线AB,如图.
方法技巧
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着先用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的
区别.
即时训练1-1:(1)用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是
( )
(A)A∈l,l α (B)A∈l,l α
(C)A l,l α (D)A l,l α
答案:(1)B
(2)如图所示,用符号语言可表述为( )
(A)α∩β=m,n α,m∩n=A
(B)α∩β=m,n∈α,m∩n=A
(C)α∩β=m,n α,A m,A n
(D)α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
答案:(2)A
解:(1)①A∈α,A β.
[备用例1] (1)将下列文字语言转换为符号语言.
①点A在平面α内,但不在平面β内;
②直线a经过平面α外一点M;
解:②M∈a,M α.
解:③α∩β=l.
[备用例1] (1)将下列文字语言转换为符号语言.
③直线l在平面α内,又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l).
解:(2)①
[备用例1] (2)将下列符号语言转换为图形语言.
①平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC;
②α∩β=c,a α,b β,a∥c,b∩c=P.
解:②
证明点线共面问题
探究点二
[例2] 证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面.
证明:如图所示,已知,
l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
法一 (纳入平面法)因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2 α,所以B∈α.
同理可证C∈α.
又因为B∈l3,C∈l3,所以l3 α.所以直线l1,l2,l3在同一平面内.
法二 (辅助平面法)因为l1∩l2=A,
所以l1,l2确定一个平面α.
因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β.
因为A∈l2,l2 α,所以A∈α.
因为A∈l2,l2 β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.
所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法技巧
点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实2、基本事实1及其推论.解决该类问题通常有三种方法.
(1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平
面内.
(2)辅助平面法(平面重合法):先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(3)反证法.
通常情况下采用第一种方法.
即时训练2-1:如图,已知:a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α.
证明:因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.
所以直线a β,点P∈β.
因为P∈b,b α,所以P∈α.
又因为a α,所以α与β重合.所以PQ α.
[备用例2] 已知直线a∥b,直线l与a,b都相交,求证:过a,b,l有且只有一个平面.
证明:如图所示.
由已知a∥b,所以过直线a,b有且只有一个平面α.设a∩l=A,b∩l=B,所以A∈α,B∈α,且A∈l,B∈l,所以l α.即过a,b,l有且只有一个平面.
证明线共点问题
探究点三
[例3] 证明:三棱台ABC-A1B1C1三条侧棱延长后相交于一点.
证明:如图,延长AA1,BB1,CC1
设AA1∩BB1=P,
又BB1 平面BC1,所以P∈平面BC1,
AA1 平面AC1,所以P∈平面AC1,
所以P为平面BC1和平面AC1的公共点,
又因为平面BC1∩平面AC1=CC1,
所以P∈CC1.
即AA1,BB1,CC1延长后交于一点P.
方法技巧
证明三线共点问题的基本方法:先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实,证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.
[备用例3] 如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,
β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点.
证明:因为α∩γ=b,β∩γ=a,
所以a γ,b γ.
因为直线a和b不平行,
所以直线a,b必相交.
如图所示,设a∩b=P,
则P∈a,P∈b.
因为a β,b α,
所以P∈β,P∈α.
又α∩β=c,所以P∈c,即交线c经过点P.
所以a,b,c三条直线相交于同一点.
证明点共线问题
探究点四
[例4]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q,
求证:B,Q,D1三点共线.
证明:如图,连接A1B,CD1,显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1,
所以BD1 平面A1BCD1.
同理,BD1 平面ABC1D1,
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.
因为A1C∩平面ABC1D1=Q,
所以Q∈平面ABC1D1.
又因为A1C 平面A1BCD1,
所以Q∈平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上,即Q∈BD1,
所以B,Q,D1三点共线.
方法技巧
点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是基本事实3,解决此类问题常用的方法:
(1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
即时训练4-1:如图①所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C l,直线
AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )
(A)点A (B)点B
(C)点C但不过点M (D)点C和点M
解析:因为AB γ,M∈AB,所以M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.
根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.
同理可知,点C也在γ与β的交线上.故选D.
即时训练4-2:如图②所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.
(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线 上;
解析:(1)若EH∩FG=P,
则点P∈平面ABD,P∈平面BCD,
而平面ABD∩平面BCD=BD,
所以P∈BD.
答案:(1)BD
即时训练4-2:如图②所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.
(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.
解析:(2)若EF∩GH=Q,则Q∈平面ABC,Q∈平面ACD,
而平面ABC∩平面ACD=AC,
所以Q∈AC.
答案:(2)AC
[备用例4] 如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,求证:点P在直线DE上.
证明:因为P∈AB,AB 平面ABC,
所以P∈平面ABC.
又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,
所以P∈直线DE.即点P在直线DE上.
1.下列说法中正确的是( )
(A)三个不同的点确定一个平面
(B)一条直线和一个点确定一个平面
(C)空间两两相交的三条直线确定一个平面
(D)两条平行直线确定一个平面
课堂达标
D
解析:对于A,三个不共线的点确定一个平面,故错;
对于B,一条直线和该直线外一个点确定一个平面,故错;
对于C,空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故错;
对于D,两条平行直线确定一个平面,正确.故选D.
2.下列空间图形画法错误的是( )
D
解析:遮挡部分应画成虚线.D错误.故选D.
3.(教材习题改编)如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为( )
(A)A a,a α,B∈α (B)A∈a,a α,B∈α
(C)A a,a∈α,B α (D)A∈a,a∈α,B∈α
B
解析:点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,
a α,B∈α.故选B.
4.设平面α与平面β相交于l,直线a α,直线b β,a∩b=M,则M l.
解析:因为a∩b=M,a α,b β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
答案:∈
