(共24张PPT)
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
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核心知识目标 核心素养目标
1.进一步巩固直线与直线位置关系的判断. 2.理解和掌握基本事实4和等角定理并能应用它们进行证明或判断. 3.培养学生的空间想象能力和抽象概括能力. 1.借助长方体,感悟抽象空间两条直线的平行关系,并由此认识把握等角定理,达成数学抽象与直观想象的核心素养.
2.通过基本事实4和定理(等角定理)的应用,培养直观想象与逻辑推理的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.基本事实4
平行于同一条直线的两条直线平行.
基本事实4的符号表示:a∥b,b∥c .
2.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .
a∥c
相等或互补
小试身手
1.如图,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)平行或异面
A
解析:因为E,F分别是SN和SP的中点,
所以EF∥PN.同理可证HG∥PN,
所以EF∥HG.
故选A.
2.(多选题)下列说法中正确的是( )
(A)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
(B)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
(C)如果两个角相等,则一个角的两边一定与另一角的两边平行
(D)如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
BD
解析:由基本事实4及等角定理知,只有B,D正确.故选BD.
答案:3
3.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,与棱BC平行的棱共有 条.
解析:由棱柱的性质可知,
AB∥A1B1,BD∥B1D1,
所以∠A1B1D1=∠ABD=30°.
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别是AC,A1C1的中点,若∠ABD=30°,则∠A1B1D1= .
答案:30°
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探究点一
基本事实4的应用
[例1] 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形.
方法技巧
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法
用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.
即时训练1-1:如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点,求证:BFD1E是平行四边形.
证明:如图所示,取BB1的中点G,
连接GC1,GE.
因为F为CC1的中点,所以BG∥FC1,且BG=FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1,BF=GC1,
又因为EG∥A1B1,EG=A1B1,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EG∥C1D1,EG=C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1,ED1=GC1.
所以BF∥ED1,BF=ED1,所以四边形BFD1E是平行四边形.
等角定理的应用
探究点二
[例2] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形;
证明:(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
所以C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.
所以∠BMC=∠B1M1C1.
[例2] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.
(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.
方法技巧
利用空间等角定理证明两角相等的步骤
(1)证明两个角的两边分别对应平行.
(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反.
即时训练2-1:如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC和AB的中点.求证:∠PNA1=∠BCM.
[备用例题] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,
C1D1的中点.求证:
[备用例题] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,
C1D1的中点.求证:
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
1.已知∠BAC=30°,AB∥A′B′,AC∥A′C′,则 ∠B′A′C′ 等于
( )
(A)30° (B)150°
(C)30°或150° (D)大小无法确定
课堂达标
C
解析:当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时,∠B′A′C′=30°;
当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相反时,∠B′A′C′=150°.故选C.
2.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )
(A)OB∥O1B1且方向相同 (B)OB∥O1B1
(C)OB与O1B1不平行 (D)OB与O1B1不一定平行
D
解析:如图①,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,但OB与O1B1不平行,故排除A,B;如图②,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,此时OB∥O1B1,故排除C.故选D.
3.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,则四边形MNPQ是 .
答案:矩形
答案:< (共37张PPT)
8.5.3 平面与平面平行
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.理解平面与平面平行的判定定理和性质定理的含义. 2.能用三种语言准确描述平面与平面平行的判定定理和性质定理. 3.能用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明一些空间平行关系的简单命题. 1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理和性质定理,培养学生的数学抽象和直观想象的核心素养.
2.在发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,发展学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
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课堂探究·素养培育
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平面与平面平行的判定定理和性质定理
相交
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条 直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行 面面平行) 因为a∥β,
b∥β,a∩b=P,
a α,b α,
所以α∥β
性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线 . 因为α∥β,
α∩γ=a,
β∩γ=b,
所以a∥b
平行
小试身手
1.已知α,β表示两个不同的平面,直线m是α内一条直线,则“α∥β”是“m∥β”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
A
解析:由α∥β,m α,可得m∥β;反过来,由m∥β,m α,不能推出α∥β.综上,“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件.故选A.
A
2.已知平面α内的两条直线a,b,a∥β,b∥β,若要得出平面α∥平面β,则直线a,b的位置关系是( )
(A)相交 (B)平行 (C)异面 (D)垂直
解析:根据面面平行的判定定理可知a,b相交.故选A.
3.经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作( )
(A)0个 (B)1个
(C)0个或1个 (D)1个或2个
解析:连接平面外的两点的直线,当该直线与平面平行时,过该直线的平面有1个,当该直线与平面相交时,过该直线的平面有0个.故选C.
C
4.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB= .
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探究点一
平面与平面平行的判定定理及其应用
[例1] 如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;
[例1] 如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.
证明:(2)由BD∥B1D1,BD 平面EB1D1,B1D1 平面EB1D1,
得BD∥平面EB1D1.
取BB1的中点G,
连接AG,GF如图,
易得AE∥B1G,
又因为AE=B1G,
所以四边形AEB1G是平行四边形,
所以B1E∥AG.
易得GF∥AD,又因为GF=AD,
所以四边形ADFG是平行四边形,
所以AG∥DF,所以B1E∥DF,又DF 平面EB1D1,B1E 平面EB1D1,
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF=D,
所以平面EB1D1∥平面FBD.
方法技巧
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点.
(2)(判定定理法)要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化.
(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面 β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
即时训练1-1:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面MNP∥平面A1BD.
[备用例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1, D1A1的中点.
证明:(1)连接B1D1,
因为E,F分别是边B1C1,C1D1的中点,
所以EF∥B1D1.
而BD∥B1D1,
所以BD∥EF.
所以E,F,B,D四点共面.
求证:(1)E,F,B,D四点共面;
[备用例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1, D1A1的中点.
求证:(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明:(2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,所以MN∥BD.
又MN 平面EFDB,BD 平面EFDB.
所以MN∥平面EFDB.
连接MF.
因为M,F分别是A1B1,C1D1的中点,
所以MF∥A1D1,MF=A1D1.
又AD∥A1D1,AD=A1D1,
所以MF∥AD且MF=AD.
所以四边形ADFM是平行四边形,
所以AM∥DF.
又AM 平面EFDB,DF 平面EFDB,
所以AM∥平面EFDB.
又因为AM∩MN=M,
所以平面MAN∥平面EFDB.
平面与平面平行的性质定理及其应用
探究点二
[例2] 如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.
求证:EC∥A1D.
证明:因为BE∥AA1,AA1 平面AA1D,BE 平面AA1D,
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD,AD 平面AA1D,BC 平面AA1D,
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC=B,BE 平面BCE,BC 平面BCE,
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE=EC,
平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,
所以EC∥A1D.
方法技巧
(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个面与两平行平面都相交.
(2)两个平面平行的另一个重要性质是判断线面平行:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
即时训练2-1:如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM.
证明:因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.
又DE 平面ABC,AB 平面ABC,所以DE∥平面ABC,
同理DF∥平面ABC,且DE∩DF=D,DE,DF 平面DEF,
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF,
平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM.
[备用例2] 如图所示,两条异面直线BA,DC与两平行平面α,β分别交于点B,A和D,C,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN∥平面α.
证明:如图所示,过点A作AE∥CD交α于点E,取AE的中点P,连接MP,PN,BE, ED,BD,AC.
因为AE∥CD,所以AE,CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α=DE,平面AEDC∩β=AC,因为α∥β,
所以AC∥DE.
又P,N分别为AE,CD的中点,
所以PN∥DE,PN α,DE α,所以PN∥α.
又M,P分别为AB,AE的中点,所以MP∥BE,且MP α,BE α.
所以MP∥α,因为MP∩PN=P,所以平面MPN∥平面α.
又MN 平面MPN,所以MN∥平面α.
平行关系的综合应用
探究点三
[例3] 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.
(1)求证:CE∥平面PAD.
[例3] 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.
(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF 若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由.
方法技巧
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示.
即时训练3-1:已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC 证明你的结论,并说出点F的位置.
[例4] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下:
因为Q为CC1的中点,P为D1D的中点,所以PQ∥DC.
又DC∥AB,所以PQ∥AB且PQ=AB,
所以四边形ABQP为平行四边形,所以QB∥PA.
又PA 平面PAO,QB 平面PAO,
所以BQ∥平面PAO.
连接BD(图略),则O∈BD,
又O为DB的中点,P为D1D的中点,
所以PO∥D1B.
PO 平面PAO,D1B 平面PAO,
所以D1B∥平面PAO.
又D1B∩BQ=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.
课堂达标
D
解析:一个平面内两条不平行的直线必相交,根据平面与平面平行的判定定理可知D正确.故选D.
1.平面α与平面β平行的条件可以是( )
(A)α内有无数多条直线都与β平行
(B)直线a α,b β,且a∥β,b∥α
(C)直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
(D)一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β
A
2.底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,与平面BB1C1C平行的平面是( )
(A)平面AA1D1D (B)平面AA1B1B
(C)平面DD1C1C (D)平面ABCD
解析:根据图形及平面与平面平行的判定定理知,平面BB1C1C∥平面AA1D1D.故选A.
3.若平面α∥平面β,直线a α,点M∈β,过点M的所有直线中( )
(A)不一定存在与a平行的直线
(B)只有两条与a平行的直线
(C)存在无数条与a平行的直线
(D)有且只有一条与a平行的直线
解析:由于α∥β,a α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D正确.故选D.
D
解析:因为平面ABFE∥平面CDHG,
又平面EFGH∩平面ABFE=EF,
平面EFGH∩平面CDHG=HG,
所以EF∥HG.
同理EH∥FG.
所以四边形EFGH的形状是平行四边形.
4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .
答案:平行四边形(共35张PPT)
8.5.2 直线与平面平行
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.掌握直线与平面平行的判定定理. 2.掌握直线与平面平行的性质定理. 3.能熟练应用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决相关问题. 1.通过运用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理和性质定理,培养学生的数学抽象和直观想象的核心素养.
2.在发现、推导和应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的过程中,发展学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
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平面内
平行
平行
相交
交线
小试身手
1.能保证直线a与平面α平行的条件是( )
(A)b α,a∥b
(B)b α,c∥α,a∥b,a∥c
(C)b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD
(D)a α,b α,a∥b
D
解析:由线面平行的判定定理可知,D正确.故选D.
2.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )
(A)一条直线不相交
(B)两条直线不相交
(C)无数条直线不相交
(D)任意一条直线不相交
D
解析:直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的直线当然均无公共点.故选D.
3.在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则( )
(A)EF与BC相交
(B)EF∥BC
(C)EF与BC异面
(D)以上均有可能
B
解析:因为平面SBC∩平面ABC=BC,EF 平面SBC,又EF∥平面ABC,
所以EF∥BC.故选B.
解析:若直线a与平面α内的无数条直线平行,当直线a与平面α内的无数条直线在一个平面内时a α,直线a与平面α内的无数条直线不在一个平面内时a∥α.
4.若直线a与平面α内的无数条直线平行,则直线a与平面α的位置关系
是 .
答案:a α或a∥α
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探究点一
直线与平面平行的判定定理及其应用
[例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G.
方法技巧
利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
即时训练1-1:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S,E,G分别是B1D1,BC,SC的中点.求证:直线EG∥平面BDD1B1.
证明:如图所示,连接SB.
因为E,G分别是BC,SC的中点,
所以EG∥SB.
又因为SB 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1,
所以直线EG∥平面BDD1B1.
[备用例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.
直线与平面平行的性质定理及其应用
探究点二
[例2] 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1∩平面BB1D=FG.
证明:FG∥平面AA1B1B.
证明:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1,BB1 平面BB1D,CC1 平面BB1D,所以CC1∥平面BB1D.
又CC1 平面CEC1,平面CEC1∩平面BB1D=FG,
所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1,所以BB1∥FG.
而BB1 平面AA1B1B,FG 平面AA1B1B,
所以FG∥平面AA1B1B.
方法技巧
(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.
即时训练2-1:如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形.
证明:因为AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB 平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理AB∥PQ,
所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
[备用例2]如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面ABCD是平行四边形,且PA=3.F在棱PA上,且AF=1,E在棱PD上.若CE∥平面BDF,求PE∶ED的值.
解:过点E作EG∥FD交AP于点G,连接CG,连接AC交BD于点O,连接FO(图略).
因为EG∥FD,EG 平面BDF,FD 平面BDF,
所以EG∥平面BDF,又EG∩CE=E,CE∥平面BDF,EG 平面CGE,CE 平面CGE,
所以平面CGE∥平面BDF,
又CG 平面CGE,所以CG∥平面BDF,
又平面BDF∩平面PAC=FO,CG 平面PAC,所以FO∥CG.又O为AC的中点,
所以F为AG的中点,所以FG=GP=1,
即G是PF的中点,又EG∥FD,
所以E为PD的中点,所以PE∶ED=1∶1.
线面平行的判定和性质定理的综合应用
探究点三
[例3] 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.
解:已知a,l是直线,α,β是平面.
a∥α,a∥β,且α∩β=l.
求证:a∥l.
证明:如图所示,在平面α内任取一点A,且使A l.
因为a∥α,所以A a.
故点A和直线a确定一个平面γ,
设γ∩α=m.
同理,在平面β内任取一点B,且使B l,
则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.
因为a∥α,a γ,γ∩α=m,
所以a∥m.同理a∥n,则m∥n.
又m β,n β,所以m∥β.
因为m α,α∩β=l,所以m∥l.
又a∥m,所以a∥l.
变式训练3-1:若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.
解:三条直线l,m,n相互平行,证明如下:
如图所示,因为l∥m,m γ,l γ,
所以l∥γ.
又l α,α∩γ=n,
所以l∥n.
又因为l∥m,
所以m∥n,即直线l,m,n相互平行.
方法技巧
判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,如下:
线线平行 线 面平行 线线平行.
即时训练3-1:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AC与BD交于点O,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面APGH交平面BDM于GH.求证:
AP∥GH.
证明:连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点.
又因为M是PC的中点,所以AP∥OM.
又因为AP 平面BDM,
OM 平面BDM,
所以AP∥平面BDM.
又因为AP 平面APGH,平面APGH∩平面BDM=GH,
所以AP∥GH.
[备用例3] 如图所示,P为 ABCD所在平面外一点,点M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:BC∥l.
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以BC∥AD.
又因为AD 平面PAD,BC 平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,
BC 平面PBC,
所以BC∥l.
[备用例3] 如图所示,P为 ABCD所在平面外一点,点M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(2)MN与平面PAD是否平行 证明你的结论.
1.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,
c,…,那么这些交线的位置关系为( )
(A)都平行 (B)都相交且一定交于同一点
(C)都相交但不一定交于同一点 (D)都平行或交于同一点
课堂达标
A
解析:因为直线l∥平面α,
所以根据直线与平面平行的性质知l∥a,l∥b,l∥c,…,
所以a∥b∥c∥….故选A.
2.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
(A)1个 (B)2个
(C)3个 (D)4个
D
解析:由直线与平面平行的判定定理知,EF与平面ABB′A′,平面BCC′B′,
平面CDD′C′,平面ADD′A′均平行.故与EF平行的平面有4个.故选D.
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为 .
答案:平行
解析:因为A1C1∥AC,A1C1 平面ACE,AC 平面ACE,
所以A1C1∥平面ACE.
4.如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC与平面α分别交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN= .
答案:5
解析:因为AB∥平面α,AB 平面ABCD,
平面ABCD∩平面α=MN,
所以AB∥MN,又点M是AD的中点,
所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=5.
