(共34张PPT)
第2课时 平面与平面垂直的性质
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核心知识目标 核心素养目标
1.掌握平面与平面垂直的性质定理. 2.能运用性质定理解决一些简单问题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系. 在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中,提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
平面与平面垂直的性质定理
垂直于
交线
垂直
线面
图形 语言
作用 ①面面垂直 垂直,②作面的垂线
小试身手
1.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( )
(A)α∥γ
(B)α⊥γ
(C)α与γ相交但不垂直
(D)以上都有可能
D
D
2.已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,则( )
(A)a α (B)a∥α
(C)a⊥α (D)a α或a∥α
解析:在平面α内任取一点P作平面α,β的交线l的垂线b,则有面面垂直的性质可知b⊥β,结合a⊥β可知a∥b,因此根据直线a的位置可知a α或a∥α.故选D.
3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AA1B1B上任取一点M,作ME⊥AB于点E,则( )
(A)ME⊥平面ABCD
(B)ME 平面ABCD
(C)ME∥平面ABCD
(D)以上都有可能
解析:因为ME 平面AA1B1B,
平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,
且平面AA1B1B⊥平面ABCD,ME⊥AB,所以ME⊥平面ABCD.
故选A.
A
4.已知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直,且BC=2,则点A到平面BCD的距离为 .
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探究点一
面面垂直性质的应用
[例1] 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形, 其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证:
(1)BG⊥平面PAD;
证明:(1)由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,
所以PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG 平面PAD,
所以PG⊥平面ABCD,又BG 平面ABCD,
所以PG⊥BG.
又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°,
所以△ABD是正三角形,
所以BG⊥AD.
又AD∩PG=G,AD,PG 平面PAD,
所以BG⊥平面PAD.
[例1] 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形, 其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证:
(2)AD⊥PB.
证明:(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PG 平面PBG,
所以AD⊥平面PBG,
又PB 平面PBG,所以AD⊥PB.
方法技巧
(1)若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.在应用面面垂直的性质定理时,注意三点:①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.
(2)先找条件中有没有在一个平面内与交线垂直的直线,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
即时训练1-1:已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求证:BC⊥AC.
证明:如图所示,在平面PAC内作AD⊥PC于点D,
因为平面PAC⊥平面PBC,AD 平面PAC,且AD⊥PC,
所以AD⊥平面PBC,
又BC 平面PBC,所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PA⊥BC,
因为AD∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,
又AC 平面PAC,所以BC⊥AC.
[备用例1] 如图,△ABC是正三角形,若AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,求证:AE∥平面BCD.
证明:如图所示,取BC的中点M,连接DM,AM,
因为BD=CD,所以DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC,DM 平面BCD,两平面交线为BC,
所以DM⊥平面ABC,
又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM.
又因为AE 平面BCD,DM 平面BCD,所以AE∥平面BCD.
与面面垂直有关的计算
探究点二
[例2] 如图,在四面体PABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB=90°, AC=8,BC=6,则PC= .
答案:13
方法技巧
平面与平面垂直的性质定理的主要应用就是过一个平面内一点作另一个平面的垂线,因此涉及已知条件中含平面与平面垂直的计算问题,主要是利用性质定理作出平面的垂线,将问题转化为直角三角形中的计算问题.
即时训练2-1:如图所示,平面α⊥平面β,在α与β的交线l上取线段AB=
4 cm,AC,BD分别在平面α和平面β内,AC⊥l,BD⊥l,AC=3 cm,BD=12 cm,求线段CD的长.
[备用例2] 如图,若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直,则cos α∶cos β= .
折叠问题
探究点三
(1)求证:A1C⊥BE.
(1)证明:在图1中,连接CE,
易求CE=BC=BE=AE=AB=2.
所以四边形ABCE为菱形.
连接AC交BE于点O,则AC⊥BE .
所以在图2中,A1O⊥BE ,OC⊥BE .
又A1O∩OC=O,
所以BE⊥平面A1OC.
又A1C 平面A1OC,
所以A1C⊥BE.
(2)求平面A1BE与平面A1CD所成锐二面角的余弦值.
(2)解:在图2中延长BE,CD,设BE∩CD=G,连接A1G.
因为G∈平面A1BE,G∈平面A1CD.
又A1∈平面A1BE,A1∈平面A1CD.
所以A1G是平面A1BE与平面A1CD的交线.
因为平面A1BE⊥平面BCDE,OC⊥BE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,
所以OC⊥平面A1BE.
又A1G 平面A1BE,所以OC⊥A1G.
作OH⊥A1G,垂足为H,连接CH.
又OH∩OC=O,所以A1G⊥平面OCH,又CH 平面OCH,
所以A1G⊥CH.
即时训练3-1:如图,在平行四边形ABCD中,AB=2AD=4,∠BAD=60°,E为AB的中点,将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置,使平面PDE⊥平面BCDE.
(1)证明:平面PCE⊥平面PDE.
(1)证明:因为AB=2AD,E为AB的中点,
则AE=AD.
又∠BAD=60°,则△ADE为正三角形,
所以∠AED=60°.
因为BE=BC,∠CBE=120°,
则∠CEB=30°.
从而∠CED=180°-∠AED-∠CEB=90°,
即CE⊥DE.
因为平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,CE 平面BCDE,
所以CE⊥平面PDE.
由CE 平面PCE,则平面PCE⊥平面PDE.
即时训练3-1:如图,在平行四边形ABCD中,AB=2AD=4,∠BAD=60°,E为AB的中点,将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置,使平面PDE⊥平面BCDE.
(2)设F为线段PC的中点,求点F到平面PDE的距离.
课堂达标
D
1.在空间中,下列命题正确的是( )
(A)垂直于同一条直线的两直线平行
(B)平行于同一条直线的两个平面平行
(C)垂直于同一平面的两个平面平行
(D)垂直于同一平面的两条直线平行
D
2.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则( )
(A)垂直于平面β的平面一定平行于平面α
(B)垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
(C)垂直于平面β的平面一定平行于直线l
(D)垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直
解析:对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错误;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错误;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错误,D正确.故选D.
3.(多选题)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )
(A)若α⊥β,m α,n β,则m⊥n
(B)若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
(C)若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
(D)若α⊥β,则存在直线m α,使m⊥β
解析:A中,m,n可能为平行、垂直、异面直线;B选项缺少了条件l α,C选项具备了面面垂直的性质定理的全部条件.当m α且直线m与两平面的交线垂直时,一定有m⊥β.因此D正确.故选CD.
CD
解析:设P在平面ABC上的射影为O,连接OA,OB,OC(图略).
因为平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以O∈AB.
因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,
所以O是△ABC的外心,且是AB的中点,
所以△ABC是直角三角形.
4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是 三角形.
答案:直角(共36张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直
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核心知识目标 核心素养目标
1.理解并掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理;能对定义和判定定理、性质定理进行简单应用. 2.理解并掌握直线与平面所成的角的定义和简单的求法. 1.在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理和性质定理的过程中,发展学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
2.通过直线和平面所成的角的求法,提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
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1.直线与平面垂直
任意一条
定义 一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 l⊥α
有关 概念 直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 .它们唯一的公共点P叫做 .过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的 ,垂线段的长度叫做这个点到该平面的 .
垂线
垂面
垂足
垂线段
距离
两条相交直线
图示
画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直
符号语言 l⊥a,l⊥b,a α,b α, l⊥α
图形语言
a∩b=P
3.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 与平面α ,但不和平面α ,图中 .
斜足 斜线和平面的 ,图中 .
斜线在平面上的射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 ,过 叫做斜线在这个平面上的射影
直线与平面所成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角. 规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是 ;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 .
取值范围 [0°,90°]
相交
垂直
直线PA
交点
点A
垂线PO
垂足O和斜足A的直线AO
90°
0°
4.直线与平面垂直的性质定理
平行
a∥b
小试身手
1.下面条件中,能判定直线l⊥α的是( )
(A)l与平面α内的两条直线垂直
(B)l与平面α内的无数条直线垂直
(C)l与平面α内的某一条直线垂直
(D)l与平面α内的任意一条直线垂直
D
B
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的平面的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)6
解析:仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.故选B.
3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( )
(A)平面OAB (B)平面OAC
(C)平面OBC (D)平面ABC
解析:由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.
C
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于 .
解析:如图所示,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知,∠B1AB=45°,故所求角为45°.
答案:45°
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探究点一
线面垂直的判定
[例1] 如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.
求证:
(1)BC⊥平面PAB;
证明:(1)因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC.
又AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.
求证:
(2)AE⊥平面PBC;
证明:(2)因为BC⊥平面PAB,AE 平面PAB,
所以BC⊥AE.
因为PB⊥AE,BC∩PB=B,
所以AE⊥平面PBC.
[例1] 如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.
求证:
(3)PC⊥平面AEF.
证明:(3)因为AE⊥平面PBC,PC 平面PBC,
所以AE⊥PC.因为AF⊥PC,AE∩AF=A,
所以PC⊥平面AEF.
[例1] 如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.
方法技巧
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤
①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直.
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
③根据判定定理得出结论.
即时训练1-1:在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,且PA=1,边BC上是否存在点Q,使得PQ⊥QD 为什么
解:因为PA⊥平面ABCD,QD 平面ABCD,所以PA⊥QD.
若边BC上存在一点Q,使得QD⊥AQ,
又PA∩AQ=A,则有QD⊥平面PAQ,
又PQ 平面PAQ,从而QD⊥PQ.
在矩形ABCD中,当AD=a<2时,直线BC与以AD为直径的圆相离,故不存在点Q,使AQ⊥DQ.
所以当a≥2时,才存在点Q,使得PQ⊥QD.
[备用例1] 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.
证明:(1)因为SA=SC,D是AC的中点,
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,
所以SD⊥BD,又AC∩BD=D,
所以SD⊥平面ABC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
[备用例1] 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.
证明:(2)因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC,由(1)知SD⊥BD,
又因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
直线与平面所成的角
探究点二
[例2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
[例2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
方法技巧
求线面角的方法
(1)求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
(2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、重心等.
即时训练2-1:如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD, PC=2,E,F分别是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成角的正弦值.
[备用例2] 三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a,求SA与底面ABC所成角的余弦值.
线面垂直的性质的应用
探究点三
[例3] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC,求证:MN∥AD1.
证明:因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
变式训练3-1:本例中把条件“MN⊥平面A1DC”改为“M是AB中点”,求证: MN⊥平面A1DC.
证明:连接A1M,CM,取CD中点P,连接NP,MP,
由正方体AC1,M,N为中点,
则A1M=CM,所以MN⊥A1C,
又P为CD中点,所以PN∥A1D,
因为CD⊥A1D,所以CD⊥PN,
又MP⊥CD,MP∩PN=P,所以CD⊥平面MPN,
因为MN 平面MPN,所以MN⊥CD.
又A1C∩CD=C.所以MN⊥平面A1DC.
方法技巧
(1)当题中垂直条件很多,但又需证两直线平行关系时,就要考虑直线和平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
(2)要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论.因此,在解题时,要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用.
即时训练3-1:如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.
求证:EF∥BD1.
证明:如图所示,连接AB1,B1D1,B1C,BD,
因为DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,DD1,BD 平面BDD1B1,
所以AC⊥平面BDD1B1,AC 平面BDD1B1,
又BD1 平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C,
又AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,BD1 平面AB1C,所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥A1D,A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.
又因为EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC,B1C 平面AB1C,EF 平面AB1C,
所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1.
[备用例3] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥平面BCC1B1,F为B1C1的中点.求证:直线A1F∥平面ADE.
证明:因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F 平面A1B1C1,所以CC1⊥A1F.
又CC1 平面BCC1B1,B1C1 平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1.
又AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.
又AD 平面ADE,A1F 平面ADE,所以A1F∥平面ADE.
课堂达标
B
解析:因为AB α,AC α,l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,
所以l⊥α.
又因为BC α,AC α,m⊥BC,m⊥AC,BC∩AC=C,
所以m⊥α,所以l∥m.故选B.
1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( )
(A)相交 (B)平行
(C)异面 (D)不确定
C
2.如图所示,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是( )
(A)异面 (B)平行
(C)垂直 (D)平行或垂直
解析:因为BA⊥α,α∩β=l,l α,所以BA⊥l.
同理BC⊥l.
又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.
因为AC 平面ABC,所以l⊥AC.故选C.
3.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF= .
解析:因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,
所以AF∥DE,又AF=DE,
所以四边形AFED是平行四边形,
所以EF=AD=6.
答案:6
解析:(1)如图,连接A1B,由已知得∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角, ∠A1BA=45°.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
答案:(1)45°
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是 ;
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
答案:(2)30°
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是 ;
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
答案:(3)90°
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是 .
解析:(3)如图,连接AB1,C1D.因为A1B⊥AB1,
A1B⊥B1C1,
又因为AB1∩B1C1=B1,
所以A1B⊥平面AB1C1D,
即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.(共26张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
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核心知识目标 核心素养目标
1.理解两异面直线所成角的概念,会求两异面直线所成的角. 2.在理解两直线垂直的基础上,判断两直线的垂直关系. 1.在计算两异面直线所成的角的过程中,发展学生的逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养.
2.在证明直线与直线垂直的过程中,强化学生的逻辑推理和直观想象的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.空间两条直线的位置关系
有三种:平行直线、 和 .
2.两直线所成的角(或夹角)
平面内两条直线相交形成的4个角,其中 的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线 .
3.异面直线所成的角
(1)已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线 所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
相交直线
异面直线
不大于90°
倾斜的程度
a′与b′
(2)如果两条异面直线所成的角是 ,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作 .
(3)当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是 .
直角
a⊥b
0°≤α≤90°
小试身手
1.(多选题)设α为两条异面直线所成的角,则α可以是以下角度中的( )
(A)0° (B)90°
(C)120° (D)30°
BD
解析:由于异面直线所成的角的范围是0°<α≤90°.故选BD.
C
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求,又B1D1=B1C=D1C,
所以∠D1B1C=60°.故选C.
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点,则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有 .
解析:由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB,A1B1.
答案:AB,A1B1
4.如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,异面直线A′B′与BC所成的角为 .异面直线AD′与BC所成的角为 .
解析:因为BC∥B′C′,
所以∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角,
因为∠A′B′C′=90°,
所以异面直线A′B′与BC所成的角为90°.
又BC∥AD,
所以∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角,
可得∠D′AD=45°.
所以异面直线AD′与BC所成的角为45°.
答案:90° 45°
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探究点一
异面直线所成的角
[例1] 如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(1)BE与CG所成的角;
解:(1)如图所示,
因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,
又在等腰直角△BEF中,∠EBF=45°,
所以BE与CG所成的角为45°.
[例1] 如图所示,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:
(2)FO与BD所成的角.
解:(2)连接FH,
因为HD∥EA,EA∥FB,所以HD∥FB,
又HD=FB,所以四边形HFBD为平行四边形.
所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,所以∠HFA=60°,
又知O为AH的中点,即OF是∠HFA的平分线,
所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.
变式训练1-1:在本例中,若P是平面EFGH的中心,其他条件不变,求OP和CD所成的角.
解:如图所示,连接EG,HF,则P为HF的中点,
连接AF,AH,可得OP∥AF,又CD∥AB,
所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角,
由于△ABF是等腰直角三角形,
所以∠BAF=45°,
故OP与CD所成的角为45°.
方法技巧
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
[备选例1] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
求A1C1与B1C所成角的大小.
解:如图所示,连接AC,AB1.
由六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体知,四边形AA1C1C为平行四边形,所以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中,由AB1=AC=B1C,
可知∠B1CA=60°,
即A1C1与B1C所成的角为60°.
线线垂直的证明
探究点二
[例2] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点.求证: MN⊥AC.
证明:如图所示,连接B1D1,BD,
因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,
所以MN∥D1B1,
又因为DD1∥BB1
且DD1=BB1,
所以DBB1D1为平行四边形,所以D1B1∥DB,
所以MN∥DB,
所以DB与AC的夹角即为MN与AC的夹角,
又因为四边形ABCD为正方形,所以DB与AC的夹角为90°,
即MN与AC的夹角为90°,
所以MN⊥AC.
方法技巧
证明两直线垂直的实质是求两直线所成的角为90°,其主要方法一是根据异面直线所成的角的定义,作出异面直线所成的角,结合解三角形的知识或利用勾股定理的逆定理求解.二是利用一条直线与两条平行线中的一条垂直,则该直线也与另一条垂直.(即若a∥b,a⊥c,则b⊥c)
即时训练2-1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证: DB1⊥EF.
证明:法一 如图所示,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,
则OG∥B1D,EF∥A1C1,
所以∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角).
因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,
所以GO⊥A1C1.
所以DB1⊥EF.
[备用例2] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BD,B1C上的中点,求证:BC⊥EF.
课堂达标
A
解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
直线AD,A1D1,BC,B1C1,
共有4条直线与直线BA1垂直.故选A.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1垂直的直线条数为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
C
2.已知a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( )
(A)若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
(B)若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
(C)若a∥b,则a,b与c所成的角相等
(D)若a⊥b,b⊥c,则a∥c
解析:若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
3.如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN等于( )
(A)3 (B)5 (C)6 (D)8
B
解析:依题意知,EG∥BD,
EF∥AC,
所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角,
又∠GEF=120°,
所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
4.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,AD的中点,∠GEF=120°,则BD与AC所成角的度数为 .
答案:60°(共39张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角” “两个平面互相垂直”的概念. 2.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用. 1.通过二面角的有关概念及二面角大小的求法,培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中,加强学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.二面角
两个半平面
二面角
定义 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.
叫做二面角的棱, 叫做二面角的面.
如图,记作: 或 或 .
范围 [0,π]
这条直线
这两个半平面
二面角α-l-β
二面角P-AB-Q
二面角P-l-Q
垂直
2.二面角的平面角
文字语言 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 于棱l的 OA和OB,则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角
图形语言
二面角的大小与平面角的关系 二面角的大小可以用它的 来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度,平面角是 的二面角叫做直二面角
范围 [0,π]
射线
∠AOB
平面角
直角
3.平面与平面垂直
(1)定义
直二面角
平面与平面垂直
定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直,记作: .
画法
通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图所示,
α⊥β
(2)判定定理
垂线
文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α, α⊥β
l β
小试身手
1.已知l⊥α,则过l与α垂直的平面( )
(A)有1个 (B)有2个
(C)有无数个 (D)不存在
C
解析:由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面α,这样的平面有无数个.故选C.
C
2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( )
(A)m⊥n,m∥α,n∥β (B)m⊥n,α∩β=m,n α
(C)m∥n,n⊥β,m α (D)m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:因为m∥n,n⊥β,则m⊥β,
又m α,故α⊥β,所以C符合,A,B,D不符合.
故选C.
3.在空间四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是( )
(A)平面ABD⊥平面BDC
(B)平面ABC⊥平面ABD
(C)平面ABC⊥平面ADC
(D)平面ABC⊥平面BED
解析:由已知条件得AC⊥DE,AC⊥BE,
于是有AC⊥平面BED,
又AC 平面ABC,
所以有平面ABC⊥平面BED成立.故选D.
D
答案:30°
课堂探究·素养培育
探究点一
二面角的概念及其求法
探究角度1 二面角概念的理解
[例1] 下列命题:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )
(A)①③ (B)②④
(C)③④ (D)①②
解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,所以①不对,实质上它共有四个二面角;由a,b分别垂直于两个面,得a,b都垂直于二面角的棱,故②正确;③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对;由定义知④正确.故选B.
方法技巧
二面角的理解
(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.
(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角的面上的角的联系与区别.
(3)可利用实物模型,作图帮助判断.
即时训练1-1:从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
(A)互为余角 (B)相等
(C)其和为周角 (D)互为补角
解析:如图所示从二面角内一点P分别向二面角的两个面引垂线PA,PB,则这两条垂线所夹的角∠APB与二面角的平面角∠AOB互为补角.故选D.
即时训练1-2:如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点
(不同于A,B),则二面角P-BC-A的平面角为( )
解析:由AB是圆的直径可知AC⊥BC,由PA垂直于圆所在的平面可知PA⊥BC,易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.故选A.
(A)∠PCA (B)∠APC
(C)∠PBA (D)∠PCB
[备用例题] 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角( )
(A)相等 (B)互补
(C)相等或互补 (D)关系无法确定
解析:如图所示,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,所以两个二面角的大小关系不确定.故选D.
探究角度2 定义法求二面角的平面角
[例2] 已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2,求二面角A-CD-的余弦值.
方法技巧
定义法求二面角的平面角
利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法.
即时训练2-1:如图所示,四边形ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,PB=AB=1,求二面角A-PD-C的大小.
探究角度3 垂线法求二面角的平面角
[例3] 在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a, ∠ABC=30°,求二面角P-BC-A的正切值.
方法技巧
利用垂线法求二面角的平面角的方法
过已知二面角的一个面内一点C作另一个面的垂线CB,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线BA,连接AC,则∠CAB即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.
即时训练3-1:如图,已知△ABC,斜边BC α,点A α,AO⊥α,O为垂足, ∠ABO=30°,∠ACO=45°,则二面角A-BC-O的大小为 .
答案:60°
平面与平面垂直的判定
探究点二
[例4] 如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
法二 (利用判定定理)因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,所以SA= AB=AC,
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面SBC.
方法技巧
证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.即要证面面垂直,只要转证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.
即时训练4-1:在边长为a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,求证:平面PDB⊥平面PAC.
证明:因为PC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PC⊥BD.
因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,
又PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
因为BD 平面PBD,所以平面PDB⊥平面PAC.
线面、面面垂直的综合应用
探究点三
[例5] 如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.
证明:接AC,设AC∩DB=O,连接A1O,OE.
(1)因为AA1⊥底面ABCD,所以BD⊥A1A,
又BD⊥AC,A1A∩AC=A,所以BD⊥平面ACEA1,
因为A1E 平面ACEA1,所以A1E⊥BD.
(1)求证:A1E⊥BD;
[例5] 如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.
(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD⊥平面EBD.
变式训练5-1:本例(2)中,条件不变,试求二面角E-BD-C的正切值.
变式训练5-2:本例(2)中,条件不变,试求A1E与平面ABB1A1所成线面角的正切值.
方法技巧
线面、面面垂直的综合问题的解题策略
(1)重视转化
涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直,转化为证线面垂直;证线面垂直转化为证线线垂直.
(2)充分挖掘线面垂直关系
解答线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.
课堂达标
C
解析:由两平面垂直的定义可知当α∥β,α⊥γ时,β⊥γ.故选C.
1.已知α,β,γ为平面,若α∥β,α⊥γ,则β,γ的关系是( )
(A)平行 (B)相交但是不垂直
(C)垂直 (D)无法确定
C
2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:由已知BD=2CD,翻折后,
在Rt△BCD中,∠BDC=60°,
而AD⊥BD,CD⊥AD,
故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小为60°.故选C.
3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则( )
(A)α∥γ (B)α⊥γ
(C)α与γ相交但不垂直 (D)以上都有可能
解析:由题意知,α与γ可能平行,也可能相交.如图所示,α与δ平行, α与γ相交.故选D.
D
解析:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AD1,则AB⊥AD1.又AB⊥AD,所以∠D1AD即为二面角D1-AB-D的平面角,在Rt△D1AD中,∠D1AD=45°.所以二面角D1-AB-D的大小为45°.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
答案:(1)45°
(1)二面角D1-AB-D的大小是 ;
答案:(2)90°
(2)二面角A1-AB-D的大小是 .
解析:(2)与(1)同理,∠A1AD为二面角A1-AB-D的平面角,所以二面角A1-AB-D的大小为90°.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
