(共32张PPT)
第九章 统计
9.1 随机抽样
9.1.1 简单随机抽样
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解简单随机抽样的概念、特点和步骤. 2.掌握简单随机抽样的两种方法(抽签法和随机数法). 在简单随机抽样的实施过程中,掌握抽签法和随机数法的抽样步骤,发展学生数据分析和数学建模的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.全面调查和抽样调查
普查
调查方式 普查 抽样调查
定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称 . 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查的方法,称为 .
相关概念 ①在一个调查中,我们把调查对象的全体称为 . ②组成总体的每一个调查对象称为 . ①我们把从总体中抽取的那部分个体称为 .
②样本中包含的个体的数量称为 .
抽样调查
总体
个体
样本
样本量
2.简单随机抽样
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中 抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 ,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内 被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样:放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
逐个
相等
未进入样本的各个个体
3.抽签法与随机数法
两种抽 样方法 抽签法 随机数法
定义 先把总体中的个体编号,然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个 的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的个体数 先把总体中的个体编号,用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,并剔除重复的编号,直到抽足样本所需要的个体数
优点 简单易行.当总体的个数不多时,使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易,这时,每个个体都有均等的机会被抽中,从而能够保证样本的代表性 简单易行.它很好地解决了当总体中的个体数较多时抽签法制签难的问题
不透明
缺点 仅适用于个体数较少的总体.当总体容量非常大时,费时费力又不方便,况且,如果号签搅拌的不均匀,可能导致抽样不公平 当总体中的个体数很多,需要的样本量也较大时,用随机数法抽取样本仍不方便
步骤 ①编号:给总体中的所有个体编号 (号码可以从1到N); ②制作号签:将1～N这N个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作); ③均匀搅拌:将号签放在一个不透明的容器里,搅拌均匀; ④抽取号码:每次从容器中不放回地抽取一个号签,连续抽取n次; ⑤构成样本:从总体中将与抽到的号签上的号码一致的个体抽取,就构成了一个容量为n的样本 ①编号:对总体的个体进行编号(每个号码位数一致);
②选定初始值:在随机数表中任选一个数作为开始;
③选号:从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的号码若不在编号中,则跳过,若在编号中,则取出,如果得到的号码前面已经取出,也跳过,如此继续下去,直到取满为止;
④确定样本:根据选定的号码抽取
样本
4.样本的平均数
小试身手
1.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民,对其该天的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000名居民的阅读时间是( )
(A)总体
(B)个体
(C)样本的容量
(D)从总体中抽取的一个样本
A
D
2.已知总体容量为106,若用随机数法抽取一个容量为10的样本,下面对总体的编号正确的是( )
(A)1,2,…,106 (B)01,…,105
(C)00,01,…,105 (D)000,001,…,105
解析:对总体中每个个体编号的数字位数应相同,这样才能用随机数表法抽样.故选D.
3.抽签法中确保样本代表性的关键是( )
(A)制签 (B)搅拌均匀
(C)逐一抽取 (D)抽取不放回
解析:逐一抽取、抽取不放回是抽签法的特点,但不是确保代表性的关键,一次抽取与有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性,制签也一样.故选B.
B
答案:30
4.为了考察某地6月份最高气温(单位:℃)的情况,随机抽取了5天,所得数据约为29,29,31,30,31,则该地6月份最高气温的平均值约为 ℃.
课堂探究·素养培育
探究点一
总体、个体、样本与样本量
[例1] (多选题)为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄,从中抽取了100名运动员进行调查,下面说法不正确的是( )
(A)1 000名运动员是总体
(B)每个运动员是个体
(C)抽取的100名运动员是样本
(D)样本量是100
解析:根据调查目的可知,总体是这1 000名运动员的年龄,个体是每个运动员的年龄,样本是抽取的100名运动员的年龄,样本量为100.故选ABC.
方法技巧
此类题目要正确理解总体与个体的概念,要弄明白概念的实质,并注意样本与样本量的不同,其中样本量为数目,无单位.
解析:100名同学的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合,所以是总体的一个样本.故选C.
即时训练1-1:为了了解高一年级学生的视力情况,特别是近视率问题,抽测了其中100名同学的视力情况.在这个过程中,100名同学的视力情况(数据)是( )
(A)总体 (B)个体
(C)总体的一个样本 (D)样本量
定向普查与抽样调查
探究点二
[例2] 下列调查方式合适的是( )
(A)检验100件产品的质量,采用普查的方式
(B)为了了解全国中学生的睡眠状况,采用普查的方式
(C)为了了解人们保护水资源的意识,采用抽样调查的方式
(D)对载人航天器“神舟十号”零部件的检查,采用抽样调查的方式
解析:A.检验产品的质量,有破坏性,故采用抽查方式,故本选项错误;
B.了解全国中学生的睡眠状况,工作量大,采用抽查方式,故本选项错误;
C.为了了解人们保护水资源的意识,工作量大,采用抽查方式,故本选项正确;
D.对载人航天器“神舟十号”零部件的检查十分重要,故进行普查,故本选项错误.故选C.
方法技巧
(1)普查是对总体中每个个体都进行考察.
(2)抽样调查只对抽取样本进行考察.
即时训练2-1:(多选题)下列调查的样本合理的是( )
(A)在校内发出一千张印有全校各班级的选票,要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”,以了解最受欢迎的教师是谁
(B)从一万多名工人中,经过选举,确定100名代表,然后投票表决,了解工人们对厂长的信任情况
(C)到老年公寓进行调查,了解全市老年人的健康状况
(D)为了了解全班同学每天的睡眠时间,在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查
解析:A中样本不具有代表性、有效性,在班级旁画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系;C中样本缺乏代表性;而BD是合理的样本.故选BD.
探究点三 简单随机抽样
探究角度1 简单随机抽样的概念
[例3] 下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗 为什么
(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本;
解:(1)不是简单随机抽样,因为被抽取的样本的总体的个数是无限的而不是有限的.
(2)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本;
解:(2)不是简单随机抽样,因为它是一次性抽取,而不是“逐个”抽取.
[例3] 下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗 为什么
(3)一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的箱子中无放回的抽取6个号签.
解:(3)是简单随机抽样,因为总体中的个体是有限的,并且是从总体中逐个抽取、不放回的、等概率的抽样.
方法总结
可用简单随机抽样抽取样本的依据
(1)总体中的个体之间无明显差异.
(2)总体中个体数N有限.
(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N.
即时训练3-1:下面的抽样方法是简单随机抽样吗 为什么
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
解:(1)不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
(2)仓库中有1万支奥运火炬,从中一次抽取100支火炬进行质量检查;
解:(2)不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.
(3)某连队从200名官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作.
解:(3)不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
探究角度2 抽签法的应用
[例4] 从20架钢琴中抽取5架进行质量检查,请用抽签法确定这5架钢琴.
解:第一步,将20架钢琴编号,号码是1,2,…,20.
第二步,将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.
第三步,将小纸片放入一个不透明的盒里,充分搅匀.
第四步,从盒中不放回地逐个抽取5个号签,使与号签上编号相同的钢琴进入样本.
方法总结
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是个体之间差异不明显.
(2)应用抽签法时应注意以下几点
①编号时,如果已有编号可不必重新编号;
②号签要求大小、形状完全相同;
③号签要均匀搅拌;
④根据实际需要采用有放回或无放回抽取.
即时训练4-1:一名学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的:从15道物理题中随机抽3道;从20道化学题中随机抽3道;从12道生物题中随机抽2道.使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15,化学题的编号为16～35,生物题的编号为36～47).
解:第一步,将试题的编号1～47分别写在47张形状、大小相同的纸条上,将纸条揉成团制成号签,并将物理、化学、生物题的号签分别放在3个不透明的袋子中,充分搅匀;
第二步,从装有物理题号签的袋子中逐个抽取3个号签,从装有化学题号签的袋子中逐个抽取3个号签,从装有生物题号签的袋子中逐个抽取2个号签,并记录所得号签上的编号,这便是所要回答的问题的编号.
探究点四 数据的平均数
[例5] 在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时,甲同学抽取了一个容量为20的样本,并算得样本的平均数为5;乙同学抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为3.5.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为30的样本,求合在一起后的样本均值.
方法技巧
根据一组数据求该组数据的平均数时,要准确应用平均数公式.
即时训练5-1:用简单随机抽样的方法抽取某小区20户家庭的日均用电量(单位:千瓦时),统计如下:
日均用电量/千瓦时 4 5 6 7 8 10
户数 1 2 4 6 5 2
根据样本数据,估计该小区200户家庭日均用电量的平均数( )
(A)一定为7千瓦时
(B)一定高于8千瓦时
(C)一定低于7千瓦时
(D)约为7千瓦时
课堂达标
C
解析:在简单随机抽样中,总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的概率相等.故选C.
1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的概率( )
(A)与第几次抽样有关,第一次被抽到的概率最大
(B)与第几次抽样有关,第一次被抽到的概率最小
(C)与第几次抽样无关,每一次被抽到的概率相等
(D)与第几次抽样无关,与抽取几个样本有关
C
2.在下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体的编号为( )
78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
(A)27 (B)26 (C)25 (D)24
解析:由随机数表法可知,样本的前6个个体的编号分别为23,20,80,26,
24,25,
因此,选出的第6个个体的编号为25.故选C.
3.下列抽样试验中,用抽签法最方便的是 .
①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
②从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
③从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析:抽签法适于样本总体较小,样本量较小,且总体中样本差异不太明显的抽样试验,从①②③来看,②最符合.
答案:②
4.10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,
14,12,其平均数为 .
答案:14.7(共33张PPT)
9.1.2 分层随机抽样
9.1.3 获取数据的途径
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解获取数据的途径:调查、试验、观察和查询. 2.理解分层随机抽样的概念. 3.会通过调查、试验、观察和查询获取数据. 4.掌握分层随机抽样的使用条件和操作步骤,会用分层随机抽样法进行抽样. 1.在分层随机抽样的实施过程中,掌握分层随机抽样的抽样步骤,发展学生数据分析和数学建模的核心素养.
2.在学习获取数据的途径过程中,掌握获取数据的方法,发展学生数据分析和数学建模的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.分层随机抽样
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为 .
在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
层
2.简单随机抽样、分层随机抽样的联系和区别
类别 简单随机抽样 分层随机抽样
各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层,分层进行抽取
相互联系 在各层抽样时采用简单随机抽样
适用范围 总体中的个体数较少 总体由存在明显差异的几部分组成
共同点 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
4.获取数据的途径
获取数据的基本途径有:(1)通过 获取数据;(2)通过 获取数据;(3)通过 获取数据;(4)通过 获得数据.
调查
试验
观察
查询
小试身手
1.为了研究近年我国高等教育发展状况,小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据,他获取这些数据的途径最好是( )
(A)通过调查获取数据 (B)通过试验获取数据
(C)通过观察获取数据 (D)通过查询获得数据
D
解析:因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储,所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据.故选D.
B
2.(2020·山东威海高一期末)某班有男生28人,女生16人,用分层随机抽样的方式从中抽取容量为n的样本,若男生抽取了7人,则n的值为( )
(A)10 (B)11 (C)12 (D)14
3.某商场有四类食品,食品类别和种数如表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
B
类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类
种数 40 10 30 20
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
答案:6
4.某校为了解学生的身体素质情况,采用按年级分层随机抽样的方法,从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查,已知高一、高二、高三学生人数之比为 k∶5∶4,抽取的样本中高一学生为120人,则实数k的值为 .
课堂探究·素养培育
探究点一
分层随机抽样的判断
[例1] 某校高三年级有男生500人,女生400人,为了了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是( )
(A)简单随机抽样法 (B)抽签法
(C)随机数法 (D)分层随机抽样法
解析:若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层随机抽样的方法进行抽样,或根据简单随机抽样的概念与方法可以排除A,B,C.故选D.
方法技巧
分层随机抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提:分层随机抽样使用的前提是总体可以分层,层与层之间差异较大,而层内个体间差异较小.
(2)遵循的两条原则
①按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,即遵循不重复、不遗漏的原则;
②在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,即各层中遵循等概率抽样的原则.
解析:因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响,而社区中各个家庭收入差别明显,所以①用分层随机抽样;从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查文化课学习情况,个体之间差别不大,且总体和样本量较小,所以②用简单随机抽样.故选D.
即时训练1-1:完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某中学的 15名艺术特长生中选出3名调查文化课学习情况.宜采用的抽样方法依次是( )
(A)①简单随机抽样,②分层随机抽样
(B)①②都是分层随机抽样
(C)①②都是简单随机抽样
(D)①分层随机抽样,②简单随机抽样
分层随机抽样中的计算
探究点二
[例2] 某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上(包括50岁)的人,用分层随机抽样的方法从中抽20人,各年龄段分别抽取的人数为( )
(A)7,5,8 (B)9,5,6
(C)7,5,9 (D)8,5,7
变式训练2-1:某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上(包括50岁)的人,用分层随机抽样的方法从35岁到49岁的职工中抽取5人,则应抽取的样本量为 .
答案:20
即时训练2-1:(2020·四川南充高一期末)某市某口罩厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种口罩,数量分别为2 400件、1 600件、1 200件.为了解它们的口罩质量是否存在显著差异,用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从乙车间的产品中抽取了40件,则n等于( )
(A)90 (B)100 (C)120 (D)130
方法技巧
分层随机抽样中有关计算的方法
(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
对于分层随机抽样中求某层个体数,或某层要抽取的样本个体数,都可以通过上面两个等量关系求解.
[备用例题] 某高中学校为了促进学生个体的全面发展,针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
答案:6
探究点三 分层随机抽样的设计
[例3] (2019·湖北宜昌高二期末)某网站就网民对网站首页的满意程度进行调查,参加调查回答问卷的人数是36 000人,持各种态度的人数如下表:
非常满意 满意 一般 不满意
7 305 13 701 11 778 3 216
网站为了进一步了解网民的具体想法和意见,打算从中抽取60人进行座谈调查,请问应当怎样进行抽样
方法技巧
分层随机抽样的步骤
即时训练3-1:一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶
3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问:应采取什么样的方法 并写出具体过程.
解:因为疾病的发病率与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层随机抽样的方法.具体过程如下:
(1)将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层.
(2)按照样本量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人.
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本.
(4)将300人合到一起,即得到一个样本.
探究点四 获取数据途径的方法的设计
[例4] 为了缓解城市的交通拥堵情况,某市准备出台限制私家车的政策,为此要进行民意调查.某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民,你认为这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗
解:(1)一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人,关系到每个人的利益.为了调查这个问题,在抽样时应当关注到各种人群,既要抽到拥有私家车的市民,也要抽到没有私家车的市民.
(2)调查时,如果只对拥有私家车的市民进行调查,结果一定是片面的,不能代表所有市民的意愿.因此,在调查时,要对生活在该城市的所有市民进行随机地抽样调查,不要只关注到拥有私家车的市民.
方法总结
在统计活动中,尤其是大型的统计活动,为避免一些外界因素的干扰,通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略,需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法,然后对数据进行分析,得出统计推断.
即时训练4-1:为了创建“和谐平安”校园,某校决定在开学前将学校的电灯电路使用情况进行检查,以排除安全隐患,获取电灯电路的相关数据应该用什么方法 为什么
解:由于一个学校的电灯电路数目不算大,属于有限总体问题,所以应该通过调查获取数据,并且对创建“和谐平安”校园来说,必须排除任一潜在或已存在的安全隐患,故必须用普查的方法.
课堂达标
D
1.(2021·贵州安顺高二期末)在庆祝中华人民共和国成立70周年之际,某学校为了解《我和我的祖国》《我爱你,中国》《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度,在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生900人,其中高一年级学生330人,高二年级学生300人,高三年级学生270人.现采用分层随机抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本,那么应抽取高一年级学生的人数为( )
(A)30 (B)31 (C)32 (D)33
D
2.在120个零件中,一级品24个,二级品36个,三级品60个,用比例分配分层随机抽样方法从中抽取样本量为20的样本,则每个个体被抽取的可能性是( )
3.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2∶3∶5,现用分层随机抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件,那么此样本量 n= .
答案:80
4.某校高一年级有学生850人,高二年级有学生950人,高三年级有学生1 400人,现采用分层随机抽样抽取容量为64的一个样本,那么在高三年级应抽取的人数为 .
答案:28
