(共32张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解概率的性质. 2.会求互斥事件、对立事件的概率. 1.通过具体实例,抽象出概率的性质,发展数学抽象的核心素养.
2.通过概率性质及互斥事件和对立事件的概率公式的应用,增强逻辑推理与数学运算的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
概率的性质
一般地,概率具有如下性质:
性质1:对任意的事件A,都有P(A) 0.
≥
0
1
0
1
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= .
如果事件A1,A2,A3,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+
P(Am).
P(A)+P(B)
性质4:如果事件A和事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)= .
性质5:如果A B,那么P(A) P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有 P(A∪B)= .
.
1-P(A)
1-P(B)
≤
P(A)+P(B)-
P(A∩B)
小试身手
1.下列结论正确的是( )
(A)事件A发生的概率为P(A)=1.5
(B)不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1
(C)若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
(D)如果A B,那么P(A)
B
解析:因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1,所以A错误;
不可能事件的概率规定为0,必然事件的概率规定为1,所以B正确;
只有当事件A,B为两个互斥事件时才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故C不正确;
由概率的性质可知,如果A B,那么P(A)≤P(B),所以D错误.故选B.
B
2.若A,B事件互斥,且有P(A)=0.1,P(B)=0.3,那么P(A∪B)等于( )
(A)0.6 (B)0.4
(C)0.2 (D)0.03
解析:因为事件A,B是互斥事件,
且P(A)=0.1,P(B)=0.3,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4.故选B.
D
3.(2020·山东潍坊高一期末)口袋中有若干大小、形状完全相同的红球、黄球与蓝球,若摸出红球的概率为0.4,摸出红球或黄球的概率为0.62,则摸出红球或蓝球的概率为( )
(A)0.22 (B)0.38 (C)0.6 (D)0.78
解析:由题意得摸出黄球的概率为0.62-0.4=0.22,
所以摸出红球或蓝球的概率为P=1-0.22=0.78.故选D.
4.一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为 .
解析:中奖的概率为0.1+0.25=0.35,
中奖与不中奖互为对立事件,
所以不中奖的概率为1-0.35=0.65.
答案:0.65
课堂探究·素养培育
探究点一
概率的性质
[例1] 若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=
4a-5,则实数a的取值范围是( )
方法技巧
(1)求解与概率中的参数有关的问题,首先应明确概率的范围是P(A)∈
[0,1],而对于多个含有相同参数概率的问题,要同时满足这一条件.
(2)由于本例中随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,因此概率范围是(0,1).
即时训练1-1:若随机事件A,B互斥,且B发生的概率不等于0,P(A)=0.2,P(B)=
3a-4,则实数a的取值范围为 .
互斥事件与对立事件的概率公式的应用
探究点二
[例2] 一盒中装有各色球12个(大小、形状完全相同),其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出 1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
变式训练2-2:在“变式训练2-1”中从口袋中任取一球,得到的不是“黑球的”概率.
方法技巧
(1)应用互斥事件的概率加法公式的方法
①将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果.
②运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏.
③常用步骤:a.确定各事件彼此互斥;b.求各个事件分别发生的概率,再求其和.
(2)对于比较复杂事件的概率也可以先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率,这也就是我们常说的“正难则反”.一般地,若求解的问题中含有“至多”,
“至少”“最少”等关键词时,常转化为对立事件的概率求解.
[备用例1] 口袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两个球,求下列事件的概率:
(1)A=“取出的两球都是白球”;
[备用例1] 口袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两个球,求下列事件的概率:
(2)B=“取出的两球1个白球,1个红球”;
[备用例1] 口袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两个球,求下列事件的概率:
(3)C=“取出的两球中至少有一个白球”.
概率性质的综合应用
探究点三
[例3] 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
[例3] 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(2)1张奖券的中奖概率;
[例3] 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
方法技巧
实际生活中的概率问题,在阅读理解的基础上,利用互斥事件分类,有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径,这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力.
即时训练3-1:某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
即时训练3-1:某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数/辆 500 130 100 150 120
[备用例2] 某初级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值.
[备用例2] 某初级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,问:应在九年级中抽取多少名
[备用例2] 某初级中学共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表:
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.
(3)已知y≥245,z≥245,求九年级中女生比男生少的概率.
课堂达标
C
解析:因为抽到次品的概率为0.01,所以抽到正品的概率是1-0.01=0.99.
故选C.
1.某产品分甲、乙、丙三级,其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( )
(A)0.09 (B)0.97 (C)0.99 (D)0.96
B
A(共32张PPT)
10.1.3 古典概型
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.了解概率的概念. 2.理解古典概型的定义. 3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题. 1.通过古典概型的概念及特点的学习,达成数学抽象及数学建模的核心素养.
2.通过利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题,培养数学建模及数学运算的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
2.古典概型
一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有 (简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性 (简称等可能性),则称这样的随机试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称为古典概型.
有限个
相等
3.古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的
k个样本点,则定义事件A的概率P(A)= = ,其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
小试身手
1.下列是古典概型的是( )
(A)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件时
(B)求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件时
(C)从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率
(D)抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止
C
解析:A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B中的基本事件是无限的,故B不是;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性.故选C.
A
2.抛掷一枚质地均匀的骰子,出现奇数的概率为( )
C
4.从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是 .
课堂探究·素养培育
探究点一
古典概型的判断
[例1] 下列试验是古典概型的为 .
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小;
②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
解析:①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.
答案:①②④
方法技巧
判断是否为古典概型,关键是看它是否同时满足两个特征:有限性和等可能性,同时满足这两个特征的概率模型才是古典概型.
即时训练1-1:(多选题)下列试验中,是古典概型的有( )
(A)抛掷一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面
(B)在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
(C)四位同学用抽签法选一人参加会议
(D)运动员投篮,观察是否投中
解析:A中抛掷一枚质地均匀的硬币,观察其出现正面或反面,由于出现正面或反面的概率相等,所以A是古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个,所以B不是古典概型;C中,每个人被选中的可能性相等,且共有4种结果,符合古典概型的特征,所以C是古典概型;D中,运动员投篮投中与没有投中的概率不等,所以D不是古典概型.故选AC.
古典概型的计算
探究点二
[例2] 一个袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的两个黑球和编号为c,d,e的三个红球,从中任意摸出两个球.
(1)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;
[例2] 一个袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的两个黑球和编号为c,d,e的三个红球,从中任意摸出两个球.
(2)求至少摸出1个黑球的概率.
变式训练2-1:本例中的条件不变,将“从中任意摸出两球”改为“有放回的依次摸出两球”,分别求出本例中(1)(2)的概率.
方法技巧
(1)计算古典概型事件的概率三步骤
步骤一:算出样本点的总个数n;
步骤二:求出事件A所包含的样本点个数k;
步骤三:代入公式求出概率P(A).
(2)解决有序和无序问题应注意两点
①关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.
②关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不
同,所以(a,b),(b,a)不是同一个样本点.
即时训练2-1:一个盒子中装有1个黑球和2个白球,这3个球除颜色外完全相同,有放回地连续摸取2次,每次从中任意地取出1个球.计算下列事件的
概率:
(1)取出的两个球都是白球;
即时训练2-1:一个盒子中装有1个黑球和2个白球,这3个球除颜色外完全相同,有放回地连续摸取2次,每次从中任意地取出1个球.计算下列事件的
概率:
(2)第一次取出白球,第二次取出黑球;
即时训练2-1:一个盒子中装有1个黑球和2个白球,这3个球除颜色外完全相同,有放回地连续摸取2次,每次从中任意地取出1个球.计算下列事件的
概率:
(3)取出的两个球中至少有一个白球.
[备用例1] 一个盒子里装有完全相同的10个小球,分别标上1～10这10个数字,今随机地连续摸取两次,每次摸取1个小球,如果:
(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.
求这两个小球上的数字为相邻整数的概率.
古典概型与统计的结合
探究点三
[例3] 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层随机抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,
18个工厂.
(1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数;
[例3] 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层随机抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
方法技巧
本例考查分层随机抽样以及古典概型概率求解的综合运用,在求解古典概型问题时,要认真分析条件,确保隐含条件挖掘到位.
即时训练3-1:为了对某课题进行研究,用分层随机抽样方法从三所高校A,B,
C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校 相关人数 抽取人数
A 18 x
B 36 2
C 54 y
(1)求x,y;
即时训练3-1:为了对某课题进行研究,用分层随机抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校 相关人数 抽取人数
A 18 x
B 36 2
C 54 y
(2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率.
[备用例2] 某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;
解:(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有样本点为{A1,A2},{A1,A3},
{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},
{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15个.
[备用例2] 某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.
①列出所有可能的抽取结果;
[备用例2] 某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层随机抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
课堂达标
A
解析:①③不满足有限性;②满足有限性和等可能性,是古典概型;④不满足等可能性.故选A.
1.下列概率模型中,是古典概型的个数为( )
①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;
②从1～10中任取一个整数,求取到1的概率;
③在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;
④向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
C
3.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )
B
4.在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是 . (共38张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.随机试验、有限样本空间与随机事件的概念、特点. 2.了解事件、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件的概念. 3.会求随机试验的有限样本空间、基本事件的个数. 1.通过随机试验、样本点、样本空间及随机事件等概念的学习,达成数学抽象及逻辑推理的核心素养.
2.通过利用样本空间去解释相关的实际问题,发展数学建模、逻辑推理的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.随机试验
我们把对 的实现和对它的 称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.
随机试验具有以下特点:
(1)试验可以在相同条件下 进行;
(2)试验的所有可能结果是 的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先 出现哪一个结果.
随机现象
观察
重复
明确可知
不能确定
2.试验的样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 我们把随机试验E的每个可能的 .称为样本点 用 表示样本点
样本 空间 全体样本点的 称为试验E的样本空间 用 表示样本空间
有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1, ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn}
基本结果
ω
集合
Ω
3.三种事件的定义
随机 事件 我们将样本空间Ω的 称为随机事件,简称事件,并把只包含 样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生
必然 事件 Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称 为不可能事件
子集
一个
小试身手
1.(多选题)下列事件中是随机事件的是( )
(A)明天是阴天
(B)方程x2+2x+5=0有两个不相等的实根
(C)抛一枚硬币,出现正面
(D)一个三角形的大边对大角,小边对小角
AC
解析:其中A是随机事件,B是不可能事件,C是随机事件,D是必然事件.故选AC.
C
2.一个家庭有两个小孩,则样本空间为( )
(A){(男,女),(男,男),(女,女)}
(B){(男,女),(女,男)}
(C){(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}
(D){(男,男),(女,女)}
解析:两个小孩的所有结果是:男男,男女,女男,女女,所有样本空间为
{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.故选C.
3.(多选题)袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中取出两个,下列事件是基本事件的是( )
(A)取出的两球标号为3和7
(B)取出的两球标号的和为4
(C)取出的两球的标号都大于3
(D)取出的两球的标号的和为8
解析:基本事件即只含有一个样本点的事件,选项A,B,C都只含有一个样本点,是基本事件,D中包含取出标号为1和7,3和5两个样本点,所以D不是基本事件.故选ABC.
ABC
解析:Ω={正正,正反,反正,反反}.
答案:4
4.连续掷两枚硬币,观察正反面朝上的情况.这一试验的样本点的个数为
.
课堂探究·素养培育
探究点一
必然事件、不可能事件与随机事件的判断
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;
解:(1)购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.
解:(2)所有三角形的内角和均为180°,所以是必然事件.
(2)三角形的内角和为180°;
解:(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
解:(4)同时抛掷两枚硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件.
(4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上;
解:(5)任意抽取,可能得到1,2,3,4号标签中的任一张,所以是随机事件.
[例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到 1号标签;
解:(6)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
(6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
方法技巧
判断一个事件的方法:应从条件与结果是否发生两方面判断:因为三种事件都是相对于一定条件而言的,而一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
即时训练1-1:指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
(1)某体操运动员将在下一届运动会上获得全能冠军;
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯;
解:(1)(2)中的事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件.
(3)若x∈R,则x2+2 021≥2 021;
解:(3)中的事件一定会发生,所以是必然事件.
解:(4)小红书包里没有物理书,所以是不可能事件.
即时训练1-1:指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、历史书,她随意拿出一本,是物理书.
[备用例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭;
解:(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭,也可能不是3次,是随机事件.
解析:(2)抛掷硬币10次,也可能全是反面向上,也可能有正面向上,是随机事件.
(2)抛掷硬币10次,至少有一次正面向上;
[备用例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(3)没有水分,种子发芽.
解:(3)没有水分,种子不可能发芽,是不可能事件.
样本空间
探究点二
[例2] 做掷红、蓝两个骰子的试验,用(x,y)表示样本点,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数.写出:
(1)这个试验的样本空间;
解:(1)这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
[例2] 做掷红、蓝两个骰子的试验,用(x,y)表示样本点,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数.写出:
(2)这个试验包含的基本事件个数.
解:(2)这个试验包含36个基本事件.
变式训练2-1:本例条件不变,用集合表示事件A:出现的点数之和大于8,事件B:出现的点数相同.
解:A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6)}.
B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
变式训练2-2:本例条件不变,记红骰子掷出的点数与蓝骰子掷出的点数之差为X,写出“X≥5”表示的样本点的集合C.
解:C={(6,1)}.
变式训练2-3:本例条件不变,记红骰子掷出的点数与蓝骰子掷出的点数之差的绝对值为X,写出“X≥5”表示的样本点的集合D.
解:D={(6,1),(1,6)}.
方法技巧
理解样本点与样本空间应注意的几个方面
(1)用样本点表示随机事件,首先弄清试验的样本空间,不重不漏列出所有的样本点.然后找出满足随机事件要求的样本点,从而用这些样本点组成的集合表示随机事件.
(2)随机事件可以用文字表示,也可以将事件表示为样本空间的子集,后者反映了事件的本质,且更便于今后计算事件发生的概率.
[备用例2] 下面做投掷两个正四面体玩具(四个面上分别标有点数1,2,3,4)的试验,观察正四面体玩具朝下的点数:
(1)写出试验的样本空间;
解:(1)用(x,y)表示样本点,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数,则这个试验的样本空间Ω={(1,1),
(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
[备用例2] 下面做投掷两个正四面体玩具(四个面上分别标有点数1,2,3,4)的试验,观察正四面体玩具朝下的点数:
(2)用集合表示事件A:朝下的点数之和大于3;
解:(2)A={(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
[备用例2] 下面做投掷两个正四面体玩具(四个面上分别标有点数1,2,3,4)的试验,观察正四面体玩具朝下的点数:
(3)用集合表示事件B:朝下的点数相等,事件C:朝下的点数之差的绝对值小于2.
解:(3)B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},C={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),
(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}.
用集合表示随机事件
探究点三
[例3] 如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效,把这个电路是否为通路看成一个随机现象,观察这个电路中各个元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
解:(1)分别用x1,x2,x3表示元件A,B,C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示,进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示元件的“失效”状态,则样本空间为Ω={(0,0,0),(1,1,1),(1,0,0),
(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(0,0,1)}.
也可借助树状图列出试验的所有可能结果.
解:(2)M=“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰好有两个1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
N=“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3都为1,所以N={(1,1,1)}.
T=“电路为断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中至少有1个为0,所以T=
{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)}.
[例3] 如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效,把这个电路是否为通路看成一个随机现象,观察这个电路中各个元件是否正常.
(2)用集合表示下列事件:
M=“恰好两个元件正常”,
N=“电路是通路”,
T=“电路为断路”.
方法技巧
(1)在利用集合表示随机事件时,首先用字母或数字等形式表示样本点.
(2)样本点的列举为防止遗漏和重复,可按照确定顺序来写.
变式训练3-1:如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效,把这个电路是否为通路看成一个随机现象,观察这个电路中各个元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
解:(1)分别用x1,x2,x3表示元件A,B,C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示,进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示元件的“失效”状态,则样本空间为Ω={(0,0,0),(1,1,1),(1,0,0),
(1,1,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(0,0,1)}.
也可借助树状图列出试验的所有可能结果.
变式训练3-1:如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效,把这个电路是否为通路看成一个随机现象,观察这个电路中各个元件是否正常.
(2)用集合表示下列事件:
M=“恰好1个元件正常”,
N=“电路是通路”,
T=“电路为断路”.
解:(2)用集合表示下列事件:
M=“恰好1个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰好有1个1,所以M=
{(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0)}.
N=“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3至少有1个为1,
所以N={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.
T=“电路为断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3都为0,所以T={(0,0,0)}.
即时训练3-1:在所有考试中,小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好.随机抽取一次考试的成绩,记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况.
(1)写出该试验的样本空间;
解:分别用x1,x2,x3表示语文、数学、英语的成绩,则样本点表示为(x1,x2,x3),用1表示优秀,用0表示良好,则x1,x2,x3∈{0,1}.
(1)该试验的样本空间可表示为Q={(x1,x2,x3)|x1,x2,x3∈{0,1}},用列举法表示为Q={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),
(0,1,1),(1,1,1)}.
即时训练3-1:在所有考试中,小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好.随机抽取一次考试的成绩,记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况.
(2)用集合表示下列事件:
A=“至少有两科成绩为优秀”;B=“三科成绩不都相同”.
解:(2)A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)};
B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
课堂达标
ACD
解析:当a为整数时,a+1一定为整数,是必然事件,其余3个均为随机事件.故选ACD.
1.(多选题)下列现象中,是随机事件的是( )
(A)在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆
(B)若a为整数,则a+1为整数
(C)某人打靶射击5次,命中靶心3次
(D)检查流水线上一件产品是合格品还是次品
D
2.高铁2+2座位号如图,则小明旅游想买某次高铁14车第一排的四个座位中的一个,其样本空间为( )
(A)Ω={A} (B)Ω={A,C}
(C)Ω={A,C,D} (D)Ω={A,C,D,F}
解析:根据题意,其样本空间Ω={A,C,D,F}.故选D.
3.从5个男生、2个女生中任选派3人,则下列事件中是必然事件的是( )
(A)3个都是男生
(B)至少有1个男生
(C)3个都是女生
(D)至少有1个女生
B
解析:由于只有2个女生,而要选派3人,故至少有1个男生.故选B.
解析:从3,…,10中任意选一个数,所得到的数可能是从3到10中的任意一个数,所以这个试验的样本空间为 Ω={3,4,5,6,7,8,9,10},“它是偶数”这一事件包含的样本点有4个,分别为4,6,8,10.
4.从3,…,10中任意选一个数,这个试验的样本空间为 ,“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为 .
答案:Ω={3,4,5,6,7,8,9,10} 4(共31张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
[目标导航]
核心知识目标 核心素养目标
1.理解事件的包含关系,事件相等. 2.理解并事件(或和事件)、交事件(或积事件)的概念. 3.理解互斥事件与对立事件的概 念,弄清其关系. 4.能根据集合间的关系判断事件的关系. 5.能用并事件(或和事件)、交事件(或积事件)、互斥事件与对立事件的概念解决实际问题. 1.通过事件的关系与运算的学习,达成数学抽象、数学运算与直观想象的核心素养.
2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念,发展逻辑推理、数学运算与直观想象的核心素养.
新知探究·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知探究·素养启迪
1.事件的包含关系
一定发生
定义 一般地,若事件A发生,则事件B ,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
含义 A发生导致B发生
符号表示 B A(或A B)
图形表示
特殊情况 如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B ,记作 .
相等
A=B
2.并事件(或和事件)
至少有一个
定义 一般地,事件A与事件B 发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
含义 A与B至少有一个发生
符号表示 (或 )
图形表示
A∪B
A+B
3.交事件(或积事件)
同时
定义 一般地,事件A与事件B 发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
含义 A与B同时发生
符号 表示 (或 )
图形 表示
A∩B
AB
4.互斥事件(或互不相容事件)
不能同时发生
定义 一般地,如果事件A与事件B ,也就是说 是一个不可能事件,即 ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 .
图形表示
A∩B
5.对立事件
A∪B=Ω
定义 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且 ,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为 .
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 , .
图形表示
小试身手
1.打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则事件A=A1∪A2∪A3表示( )
(A)全部未击中 (B)至少有一次击中
(C)全部击中 (D)至多有一次击中
B
BD
2.(多选题)下列说法正确的是( )
(A)若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件
(B)若事件A和B是互斥事件,则A∩B是不可能事件
(C)事件A∪B是必然事件,则事件A和B是对立事件
(D)若两个事件是对立事件,则事件A∪B是必然事件
解析:互斥事件不一定是对立事件,A不正确;因为事件A和B是互斥事件,所以A∩B是不可能事件,故B正确;C不正确,D正确.故选BD.
3.一人连续投掷硬币两次,事件“至少有一次为正面”的对立事件是( )
(A)至多有一次为正面 (B)两次均为正面
(C)只有一次为正面 (D)两次均为反面
解析:对于A,“至多有一次为正面”与“至少有一次为正面”,能够同时发生,不是互斥事件;对于B,“两次均为正面”与“至少有一次为正面”,
能够同时发生,不是互斥事件;对于C,“只有一次为正面”与“至少有一次为正面”,能够同时发生,不是互斥事件;对于D,“两次均为反面”与“至少有一次为正面”,不能够同时发生,是互斥事件,但是至少有一个发生.故选D.
D
解析:因为事件P={1},Q={3,4},M={1,3},
所以P∪Q={1,3,4},M∩Q={3}.
答案:{1,3,4} {3}
4.抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P=“向上的点数是1”,事件Q=“向上的点数是3或4”,M=“向上的点数是1或3”,用集合表示P∪Q= ,
M∩Q= .
课堂探究·素养培育
探究点一
事件的包含与相等
[例1] 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1=“出现1点”,事件C2=
“出现2点”,事件C3=“出现3点”,事件C4=“出现4点”,事件C5=“出现5点”,事件C6=“出现6点”,事件D1=“出现的点数不大于1”,事件D2=“出现的点数大于3”,事件D3=“出现的点数小于5”,事件E=“出现的点数小于7”,事件F=“出现的点数为偶数”,事件G=“出现的点数为奇数”,请根据上述定义的事件,列举出符合包含关系、相等关系的事件.
解:因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1 D3,C2 D3,C3 D3,C4 D3.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5.
且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
方法技巧
事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系.
即时训练1-1:抛掷一枚质地均匀的硬币三次,有如下三个事件A,B,C,其中A为有3次正面向上,B为只有1次正面向上,C为至少有1次正面向上,试判断A,B,C之间的包含关系.
解:当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此有A C,B C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此A与B之间不存在包含关系.综上,事件A,B,C之间的包含关系为A C,B C.
事件的并与交
探究点二
[例2] 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取三个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”,事件E=
“3个红球”,事件F=“3个球中至少有1个白球”.
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系
解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球,或2个红球1个白球,故D=A∪B.
解:(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3个红球,故C∩A=A.
[例2] 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取三个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”,事件E=
“3个红球”,事件F=“3个球中至少有1个白球”.
(2)事件C与A的交事件是什么
(3)事件C与A,B,E是什么运算关系
解:(3)C=A∪B∪E.
解:(4)C∩F=A∪B.
[例2] 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取三个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B=“3个球中有2个红球,1个白球”,事件C=“3个球中至少有1个红球”,事件D=“3个球中既有红球又有白球”,事件E=
“3个红球”,事件F=“3个球中至少有1个白球”.
(4)C与F的交事件是什么
方法技巧
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
即时训练2-1:同时抛掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和可能是2,3,4,…,
11,12中的一个,记事件A为“点数之和是2,4,7,12”,事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”,事件C为“点数之和大于8”,则事件“点数之和为2或4”可记为( )
(A)A∩B (B)A∩B∩C
即时训练2-2:设A,B为两个事件,试用A,B表示下列各事件:
(1)A,B两个事件至少有一个发生;
解:(1)A,B两个事件至少有一个发生A∪B.
(2)事件A发生且事件B不发生;
即时训练2-2:设A,B为两个事件,试用A,B表示下列各事件:
(3)A,B两个事件都不发生;
(4)A,B两个事件中恰有一个发生.
事件的互斥与对立
探究点三
[例3] 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
(1)“恰有一名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
解:(2)“至少一名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
[例3] 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
解:(3)“至少一名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
解:(4)“至少有一名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
[例3] 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.
方法技巧
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”
“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
即时训练3-1:从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件是( )
(A)至少有一个红球;至少有一个白球 (B)恰有一个红球;都是白球
(C)至少有一个红球;都是白球 (D)至多有一个红球;都是红球
解:对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事
件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.故选B.
课堂达标
C
解析:“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件但不对立.故
选C.
1.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是( )
(A)对立事件 (B)不可能事件
(C)互斥但不对立事件 (D)以上答案都不对
C
(A)事件A与事件B都发生
(B)事件A发生且事件B不发生
(C)事件A不发生且事件B发生
(D)事件A不发生且事件B不发生
3.掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
(A)A B
(B)A=B
(C)A∪B表示向上的点数是1或2或3
(D)A∩B表示向上的点数是1或2或3
C
解析:设A={1,2},B={2,3},A∩B={1},A∪B={1,2,3},所以A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.
解析:因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,这一随机试验的样本空间Ω={(白,白),(白,红),(红,红)},且A={(白,红),(白,白)},B=
{(白,红)}.所以A∩B={(白,红)}.故A∩B表示的事件为恰有一个红球.
4.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件A为“所取两个球至少有一个白球”,事件B为“所取两个恰有一个红球”,则A∩B表示的事件为 .
答案:恰有一个红球