(共25张PPT)
10.3.2 随机模拟
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核心知识目标 核心素养目标
1.了解利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 2.会用随机模拟求概率. 通过了解随机数的意义及用模拟的方法估计概率,发展数学抽象及数据分析的核心素养.
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1.随机数与伪随机数
像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为 .
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,因此计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称为 .
2.产生随机数的常用方法
①用计算器产生;②用 产生;③ 法.
随机数
伪随机数
计算机
抽签
频率
3.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的
来估计 ,这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
概率
小试身手
1.掷三枚骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时,产生的整数值随机数中,每几个数字为一组( )
(A)1 (B)3 (C)9 (D)12
B
解析:由于掷三枚骰子,所以产生的整数值随机数中,每3个数字为一组.故选B.
B
2.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度决定于( )
(A)产生的随机数的大小
(B)产生的随机数的个数
(C)随机数对应的结果
(D)产生随机数的方法
解析:随机数容量越大,概率越接近真实值.故选B.
B
3.袋中有2个黑球,3个白球,除颜色外小球完全相同,从中有放回地取出一球,连取三次,观察球的颜色.用计算机产生0到9的数字进行模拟试验,用0,1,2,3代表黑球,4,5,6,7,8,9代表白球,在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为( )
160 288 905 467 589 239 079 146 351
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:二白一黑的组为288,905,079,146,共4组.故选B.
4.通过模拟试验产生了8组随机数:5522 7984 2654 5725 5774 6576 5929 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标,问:四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 .
答案:0.375
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探究点一
随机数产生的方法
[例1] 要产生1～25之间的随机整数,你有哪些方法
解:法一 采用抽签法时必须保证任何一个数被选到的概率是等可能的,
可以把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3,…,24,25,放入一个不透明的袋中,把它们充分搅拌,然后从中摸出一个,这个球上的数就称为随机数,放回后重复以上过程,就得到一系列的1～25之间的随机整数.
法二 可以利用计算机产生随机数,以Excel为例:
(1)选定A1格,键入“=RANDBETWEEN(1,25)”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的;
(2)选定A1格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如A2至A100,点击粘贴,则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数,这样我们就很快就得到了100个1～25之间的随机数,相当于做了100次随机试验.
方法技巧
(1)随机数产生的方法:试验;计算器;计算机.
(2)用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点:
进行正确的编号,并且编号要连续;正确把握抽取的范围和容量.
解:(1)把20名运动员编号(甲除外),从20名运动员中抽取10名.
(2)用计算器的随机函数RANDI(1,20)或计算机的随机函数RANDBETWEEN
(1,20)产生10个1至20之间的整数随机数(如果有一个重复,重新产生
一个).
(3)以上号码对应的10名运动员加上运动员甲就是要抽取的对象.
即时训练1-1:一体育代表队共有21名水平相当的运动员.现从中抽取11人参加某场比赛,其中运动员甲必须参加,写出利用随机数抽取的过程.
[备用例1] 一名学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的:从15道物理题中随机抽3道,从20道化学题中随机抽3道,从12道生物题中随机抽2道,使用合适的方法确定这名学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15,化学题的编号为16～35,生物题的编号为36～47).
解:先用计算器的随机函数RANDI(1,15)或计算机的随机函数RANDBETWEEN
(1,15)产生3个不同的1到15之间的整数随机数(如果有一个重复,重新产生一个);再用计算器的随机函数RANDI(16,35)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(16,35)产生3个不同的16到35之间的整数随机数(若有重复,则重新产生一个);最后用计算器的随机函数RANDI(36,47)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(36,47)产生2个不同的36到47之间的整数随机数(若有重复,则重新产生一个),就得到8道题的题号.
随机模拟法估计概率
探究点二
方法技巧
随机数模拟试验估计概率时,要明确以下三点
(1)确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处
理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
即时训练2-1:(2020·山西运城高一期末)已知某运动员每次投篮命中的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5,6,7,8表示命中,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮均命中的概率为( )
(A)0.40 (B)0.45 (C)0.50 (D)0.55
用随机模拟估计较复杂事件的概率
探究点三
[例3] 甲、乙两支篮球队进行一场比赛,甲获胜的概率为0.6,若采用三局两胜制举行一次比赛,试用随机模拟的方法求乙获胜的概率.
方法技巧
较复杂模拟试验的设计及产生随机数的方法
(1)解决此类问题的第一个关键是设计试验.首先需要全面理解题意,在理解题意的基础上,根据题目本身的特点来设计试验,应把设计试验的重点放在确定哪个或哪些数字代表哪些试验结果上,并确保符合题意与题目要求.
(2)在试验方案正确的前提下,要使模拟试验所得的估计概率与实际概率更接近,则需使试验次数尽可能的多,随机数的产生才更切合实际.
(3)用计算器或计算机产生随机数的方法有两种
①利用带有PRB功能的计算器产生随机数;
②利用计算机软件产生随机数,例如用Excel软件产生随机数.
对上述两种方法,需严格按照其操作步骤与顺序来进行.
即时训练3-1:某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是60%,若该篮球爱好者连续投篮4次,求至少投中3次的概率,用随机模拟的方法估计上述概率.
课堂达标
D
1.下列不能产生随机数的是( )
(A)抛掷骰子试验
(B)抛硬币
(C)计算器
(D)正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5,抛掷该正方体
B
2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为( )
(A)0.35 (B)0.25 (C)0.20 (D)0.15
3.若某地8月15日无雨记为0,有雨记为1,统计从1996年至2020年的气象资料得:11000 10011 00001 01011 10100,则该地出现8月15日下雨的概率约为 .其中2019年8月15日 (填“无雨”或“有雨”).
解析:根据所统计的25年的资料,共有11次有雨,因此该地8月15日下雨的概率约为=0.44.由于2019年8月15日是数字0,因此无雨.
答案:0.44 无雨
4.袋子中有四个小球,分别写有“东”“京”“奥”“运”四个字,有放回地从中任取一个小球,取到“奥”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器产生 1到4之间取整数值的随机数,且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“东”“京”“奥”“运”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计,直到第二次就停止基本事件的个数为 ,直到第二次就停止的概率为 . (共37张PPT)
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
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核心知识目标 核心素养目标
了解频率与概率的关系,理解频率的稳定性. 通过运用恰当的例子抽象出频率的稳定性,理解频率与概率之间的联系与区别,发展数学抽象与逻辑推理的核心素养.
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频率的稳定性
大量试验证明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有 性.一般地,随机试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率 .
随机
稳定
P(A)
小试身手
1.从一批零件中随机抽出10个进行质检,其中有一个次品,下列说法正确的是( )
(A)次品率小于10% (B)次品率大于10%
(C)次品率等于10% (D)次品率接近10%
D
B
2.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为
( )
(A)160 (B)7 840
(C)7 998 (D)7 800
解析:次品率为2%,故次品约8 000×2%=160(件),故合格品的件数可能为7 840.故选B.
A
3.某厂生产的电器是家电下乡政府补贴指定品牌,其产品是优等品的概率为90%,现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验,结果前9件产品中有8件是优等品,1件是非优等品,那么第10件产品是优等品的概率为
( )
(A)90% (B)小于90%
(C)大于90% (D)无法确定
解析:概率是一个确定的常数,在试验前已经确定,与试验次数无关.故
选A.
4.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1 000千瓦时,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率约是 .
答案:0.4
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探究点一
频率与概率的关系
[例1] 下列说法中正确的有( )
①任何事件的概率总是在[0,1]之间;
②概率是随机的,在试验前不能确定;
③频率是客观存在的,与试验次数无关;
④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
(A)①④ (B)②③ (C)①③④ (D)①②③④
解析:频率是不能脱离试验次数的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值,故②③不正确,①④显然正确.故选A.
方法技巧
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
解析:①中如果把治疗一个患者作为一次试验,治愈率是10%指随着试验次数的增加,有10%的患者能够治愈.虽然前9个患者都没有治愈,但是对第10个患者来说,被治愈的可能性仍是10%,故①错误;
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故②错误;
④中次品率为2%,但50件产品中可能没有次品,也可能有1件或2或3件…次品,故④正确.
答案:①②③
利用频率与概率的关系求概率
探究点二
[例2] 国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率.
解:(1)如表所示:
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
[例2] 国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:
抽取球数目 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数目 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是多少
解:(2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是0.95.
方法技巧
解此类题目的步骤:先利用频率的计算公式依次计算频率,然后用频率估计概率.
即时训练2-1:某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组 频数 频率
[700,900) 48
[900,1 100) 121
[1 100,1 300) 208
[1 300,1 500) 223
[1 500,1 700) 193
[1 700,1 900) 165
[1 900,+∞) 42
(1)将各组的频率填入表中;
解:(1)利用频率的定义可得[700,900)的频率是0.048,[900,1 100)的频率是0.121,[1 100,1 300)的频率是0.208,[1 300,1 500)的频率是0.223,[1 500,1 700)的频率是0.193,[1 700,1 900)的频率是0.165,
[1 900,+∞)的频率是0.042.
即时训练2-1:某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组 频数 频率
[700,900) 48
[900,1 100) 121
[1 100,1 300) 208
[1 300,1 500) 223
[1 500,1 700) 193
[1 700,1 900) 165
[1 900,+∞) 42
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
解:(2)样本中使用寿命不足1 500小时的灯管的频率是0.048+0.121+
0.208+0.223=0.6,所以估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6.
[备用例1] 某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数,如
下表:
(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率;
解:(1)两名运动员击中10环的频率如下表:
[备用例1] 某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数,如
下表:
(2)根据(1)中的数据预测两名运动员在某运动会上击中10环的概率.
解:(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近,所以预测两人在某运动会上击中10环的概率均约为0.9,也就是说甲、乙两人的实力相当.
游戏公平性的判断
探究点三
[例3] 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平 为什么
解:该方案是公平的,理由如下:各种情况如表所示:
转盘2 和 转盘1 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
变式训练3-1:在本例中,若把游戏规则改为:自由转动转盘,转盘停止后,两个指针指向的两个数字相乘,如果是偶数,那么(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.游戏规则公平吗 为什么
方法技巧
游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等.例如:体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才是公平的;每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的,这样才是公平的;抽签决定某项事务时,任何一支签被抽到的概率也是相等的,这样才是公平的,等等.
即时训练3-1:有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”;
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”;
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜 为什么
解:(1)A方案中,“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5;B方案中,“是4的整数倍的数”的概率为0.2,“不是4的整数倍的数”的概率为0.8;C方案中,“是大于4的数”的概率为0.6,“不是大于4的数”的概率为0.4.故选择B方案,猜“不是4的整数倍的数”获胜的概率最大.
即时训练3-1:有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”;
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”;
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题:
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案 为什么
解:(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
即时训练3-1:有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”;
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”;
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题:
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
解:(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,也可以保证游戏的公平性.
[备用例2] 甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(1)设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况.
解:(1)甲、乙两人抽到的牌的所有情况(红桃2、红桃3、红桃4分别用2,3,4表示,方片4用4′表示)为(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),
(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4),共12种.
[备用例2] 甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少
[备用例2] 甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.
(3)甲、乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜;若甲抽到的牌的牌面数字比乙小,则乙胜.你认为此游戏是否公平 说明你的理由.
课堂达标
B
D
2.在掷一枚硬币的试验中,共掷了100次,“正面朝上”的频率为0.49,则“正面朝下”的次数为( )
(A)0.49 (B)49 (C)0.51 (D)51
解析:正面朝下的频率为1-0.49=0.51,次数为0.51×100=51(次).
故选D.
3.某地气象局预报说:明天本地降水的概率为90%,则下列解释正确的是
( )
(A)明天本地有90%的区域降水,10%的区域不降水
(B)明天本地有90%的时间降水,10%的时间不降水
(C)明天本地降水的可能性是90%
(D)以上说法均不正确
C
解析:选项A,B显然不正确,因为明天本地降水的概率为90%不是说有90%的区域降水,也不是说有90%的时间降水,而是指降水的可能性是90%.故选C.
4.对某产品进行抽样检查,数据如下:
解析:根据题表中数据可知合格品出现的频率依次为0.94.0.92,0.96,
0.95,0.95,因此合格品出现的概率约为 0.95,因此要抽到950件合格品,大约需要抽查1 000件产品.
答案:1 000
抽查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 475
根据上表中的数据,如果要从该产品中抽到950件合格品,则大约需要抽查
件产品.
