人教版数学九年级上册第21章 21.2.2公式法 同步练习
一、单选题
1．（2017·广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（ ）
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
2．（2017·咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．（2017·河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（2017·岳阳）已知点A在函数y1=﹣ （x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
5．（2017·宁夏）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且a≠1 D． 且a≠1
6．（2017·上海）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0
7．（2017·河池）若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
8．（2017·常德）一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
9．（2017·齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣ =0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
10．（2017·扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
11．（2017·通辽）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2017·益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
13．（2017·包头）若关于x的不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
二、填空题
14．（2017·连云港）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
15．（2017·大连）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
16．（2017·赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
17．（2017·东莞模拟）已知关于x的方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ．
18．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
19．（2017·岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 ．
三、解答题
20．（2017·海淀模拟）关于x的方程x2﹣ax+a=0有两个相等的实数根，求代数式 的值．
21．（2016九上·吉安期中）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．
四、综合题
22．（2017·北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
23．（2017·黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0，
解得：q＜16．
故选A．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=64﹣4q＞0，解之即可得出q的取值范围．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：设A（a，﹣ ），
由题意知，点A关于原点的对称点B（-a， ），在直线y2=kx+1+k上，
则 =﹣ak+1+k，
整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，
即（a﹣1）（ka﹣1）=0，
∴a﹣1=0或ka﹣1=0，
则a=1或ka﹣1=0，
若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若k≠0，则a= ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．
【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣ ）关于原点的对称点B（-a， ）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1） （﹣2）≥0，
解得a≥﹣ 且a≠1．
故选D．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1） （﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．
【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，
解得：a=﹣1．
故选A．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，解得x= ；
当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k （﹣ ）≥0，解得k≥﹣1，
所以k的范围为k≥﹣1．
故选C．
【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k （﹣ ）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，
∴ ，
解得：k＞﹣1．
故选A．
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．
12．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，
∴b2﹣4ac＞0，
故选A
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
13．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：解不等式x﹣ ＜1得x＜1+ ，
而不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，
所以1+ =1，解得a=0，
又因为△=a2﹣4=﹣4，
所以关于x的一元二次方程x2+ax+1=0没有实数根．
故选C．
【分析】先解不等式，再利用不等式的解集得到1+ =1，则a=0，然后计算判别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况．
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4﹣4m=0，解之即可得出结论．
15．【答案】c＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，
解得：c＜1．
故答案为：c＜1．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．
16．【答案】m＜2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，
解得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．
17．【答案】k≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0，
解得，k≤1．
故答案是：k≤1．
【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．
18．【答案】k＞ 且k≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞ 且k≠1．
故答案为：k＞ 且k≠1．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
19．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2 ，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长= AC=2；
故答案为：2．
【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
20．【答案】解：∵关于x的方程x2﹣ax+a=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣4a=0，
∴
=
=
=
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣4a=0，再将所求代数式化简为 ，然后整体代入计算即可．
21．【答案】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）× =0，
整理得，k2﹣3k+2=0，
即（k﹣1）（k﹣2）=0，
解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．
∴k=2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．
22．【答案】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，
∴x1=2，x2=k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
23．【答案】（1）证明：∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4①，x1 x2=﹣m2②．
∵x1+2x2=9③，
∴联立①③解之，得：x1=﹣1，x2=5，
∴x1 x2=﹣5=﹣m2，
解得：m=±
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1 x2=﹣m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
1 / 1人教版数学九年级上册第21章 21.2.2公式法 同步练习
一、单选题
1．（2017·广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（ ）
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0，
解得：q＜16．
故选A．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=64﹣4q＞0，解之即可得出q的取值范围．
2．（2017·咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P（a，c）在第二象限，
∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
3．（2017·河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
4．（2017·岳阳）已知点A在函数y1=﹣ （x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．有1对或2对 B．只有1对 C．只有2对 D．有2对或3对
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：设A（a，﹣ ），
由题意知，点A关于原点的对称点B（-a， ），在直线y2=kx+1+k上，
则 =﹣ak+1+k，
整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，
即（a﹣1）（ka﹣1）=0，
∴a﹣1=0或ka﹣1=0，
则a=1或ka﹣1=0，
若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；
若k≠0，则a= ，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，
故选：A．
【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣ ）关于原点的对称点B（-a， ）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．
5．（2017·宁夏）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且a≠1 D． 且a≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1） （﹣2）≥0，
解得a≥﹣ 且a≠1．
故选D．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1） （﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
6．（2017·上海）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x=0 B．x2﹣2x﹣1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣2x+2=0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．
【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
7．（2017·河池）若关于x的方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×（﹣a）=4+4a=0，
解得：a=﹣1．
故选A．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出结论．
8．（2017·常德）一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【分析】先计算判别式的意义，然后根据判别式的意义判断根的情况．
9．（2017·齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣ =0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0
C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，解得x= ；
当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k （﹣ ）≥0，解得k≥﹣1，
所以k的范围为k≥﹣1．
故选C．
【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣ =0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k （﹣ ）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．
10．（2017·扬州）一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
11．（2017·通辽）若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，
∴ ，
解得：k＞﹣1．
故选A．
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．
12．（2017·益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac=0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=﹣1，
∴b2﹣4ac＞0，
故选A
【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
13．（2017·包头）若关于x的不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：解不等式x﹣ ＜1得x＜1+ ，
而不等式x﹣ ＜1的解集为x＜1，
所以1+ =1，解得a=0，
又因为△=a2﹣4=﹣4，
所以关于x的一元二次方程x2+ax+1=0没有实数根．
故选C．
【分析】先解不等式，再利用不等式的解集得到1+ =1，则a=0，然后计算判别式的值，最后根据判别式的意义判断方程根的情况．
二、填空题
14．（2017·连云港）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4﹣4m=0，解之即可得出结论．
15．（2017·大连）关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ．
【答案】c＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，
解得：c＜1．
故答案为：c＜1．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．
16．（2017·赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，
解得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．
17．（2017·东莞模拟）已知关于x的方程x2﹣2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0，
解得，k≤1．
故答案是：k≤1．
【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．
18．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞ 且k≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞ 且k≠1．
故答案为：k＞ 且k≠1．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
19．（2017·岳阳）在△ABC中BC=2，AB=2 ，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4b=0，
∴AC=b=4，
∵BC=2，AB=2 ，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，
∴AC边上的中线长= AC=2；
故答案为：2．
【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
三、解答题
20．（2017·海淀模拟）关于x的方程x2﹣ax+a=0有两个相等的实数根，求代数式 的值．
【答案】解：∵关于x的方程x2﹣ax+a=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣4a=0，
∴
=
=
=
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣4a=0，再将所求代数式化简为 ，然后整体代入计算即可．
21．（2016九上·吉安期中）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．
【答案】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）× =0，
整理得，k2﹣3k+2=0，
即（k﹣1）（k﹣2）=0，
解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．
∴k=2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．
四、综合题
22．（2017·北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
【答案】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，
∴x1=2，x2=k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
23．（2017·黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0
（1）求证：该方程有两个不等的实根；
（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．
【答案】（1）证明：∵在方程x2﹣4x﹣m2=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2=4①，x1 x2=﹣m2②．
∵x1+2x2=9③，
∴联立①③解之，得：x1=﹣1，x2=5，
∴x1 x2=﹣5=﹣m2，
解得：m=±
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1 x2=﹣m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
1 / 1
