2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.5确定圆的条件 同步练习
一、单选题
1．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
2．（2018·河北模拟）如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△CBE B．△ACD C．△ABE D．△ACE
3．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它是三角形外接圆的圆心
C．它是三角形三条边垂直平分线的交点
D．它一定在三角形的外部
4．（2018九上·义乌期中）如图，小明为检验四边形MNPQ四个顶点是否在同一圆上，用尺规分别作了MN，MQ的垂直平分线交于点O，则M，N，P，Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
5．（2018九上·东台期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．130° C．50° D．65°
6．（2018九上·如皋期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
7．（2018九上·苏州月考）如图，已知 ， ， ，则 的度数为（ ）
A．68° B．88° C．90° D．112°
8．如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△CBE B．△ACD C．△ABE D．△ACE
9．在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（ ）
A．100πcm B．15πcm C．25πcm D．50πcm
10．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）
A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
二、填空题
11．（2018九上·杭州期中）两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是 ．
12．（2019九上·海淀期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
13．（2018九上·清江浦期中）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．
14．（2018九上·扬州月考）锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在 .
15．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 ．
16．（2018·烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ．
三、综合题
17．考古学家发现了一块古代圆形陶器残片如图所示，为了修复这块陶器残片，需要找出圆心．
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）写出作图的主要依据：
18．（2017九下·佛冈期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ．
（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC＝ ，圆的半径为，劣弧 的长为．
19．（2018·无锡模拟）如图，已知线段AB．
（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的前提下，若AB=2cm，则等腰△ABC的外接圆的半径为 cm．
20．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
21．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
22．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
23．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
24．（2017·市中区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），经过点A点B抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．
（1）求抛物线的关系式；
（2）△ABC的外接圆与轴交于点D，在抛物线上是否存在点M使S△MBC=S△DBC，若存在，请求出点M的坐标．
（3）点P是直线y=﹣x上一个动点，连接PB，PC，当PB+PC+PO最小时，求点P的坐标及其最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆，因为只有C选项中的三点能构成三角形，故答案为：C.
【分析】根据经过不在同一直线上的三点可以确定圆可求解。
2．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC．∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，
∵OB=OE=OC，∴O是△CBE的外心，故A不符合题意；
∵OA=OC≠OD，∴O不是△ACD的外心，故B符合题意；
∵OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，故C不符合题意；
∵OA=OE=OC，∴O是△ACE的外心，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】三角形的外心是指到三角形的各个顶点的距离相等的点。所以要判断一个点是不是外心，只须说明这个点到各个顶点的距离是否相等即可。
3．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由三角形的外心定义和性质可知错误的为D.
故答案为：D.
【分析】三角形的外心：是三角形外接圆的圆心；也是三角形三边垂直平分线的交点；到三角形三个顶点的距离相等，由此即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵点O为线段MN、MQ的垂直平分线交点，
∴ON=OM=OQ，
∴点M、N、Q一定在以O为圆心，OM为半径的圆上，
∴点P不在以O为圆心，OM为半径的圆上.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，再由三角形的外接圆性质即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内心是三条角平分线的交点可得，∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），然后可得∠BOC=180-（180-∠A）=900+∠A。
6．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】已知∠C=90°，AC=6，BC=8，根据勾股定理可得AB=10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其外接圆的半径为5．故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出此直角三角形的斜边的长，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边长的一半，就可求出这个三角形的外接圆的半径。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，
∵∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
故答案为：B．
【分析】利用AB=AC=AD，可知点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上，画出图形，利用已知及圆周角定理可得出∠CAD=2∠BAC，从而可求出∠CAD的度数。
8．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC．∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，
∵OB=OE=OC，∴O是△CBE的外心，故A不符合题意；
∵OA=OC≠OD，∴O不是△ACD的外心，故B符合题意；
∵OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，故C不符合题意；
∵OA=OE=OC，∴O是△ACE的外心，故D不符合题意．
故答案为：B
【分析】连接OA、OB、OD．
（1）根据三角形外心的意义可得OA=OB=OC，而四边形OCDE为正方形，根据正方形的性质可得OA=OB=OE，所以OB=OE=OC，即O是△CBE的外心；
（2）由（1）中的结论和已知条件可得OA=OC≠OD，所以O不是△ACD的外心；
（3）由（1）中的结论可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心；
（4）由（1）中的结论可得OA=OE=OC，所以O是△ACE的外心。
9．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=
∴外接圆的半径r=
∴外接圆的面积为25πcm
故答案为：C.
【分析】用勾股定理可求得AB的长，根据90度的圆心角所对的弦是直径可得外接圆的半径r=AB，所以外接圆的面积=.
10．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连结OA，OB，延长AO交BC于D，
∵⊙O是正三角形△ABC的外接圆，
∴OA=OB，AD⊥AB，∠OBD=30°，
∴OD=OB，
∴AD=AO+OD=OB+OB=OB，
∴正三角形的外接圆的半径和高的比为：OB：OB=2：3.
故答案为：B.
【分析】连结OA，OB，延长AO交BC于D，根据三角形外接圆和正三角形的性质可知OD=OB，即高AD=OB，从而可得正三角形外接圆的半径和高的比.
11．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解、∵在Rt△中，斜边=，
而直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边，
∴直角三角形的外接圆直径=10.
【分析】根据直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边用勾股定理即可求解。
12．【答案】钝角三角形
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
【分析】锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，即可得出答案。
13．【答案】(6，2)
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】圆心是BC，AB两边垂直平分线的交点为(6，2)．
【分析】由网格图像的特点和三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点可求解。
14．【答案】三角形内；斜边上；三角形外
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，所以锐角三角形的垂直平分线交点在三角形内，直角三角形的垂直平分线的交点在斜边上，钝角三角形的垂直平分线的交点在三角形外.
【分析】利用外心的定义，可得出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心的位置。
15．【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵AD=2 ，AE=AF= ，AB=3 ，
∴AB＞AE＞AD，
∴ 时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，
故答案为： ．
【分析】由题意计算AD、AE、AB的长即可求得r的取值范围。
16．【答案】（-1，-2）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接CB，AB，作CB，AB的垂直平分线，其交点就是过A，B，C三点的圆的圆心，如图所示：
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
【分析】连接CB，AB，作CB，AB的垂直平分线，其交点就是过A，B，C三点的圆的圆心，如图所示：利用方格纸的特点即可读出D点的坐标。
17．【答案】（1）解：如图所示，点O即为所求作的圆心；
（2）解：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）在残片上任取三点A、B、C，连接AB、BC，作出AB、BC的垂直平分线，其交点即为圆心；
（2）依据是：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆。
18．【答案】（1）解：⊙O如图所示：
（2）解：连接CO，
在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=
由勾股定理得：AB=2，
∵∠ACB=90°
∴⊙O的半径＝ AB＝1，
∵O是AB的中点，且AC=BC
∴CO⊥AB
∴∠BOC＝90 ，
∴ .
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】本题考查不共线的三点作圆(三角形外接圆)的方法．因为A、B、C不共线，所以A、B、C三点确定一个圆．作AC的中垂线，作BC的中垂线，两线交于O，再以O为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作⊙O，则⊙O即为所求作的圆.连接CO，根据弧长公式可求出弧长.
19．【答案】（1）解：如图所示：△ABC为所求；
（2）2
【知识点】菱形的性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：（2）∵△ABD和△BCD为等边三角形，
∴DA=DB=DC=AB，
∴等腰△ABC的外接圆的半径为2，
故答案为2.
【分析】（1）以AB为边做一个等腰三角形ABD，再以BD为边在BD的另一侧作等边三角形BDC，连接AC，则三角形ABC就是所求的三角形；
（2）根据等边三角形的性质，由△ABD和△BCD为等边三角形，得出DA=DB=DC=AB，根据到定点D的距离都相等的点，一定在以定点为圆心，定长为半径的圆上，从而得出答案。
20．【答案】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知： ，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上
【知识点】垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得弧BD=弧CD，再由同圆或等圆中，等弧所对的弦相等可得BD=CD。
（2）由（1）知弧BD=弧CD，由同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠BAD=∠CBD，再由角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，根据三角形的外角定理可证∠DBE=∠DEB，根据等边对等角可得DB=DE，结合（1）的结论可得DB=DE=DC．于是可知B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
21．【答案】解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得：
，
解得，
∴直线BC解析式为：y=x-.
将x=2代入得：y=×2-=.
∴A点不在直线BC上，
∴A、B、C三点不共线，
∴A、B、C三点可以确定一个圆.
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】根据待定系数法先求出直线BC解析式，再看A点是否在直线BC上，不在即可确定一个圆.
22．【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
23．【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据三角形外接圆和等腰三角形的性质可知∠BAO＝60°，再由等腰三角形的性质知△ABO为等边三角形，从而得△ABC外接圆的半径.
24．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．
由题意得可知：a=1．
所以抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．
（2）解：如图所示：过点D作直线DM∥BC，交抛物线与点M和点M′．
∵DM∥BC，
∴S△MBC=S△DBC．
∵OD OC=OB OA，
∴4OD=4×1，解得DO=1．
∴D（0，1）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得 ，解得k=1，b=﹣4．
∵DM∥BC，
∴直线DM的解析式为y=x+1．
将y=x+1代入y=x2﹣3x﹣4得：x2﹣3x﹣4=x+1，整理得：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或x=5．
当x=﹣1时，y=0，
∴M′的坐标为（﹣1，0）．
当x=5时，y=6．
∴M的坐标为（5，6）．
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，6）．
（3）解：如图2所示：△OPC顺时针旋转60°得到△O′C′P′，连结C′P′、PP′、PB，过点C′作C′E⊥x轴，垂足为E．
由旋转的性质可知：CP′=CP，OP=OP′，∠POP′=60°．
∴△OPP′为等边三角形．
∴OP=PP′．
∴CP+PB+OP=C′P′+PB+PP′．
∴当点C′P′、PP′、PB在一条直线上时，CP+PB+OP有最小值，最小值=C′B．
∵OP的解析式为y=﹣x，
∴∠POC=45°，
∴∠P′OC′=45°．
∴∠EOC′=30°．
∴EC′= OC′=2，EO=2 ．
∴C′（﹣2 ，﹣2）．
设直线C′B的解析式为y=kx+b，则 ，解得k=2﹣ ，b=4 ﹣8．
∴直线C′B的戒形式为y=（2﹣ ）x+4 ﹣8．
将y=﹣x代入得：﹣x=（2﹣ ）x+4 ﹣8，解得x= ．
∴y= ．
∴点P的坐标为（ ， ）
∵C′（﹣2 ，﹣2）．
∴BE=4+2 ．
依据勾股定理得：BC′= = = =2 =2 =2 +2 ．
所以PB+PC+PO的最小值为2 +2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将a=1代入即可；（2）过点D作直线DM∥BC，交抛物线与点M和点M′．则S△MBC=S△DBC，利用相交弦定理可求得OD的长，从而得到点D的坐标，然后可求得DM的解析式，接下来再求得y=x+1与y=x2﹣3x﹣4的交点坐标即可；（3）△OPC顺时针旋转60°得到△O′C′P′，连结C′P′、PP′、PB，过点C′作C′E⊥x轴，垂足为E．先证明△OPP′为等边三角形，由两点之间线段最短可知：当点C′P′、PP′\PB在一条直线上时，CP+PB+OP有最小值，最小值=C′B．接下来，在求得C′（﹣2 ，﹣2），然后可求得C′B的解析式为y=（2﹣ ）x+4 ﹣8，然后可求得它与y=﹣x的交点坐标，然后依据勾股定理可求得BC′的值．
1 / 12018-2019学年初中数学北师大版九年级下册3.5确定圆的条件 同步练习
一、单选题
1．过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】解：经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆，因为只有C选项中的三点能构成三角形，故答案为：C.
【分析】根据经过不在同一直线上的三点可以确定圆可求解。
2．（2018·河北模拟）如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△CBE B．△ACD C．△ABE D．△ACE
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC．∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，
∵OB=OE=OC，∴O是△CBE的外心，故A不符合题意；
∵OA=OC≠OD，∴O不是△ACD的外心，故B符合题意；
∵OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，故C不符合题意；
∵OA=OE=OC，∴O是△ACE的外心，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】三角形的外心是指到三角形的各个顶点的距离相等的点。所以要判断一个点是不是外心，只须说明这个点到各个顶点的距离是否相等即可。
3．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它是三角形外接圆的圆心
C．它是三角形三条边垂直平分线的交点
D．它一定在三角形的外部
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：由三角形的外心定义和性质可知错误的为D.
故答案为：D.
【分析】三角形的外心：是三角形外接圆的圆心；也是三角形三边垂直平分线的交点；到三角形三个顶点的距离相等，由此即可得出答案.
4．（2018九上·义乌期中）如图，小明为检验四边形MNPQ四个顶点是否在同一圆上，用尺规分别作了MN，MQ的垂直平分线交于点O，则M，N，P，Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵点O为线段MN、MQ的垂直平分线交点，
∴ON=OM=OQ，
∴点M、N、Q一定在以O为圆心，OM为半径的圆上，
∴点P不在以O为圆心，OM为半径的圆上.
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，再由三角形的外接圆性质即可得出答案.
5．（2018九上·东台期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100° B．130° C．50° D．65°
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB．
∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内心是三条角平分线的交点可得，∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），然后可得∠BOC=180-（180-∠A）=900+∠A。
6．（2018九上·如皋期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】已知∠C=90°，AC=6，BC=8，根据勾股定理可得AB=10，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其外接圆的半径为5．故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出此直角三角形的斜边的长，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边长的一半，就可求出这个三角形的外接圆的半径。
7．（2018九上·苏州月考）如图，已知 ， ， ，则 的度数为（ ）
A．68° B．88° C．90° D．112°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；
∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，
∴∠CAD=2∠BAC，
∵∠BAC=44°，
∴∠CAD=88°，
故答案为：B．
【分析】利用AB=AC=AD，可知点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上，画出图形，利用已知及圆周角定理可得出∠CAD=2∠BAC，从而可求出∠CAD的度数。
8．如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△CBE B．△ACD C．△ABE D．△ACE
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC．∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，
∵OB=OE=OC，∴O是△CBE的外心，故A不符合题意；
∵OA=OC≠OD，∴O不是△ACD的外心，故B符合题意；
∵OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，故C不符合题意；
∵OA=OE=OC，∴O是△ACE的外心，故D不符合题意．
故答案为：B
【分析】连接OA、OB、OD．
（1）根据三角形外心的意义可得OA=OB=OC，而四边形OCDE为正方形，根据正方形的性质可得OA=OB=OE，所以OB=OE=OC，即O是△CBE的外心；
（2）由（1）中的结论和已知条件可得OA=OC≠OD，所以O不是△ACD的外心；
（3）由（1）中的结论可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心；
（4）由（1）中的结论可得OA=OE=OC，所以O是△ACE的外心。
9．在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（ ）
A．100πcm B．15πcm C．25πcm D．50πcm
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=
∴外接圆的半径r=
∴外接圆的面积为25πcm
故答案为：C.
【分析】用勾股定理可求得AB的长，根据90度的圆心角所对的弦是直径可得外接圆的半径r=AB，所以外接圆的面积=.
10．正三角形的外接圆的半径和高的比为（ ）
A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连结OA，OB，延长AO交BC于D，
∵⊙O是正三角形△ABC的外接圆，
∴OA=OB，AD⊥AB，∠OBD=30°，
∴OD=OB，
∴AD=AO+OD=OB+OB=OB，
∴正三角形的外接圆的半径和高的比为：OB：OB=2：3.
故答案为：B.
【分析】连结OA，OB，延长AO交BC于D，根据三角形外接圆和正三角形的性质可知OD=OB，即高AD=OB，从而可得正三角形外接圆的半径和高的比.
二、填空题
11．（2018九上·杭州期中）两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是 ．
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解、∵在Rt△中，斜边=，
而直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边，
∴直角三角形的外接圆直径=10.
【分析】根据直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边用勾股定理即可求解。
12．（2019九上·海淀期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是 （填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
【答案】钝角三角形
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角三角形．
【分析】锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部，即可得出答案。
13．（2018九上·清江浦期中）如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．
【答案】(6，2)
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】圆心是BC，AB两边垂直平分线的交点为(6，2)．
【分析】由网格图像的特点和三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点可求解。
14．（2018九上·扬州月考）锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形的外心在 .
【答案】三角形内；斜边上；三角形外
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，所以锐角三角形的垂直平分线交点在三角形内，直角三角形的垂直平分线的交点在斜边上，钝角三角形的垂直平分线的交点在三角形外.
【分析】利用外心的定义，可得出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心的位置。
15．如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵AD=2 ，AE=AF= ，AB=3 ，
∴AB＞AE＞AD，
∴ 时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，
故答案为： ．
【分析】由题意计算AD、AE、AB的长即可求得r的取值范围。
16．（2018·烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ．
【答案】（-1，-2）
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接CB，AB，作CB，AB的垂直平分线，其交点就是过A，B，C三点的圆的圆心，如图所示：
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
【分析】连接CB，AB，作CB，AB的垂直平分线，其交点就是过A，B，C三点的圆的圆心，如图所示：利用方格纸的特点即可读出D点的坐标。
三、综合题
17．考古学家发现了一块古代圆形陶器残片如图所示，为了修复这块陶器残片，需要找出圆心．
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）写出作图的主要依据：
【答案】（1）解：如图所示，点O即为所求作的圆心；
（2）解：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）在残片上任取三点A、B、C，连接AB、BC，作出AB、BC的垂直平分线，其交点即为圆心；
（2）依据是：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆。
18．（2017九下·佛冈期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ．
（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC＝ ，圆的半径为，劣弧 的长为．
【答案】（1）解：⊙O如图所示：
（2）解：连接CO，
在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=
由勾股定理得：AB=2，
∵∠ACB=90°
∴⊙O的半径＝ AB＝1，
∵O是AB的中点，且AC=BC
∴CO⊥AB
∴∠BOC＝90 ，
∴ .
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】本题考查不共线的三点作圆(三角形外接圆)的方法．因为A、B、C不共线，所以A、B、C三点确定一个圆．作AC的中垂线，作BC的中垂线，两线交于O，再以O为圆心，以OA(或OB，OC)为半径作⊙O，则⊙O即为所求作的圆.连接CO，根据弧长公式可求出弧长.
19．（2018·无锡模拟）如图，已知线段AB．
（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的前提下，若AB=2cm，则等腰△ABC的外接圆的半径为 cm．
【答案】（1）解：如图所示：△ABC为所求；
（2）2
【知识点】菱形的性质；确定圆的条件
【解析】【解答】解：（2）∵△ABD和△BCD为等边三角形，
∴DA=DB=DC=AB，
∴等腰△ABC的外接圆的半径为2，
故答案为2.
【分析】（1）以AB为边做一个等腰三角形ABD，再以BD为边在BD的另一侧作等边三角形BDC，连接AC，则三角形ABC就是所求的三角形；
（2）根据等边三角形的性质，由△ABD和△BCD为等边三角形，得出DA=DB=DC=AB，根据到定点D的距离都相等的点，一定在以定点为圆心，定长为半径的圆上，从而得出答案。
20．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知： ，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上
【知识点】垂径定理；圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】(1)根据垂径定理可得弧BD=弧CD，再由同圆或等圆中，等弧所对的弦相等可得BD=CD。
（2）由（1）知弧BD=弧CD，由同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得∠BAD=∠CBD，再由角平分线的定义可得∠CBE=∠ABE，根据三角形的外角定理可证∠DBE=∠DEB，根据等边对等角可得DB=DE，结合（1）的结论可得DB=DE=DC．于是可知B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
21．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
【答案】解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得：
，
解得，
∴直线BC解析式为：y=x-.
将x=2代入得：y=×2-=.
∴A点不在直线BC上，
∴A、B、C三点不共线，
∴A、B、C三点可以确定一个圆.
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】根据待定系数法先求出直线BC解析式，再看A点是否在直线BC上，不在即可确定一个圆.
22．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
【答案】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．
【知识点】确定圆的条件
【解析】【分析】求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC得中点的距离等于BC的一半就可以．
23．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.
【答案】解：如图所示：
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AO⊥BC，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO为等边三角形，
∴△ABC外接圆的半径为8.
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据三角形外接圆和等腰三角形的性质可知∠BAO＝60°，再由等腰三角形的性质知△ABO为等边三角形，从而得△ABC外接圆的半径.
24．（2017·市中区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），经过点A点B抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．
（1）求抛物线的关系式；
（2）△ABC的外接圆与轴交于点D，在抛物线上是否存在点M使S△MBC=S△DBC，若存在，请求出点M的坐标．
（3）点P是直线y=﹣x上一个动点，连接PB，PC，当PB+PC+PO最小时，求点P的坐标及其最小值．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．
由题意得可知：a=1．
所以抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．
（2）解：如图所示：过点D作直线DM∥BC，交抛物线与点M和点M′．
∵DM∥BC，
∴S△MBC=S△DBC．
∵OD OC=OB OA，
∴4OD=4×1，解得DO=1．
∴D（0，1）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得 ，解得k=1，b=﹣4．
∵DM∥BC，
∴直线DM的解析式为y=x+1．
将y=x+1代入y=x2﹣3x﹣4得：x2﹣3x﹣4=x+1，整理得：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或x=5．
当x=﹣1时，y=0，
∴M′的坐标为（﹣1，0）．
当x=5时，y=6．
∴M的坐标为（5，6）．
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，6）．
（3）解：如图2所示：△OPC顺时针旋转60°得到△O′C′P′，连结C′P′、PP′、PB，过点C′作C′E⊥x轴，垂足为E．
由旋转的性质可知：CP′=CP，OP=OP′，∠POP′=60°．
∴△OPP′为等边三角形．
∴OP=PP′．
∴CP+PB+OP=C′P′+PB+PP′．
∴当点C′P′、PP′、PB在一条直线上时，CP+PB+OP有最小值，最小值=C′B．
∵OP的解析式为y=﹣x，
∴∠POC=45°，
∴∠P′OC′=45°．
∴∠EOC′=30°．
∴EC′= OC′=2，EO=2 ．
∴C′（﹣2 ，﹣2）．
设直线C′B的解析式为y=kx+b，则 ，解得k=2﹣ ，b=4 ﹣8．
∴直线C′B的戒形式为y=（2﹣ ）x+4 ﹣8．
将y=﹣x代入得：﹣x=（2﹣ ）x+4 ﹣8，解得x= ．
∴y= ．
∴点P的坐标为（ ， ）
∵C′（﹣2 ，﹣2）．
∴BE=4+2 ．
依据勾股定理得：BC′= = = =2 =2 =2 +2 ．
所以PB+PC+PO的最小值为2 +2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将a=1代入即可；（2）过点D作直线DM∥BC，交抛物线与点M和点M′．则S△MBC=S△DBC，利用相交弦定理可求得OD的长，从而得到点D的坐标，然后可求得DM的解析式，接下来再求得y=x+1与y=x2﹣3x﹣4的交点坐标即可；（3）△OPC顺时针旋转60°得到△O′C′P′，连结C′P′、PP′、PB，过点C′作C′E⊥x轴，垂足为E．先证明△OPP′为等边三角形，由两点之间线段最短可知：当点C′P′、PP′\PB在一条直线上时，CP+PB+OP有最小值，最小值=C′B．接下来，在求得C′（﹣2 ，﹣2），然后可求得C′B的解析式为y=（2﹣ ）x+4 ﹣8，然后可求得它与y=﹣x的交点坐标，然后依据勾股定理可求得BC′的值．
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