人教版数学九年级上册第24章 24.2.2直线和圆的位置关系 同步练习
一、综合题
1．（2017·河池）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO+∠COB=90°，
∵EF⊥OG，
∴∠FEB+∠FOE=90°，
而∠COB=∠FOE，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）解：连接OD，如图，
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴CD=CB=6，OD⊥CE，
∴CE=CD+DE=6+4=10，
在Rt△BCE中，BE= =8，
设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，
在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，
∴OE=8﹣3=5，
在Rt△OBC中，OC= =3 ，
∵∠COB=∠FOE，
∴△OEF∽△OCB，
∴ = ，即 = ，
∴EF=2 ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，所以OE=5，OC=3 ，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．
2．（2017·大连）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若DE=2，BD= ，求CE的长．
【答案】（1）解：设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD=α，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°﹣2α，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠DBE=2α，
∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，
∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE
（2）解：设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵BD=BE，DE=2，
∴FE=FD=1，
∵BD= ，
∴tanα= ，
∴AB= =2
在Rt△ABC中，
由勾股定理可知：（2x）2+（x+ ）2=（2 ）2，
∴解得：x=﹣ 或x= ，
∴CE= ；
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD= ，所以tanα= ，从而可求出AB= =2 ，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
3．（2017·随州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
设BD=x，则OD=OA=x，OB= x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC2+BC2=AB2，
∴2（x+1）2=（ x+x）2，
∴x= ，
∴BD=OD= ，
∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE= ﹣ =1﹣
【知识点】角平分线的性质；切线的性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB= x，根据勾股定理得到BD=OD= ，于是得到结论．
4．（2017·常德）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
【答案】（1）证明：∵DE是切线，
∴OC⊥DE，
∵BE∥CO，
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠CBO，
∴BC平分∠ABE．
（2）在Rt△CDO中，∵DC=8，OC=0A=6，
∴OD= =10，
∵OC∥BE，
∴ = ，
∴ = ，
∴EC=4.8．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）由BE∥CO，推出∠OCB=∠CBE，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，可得∠CBE=∠CBO；（2）在Rt△CDO中，求出OD，由OC∥BE，可得 = ，由此即可解决问题；
5．（2017·扬州）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF=OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
【答案】（1）解：结论：DE是⊙O的切线．
理由：∵四边形OABC是平行四边形，
又∵OA=OC，
∴四边形OABC是菱形，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴△ABO，△BCO都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，
∵OB=OF，
∴OG⊥BF，
∵AF是直径，CD⊥AD，
∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，
∴四边形BDCG是矩形，
∴∠OCD=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①证明由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC．
②解：在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，
∴OE=2OC=24，EC=12 ，
∵OF=12，
∴EF=12，
∴ 的长= =4π，
∴阴影部分的周长为4π+12+12 ．
【知识点】平行四边形的性质；直线与圆的位置关系；弧长的计算
【解析】【分析】（1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．
6．（2017·赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
【答案】（1）解：∵∠B=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥BD，
∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，
∴AM是⊙O的切线
（2）解：∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠OAM=90°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=2 ，
∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC= （4+2）×2 ﹣ =6 ﹣
【知识点】切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2 ，于是得到结论．
7．（2017·通辽）如图，AB为⊙O的直径，D为 的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．
【答案】（1）证明：∵D为 的中点，
∴OD⊥AC，
∵AC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：连接DC，
∵D为 的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∵AC∥DE，且OA=AE，
∴F为OD的中点，即OF=FD，
在△AFO和△CFD中，
∴△AFO≌△CFD（SAS），
∴S△AFO=S△CFD，
∴S四边形ACDE=S△ODE
在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，
∴OE=8，
∴DE= =4 ，
∴S四边形ACDE=S△ODE= ×OD×DE= ×4×4 =8 ．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFO=S△CFD，推出S四边形ACDE=S△ODE，求出△ODE的面积即可．
8．（2017·新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半径．
【答案】（1）证明：如图，连接CO，
，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=∠CAD，
∴∠CAD=∠BCD，
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB．
（2）解：设CD为x，
则AB= x，OC=OB= x，
∵∠OCD=90°，
∴OD= = = x，
∴BD=OD﹣OB= x﹣ x= x，
由（1）知，△ADC∽△CDB，
∴ = ，
即 ，
解得CB=1，
∴AB= = ，
∴⊙O半径是
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．（2）首先设CD为x，则AB= x，OC=OB= x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得： = ，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是多少．
9．（2017·安徽模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的长．
【答案】（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB= = = ，
而BP=6，AP=1，
∴BC= ，
在Rt△BPQ中，cosB= = ，
∴BQ= =10，
∴QC=BQ﹣BC=10﹣ = ．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB= = = ，可计算出BC= ，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB= = ，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC进行计算即可．
10．（2017·张家界）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG= OD=6 ，
∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6 ，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．
11．（2017·荆门）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的中心，
∴DO=AO=EO= AE，
∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴AC∥DO．
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
又∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线
（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
设OD=r，则BO=5﹣r．
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
解得：r= ，
∴BE=AB﹣AE=5﹣ =
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出 = ，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．
12．（2017·河北）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧 于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4 时，求 的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
【答案】（1）证明：连接OQ．
∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，
，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ
（2）解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线，
∵在Rt△BOQ中，cosB= = = ，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ= OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧 的长= = π
（3）解：∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8
【知识点】切线的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接OQ．只要证明Rt△APO≌Rt△BQO即可解决问题；（2）求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；（3）由△APO的外心是OA的中点，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8；
13．（2017·黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
（2）证明：连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
1 / 1人教版数学九年级上册第24章 24.2.2直线和圆的位置关系 同步练习
一、综合题
1．（2017·河池）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．
（1）求证：∠FEB=∠ECF；
（2）若BC=6，DE=4，求EF的长．
2．（2017·大连）如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若DE=2，BD= ，求CE的长．
3．（2017·随州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
4．（2017·常德）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
5．（2017·扬州）如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF=OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
6．（2017·赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
7．（2017·通辽）如图，AB为⊙O的直径，D为 的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若OA=AE=4，求四边形ACDE的面积．
8．（2017·新疆）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．
（1）求证：△ADC∽△CDB；
（2）若AC=2，AB= CD，求⊙O半径．
9．（2017·安徽模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的长．
10．（2017·张家界）在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
11．（2017·荆门）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC=3，BC=4，求BE的长．
12．（2017·河北）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧 于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4 时，求 的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
13．（2017·黄石）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，
∴∠BCO+∠COB=90°，
∵EF⊥OG，
∴∠FEB+∠FOE=90°，
而∠COB=∠FOE，
∴∠FEB=∠ECF；
（2）解：连接OD，如图，
∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，
∴CD=CB=6，OD⊥CE，
∴CE=CD+DE=6+4=10，
在Rt△BCE中，BE= =8，
设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，
在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，
∴OE=8﹣3=5，
在Rt△OBC中，OC= =3 ，
∵∠COB=∠FOE，
∴△OEF∽△OCB，
∴ = ，即 = ，
∴EF=2 ．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，所以OE=5，OC=3 ，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．
2．【答案】（1）解：设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD=α，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°﹣2α，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠DBE=2α，
∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，
∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE
（2）解：设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵BD=BE，DE=2，
∴FE=FD=1，
∵BD= ，
∴tanα= ，
∴AB= =2
在Rt△ABC中，
由勾股定理可知：（2x）2+（x+ ）2=（2 ）2，
∴解得：x=﹣ 或x= ，
∴CE= ；
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1））设∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，进而求出∠D=∠BED=90°﹣α，从而可知BD=BE；（2）设CE=x，由于AB是⊙O的直径，∠AFB=90°，又因为BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD= ，所以tanα= ，从而可求出AB= =2 ，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．
3．【答案】（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
设BD=x，则OD=OA=x，OB= x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC2+BC2=AB2，
∴2（x+1）2=（ x+x）2，
∴x= ，
∴BD=OD= ，
∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE= ﹣ =1﹣
【知识点】角平分线的性质；切线的性质；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB= x，根据勾股定理得到BD=OD= ，于是得到结论．
4．【答案】（1）证明：∵DE是切线，
∴OC⊥DE，
∵BE∥CO，
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠CBO，
∴BC平分∠ABE．
（2）在Rt△CDO中，∵DC=8，OC=0A=6，
∴OD= =10，
∵OC∥BE，
∴ = ，
∴ = ，
∴EC=4.8．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）由BE∥CO，推出∠OCB=∠CBE，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，可得∠CBE=∠CBO；（2）在Rt△CDO中，求出OD，由OC∥BE，可得 = ，由此即可解决问题；
5．【答案】（1）解：结论：DE是⊙O的切线．
理由：∵四边形OABC是平行四边形，
又∵OA=OC，
∴四边形OABC是菱形，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴△ABO，△BCO都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，
∵OB=OF，
∴OG⊥BF，
∵AF是直径，CD⊥AD，
∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，
∴四边形BDCG是矩形，
∴∠OCD=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①证明由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC．
②解：在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，
∴OE=2OC=24，EC=12 ，
∵OF=12，
∴EF=12，
∴ 的长= =4π，
∴阴影部分的周长为4π+12+12 ．
【知识点】平行四边形的性质；直线与圆的位置关系；弧长的计算
【解析】【分析】（1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；（2）①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．
6．【答案】（1）解：∵∠B=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥BD，
∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，
∴AM是⊙O的切线
（2）解：∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠OAM=90°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=2 ，
∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC= （4+2）×2 ﹣ =6 ﹣
【知识点】切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2 ，于是得到结论．
7．【答案】（1）证明：∵D为 的中点，
∴OD⊥AC，
∵AC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线
（2）解：连接DC，
∵D为 的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∵AC∥DE，且OA=AE，
∴F为OD的中点，即OF=FD，
在△AFO和△CFD中，
∴△AFO≌△CFD（SAS），
∴S△AFO=S△CFD，
∴S四边形ACDE=S△ODE
在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，
∴OE=8，
∴DE= =4 ，
∴S四边形ACDE=S△ODE= ×OD×DE= ×4×4 =8 ．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFO=S△CFD，推出S四边形ACDE=S△ODE，求出△ODE的面积即可．
8．【答案】（1）证明：如图，连接CO，
，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO=∠BCD，
∵∠ACO=∠CAD，
∴∠CAD=∠BCD，
在△ADC和△CDB中，
∴△ADC∽△CDB．
（2）解：设CD为x，
则AB= x，OC=OB= x，
∵∠OCD=90°，
∴OD= = = x，
∴BD=OD﹣OB= x﹣ x= x，
由（1）知，△ADC∽△CDB，
∴ = ，
即 ，
解得CB=1，
∴AB= = ，
∴⊙O半径是
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．（2）首先设CD为x，则AB= x，OC=OB= x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得： = ，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是多少．
9．【答案】（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB= = = ，
而BP=6，AP=1，
∴BC= ，
在Rt△BPQ中，cosB= = ，
∴BQ= =10，
∴QC=BQ﹣BC=10﹣ = ．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB= = = ，可计算出BC= ，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB= = ，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC进行计算即可．
10．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG= OD=6 ，
∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；（2）证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6 ，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．
11．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示．
在Rt△ADE中，点O为AE的中心，
∴DO=AO=EO= AE，
∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠ADO=∠CAD，
∴AC∥DO．
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
又∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线
（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
设OD=r，则BO=5﹣r．
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴ = ，即 = ，
解得：r= ，
∴BE=AB﹣AE=5﹣ =
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出 = ，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．
12．【答案】（1）证明：连接OQ．
∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，
，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ
（2）解：∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线，
∵在Rt△BOQ中，cosB= = = ，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ= OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧 的长= = π
（3）解：∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8
【知识点】切线的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）连接OQ．只要证明Rt△APO≌Rt△BQO即可解决问题；（2）求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；（3）由△APO的外心是OA的中点，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8；
13．【答案】（1）证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
（2）证明：连接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴ = ，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定；三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DBE=∠DEB；（2）欲证明直线CF为⊙O的切线，只要证明BC⊥CF即可；
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