2018-2019学年数学苏科版九年级上册 1.4用一元二次方程解决问题 同步练习
一、单选题
1．（2018·宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019年“竹文化”旅游输入将达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为x，
根据题意可得2（1+x）2=2.88，则（1+x）2=1.44，1+x=±1.2，
解得x1=20%，x2=－22%（负值舍去），
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程增长率问题：该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元，则若设增长率为x（区别于x%），则2018年的收约为2（1+x），那么估计2019年的收约为2（1+x）（1+x）=2（1+x）2=2.88，构造一元二次方程解答即可，且x的结果应为百分数.
2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（ ）
A．a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B．a2+(a+4)2=10a+a-4-4
C．a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D．a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(a+4)，
这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，
∵两数相差4，
∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a 4.
故答案为：C.
【分析】设个位数字为a十位数字为：a+4，这个数为：a+10(a+4)，这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，根据个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4列出方程即可。
3．（2018·安徽模拟）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是（ ）
A．180(1+x%)=300 B．180(1+x%)2=300
C．180(1-x%)=300 D．180(1-x%)2=300
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】当商品第一次提价x%时，其售价为180+180x%=180(1+x%)，当商品第二次提价x%后，其售价为180(1+x%)+180(1+x%)x%=180(1+x%)2.
∴180(1+x%)2=300.
故答案为：B.
【分析】先表示第一次提价后商品的售价，再表示第二次提价后的售价，得到关于x%的方程.
4．（2017九上·深圳期中）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设有x人参加这次聚会，依题可得：
=10，
故答案为：B．
【分析】每两人都握了一次手，所有人共握手10次，由此即可得出一元二次方程.
5．（2018·龙东）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设共有x个班级参赛，根据题意得：
=15，
解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛，
故答案为：C．
【分析】设共有x个班级参赛，则每个班需要赛（x-1）场，故需要赛的场数为，根据计划安排15场比赛，即可列出方程，求解并检验即可。
6．（2018·绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
7．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A． ＝20 B．n(n－1)＝20
C． ＝20 D．n(n＋1)＝20
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】根据题意可知每个人要赠送(n-1)份礼品，则n(n-1)=20，
故答案为：B．
【分析】抓住题中已知条件：每两人都互相赠送礼物，由共送礼物20件，列方程求解即可。
8．（2017九上·秦皇岛开学考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）=49，
解得：x=6或x=﹣8（舍去），
则x的值为6．
故答案为：B．
【分析】根据题意找出相等的关系量，经过两轮传染后共有49人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x人，得到共传染了1+x+x（1+x）人，列出方程，求出方程的解.
9．（2017九上·江门月考）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）=15 B．x（x﹣1）=15
C．x（x+1）=15 D．x（x﹣1）=15
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=15．
故选B．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=15，把相关数值代入即可．
10．（2018九上·华安期末）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为 cm，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】依题意，设金色纸边的宽为xcm，则
(80+2x)(50+2x)=5400，
整理得出：
故答案为：B.
【分析】抓住已知条件，是在矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，根据整个挂图的面积=5400，列方程，化简方程即可得出答案。
二、填空题
11．（2018九上·安定期末）如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程： ．
【答案】x2﹣35x+34=0
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设小道进出口的宽度为xm，：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．
【分析】方法一、根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程；
方法二、采用平移法，得出等量关系：种植花草的面积=（30-2x）（20-x），列方程即可。
12．（2017·满洲里模拟）为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为 %．
【答案】10
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程：60（1﹣x）2=48.6，
解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）．
故平均每次降价的百分率为10%．
【分析】抓住已知条件：一种药品连续两次降价。因此此题等量关系是：60（1-降低率）2=48.6，设未知数建立方程求解即可
13．（2017·临高模拟）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（1524年），全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为
【答案】x（x﹣12）=864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x﹣12）=864．
故答案为：x（x﹣12）=864．
【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．
14．（2017·东莞模拟）波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98台，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是 ．
【答案】40%
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，
由题意得，50×（1+x）2=98，
解得：x=0.4或x=﹣2.4（不合题意舍去），
即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是40%．
故答案为：40%．
【分析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，根据7月份的月产量为50台，计划9月份生产飞机98台，列方程求解．
15．（2017九上·启东开学考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为
【答案】9
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；
∴x=9；
故答案为：9
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
三、综合题
16．根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
（1）两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数．
（2）绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多11米，那么绿地的长为多少？
（3）某种产品原来成本价是25元，后经过技术改进，连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元，试问平均每次降低成本的百分率为多少
【答案】（1）解：设第一个偶数为x，第二个偶数为x+2，依题意得 ，
整理得
（2）解：设宽为x米，长为（x+11）米，依题意得 ，
整理得
（3）解：设每次降低x，依题意得 ，整理得
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设第一个偶数为x，第二个偶数为(x+2)，根据“两连续偶数的积是120”列方程即可；
（2）设宽为x米，长为（x+11）米，根据“面积为900平方米”列方程；
（3）设每次降低x，则第一次降低后的成本为25（1-x）元，第二次降低后的成本为25（1-x）2元，再由“连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元”列方程.
17．（2017九上·台州月考）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，设制作这面镜子的宽度是x米，总费用是y元，则y=240x2+180x+60．（注：总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费）
（1）这块镜面玻璃的价格是每平方米 元，加工费 元；
（2）如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽．
【答案】（1）120；60
（2）解：根据题意得：
240x2+180x+60=210，
整理得：8x2+6x﹣5=0，
即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去），
∴x=0.5，
∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1米和0.5米
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元，
∵镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米，
∴镜子的长是2x米，
∴2x x m=240x2，
∴m=120，
∴这块镜面玻璃的价格是每平方米120元；
∵y=240x2+180x+60，（总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费），
∴加工费就是60元；
故答案为：120，60.
【分析】（1）根据镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米，得出镜子的长是2x米，求出镜子的面积，再设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元，列出式子，求出m的值，再根据总费用y=240x2+180x+60直接得出加工费用.
（2）根据共花了210元，再根据总费用是y=240x2+180x+60，列出方程，再进行求解即可.
18．（2017·烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．
（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
试问去哪个商场购买足球更优惠？
【答案】（1）解：设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：200×（1﹣x）2=162，
解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．
答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．
（2）解：100× = ≈90.91（个），
在A商城需要的费用为162×91=14742（元），
在B商城需要的费用为162×100× =14580（元）．
14742＞14580．
答：去B商场购买足球更优惠．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．
19．（2017·常德）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：
（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
【答案】（1）解：设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2=484，
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%
（2）解：设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y=484，
解得y=150
所以484﹣150=334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2016年收到微信红包金额400（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400（1+x）（1+x），由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为（2y+34）元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．
20．（2017九上·南山月考）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）20+2x；40-x
（2）解：依题可得：（20+2x）（40-x）=1200，
∴x2-30x+200=0，
∴（x-10）（x-20）=0，
∴x1=10，x2=20，
答：每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元．
（3）解：（20+2x）（40-x）=2000，
∴x2-30x+600=0，
∴△=b2-4ac=（-30）2-4×1×600=-15000，
∴原方程无解.
答：不可能平均每天赢利2000元.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）依题可得：
每天可销售：20+2x件，每件盈利：40-x元，
【分析】（1）根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价-进价-降价，列式即可.
（2）根据总利润=每件利润×销售数量，列方程求解即可.
（3）根据（2）中相关关系列方程，判断方程有无实数根即可.
21．（2018·重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1）原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
【答案】（1）解：设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米
（2）解：由题意得：2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，化简得： ，2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，10 -t=0，t(10t-1)=0，∴ （舍去）， ，∴综上所述：a= 10，答：a的值为10
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，再道路拓宽的里程数为：（50-x）千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列出不等式，求解即可得出答案；
（2）根据2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，得出2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km，道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km；今年6月起：道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，政府投入费用为：780（1+10a%）万元，从而根据道路硬化的总费用+道路拓宽的总费用=政府投入的总费用，从而列出方程，然后整理并求解检验即可得出答案。
1 / 12018-2019学年数学苏科版九年级上册 1.4用一元二次方程解决问题 同步练习
一、单选题
1．（2018·宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019年“竹文化”旅游输入将达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A． B． C． D．
2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（ ）
A．a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B．a2+(a+4)2=10a+a-4-4
C．a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D．a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4
3．（2018·安徽模拟）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是（ ）
A．180(1+x%)=300 B．180(1+x%)2=300
C．180(1-x%)=300 D．180(1-x%)2=300
4．（2017九上·深圳期中）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018·龙东）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2018·绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
7．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A． ＝20 B．n(n－1)＝20
C． ＝20 D．n(n＋1)＝20
8．（2017九上·秦皇岛开学考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2017九上·江门月考）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）=15 B．x（x﹣1）=15
C．x（x+1）=15 D．x（x﹣1）=15
10．（2018九上·华安期末）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为 cm，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2018九上·安定期末）如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程： ．
12．（2017·满洲里模拟）为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，则平均每次降价的百分率为 %．
13．（2017·临高模拟）《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（1524年），全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为
14．（2017·东莞模拟）波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98台，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是 ．
15．（2017九上·启东开学考）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为
三、综合题
16．根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式：
（1）两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数．
（2）绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多11米，那么绿地的长为多少？
（3）某种产品原来成本价是25元，后经过技术改进，连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元，试问平均每次降低成本的百分率为多少
17．（2017九上·台州月考）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，设制作这面镜子的宽度是x米，总费用是y元，则y=240x2+180x+60．（注：总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费）
（1）这块镜面玻璃的价格是每平方米 元，加工费 元；
（2）如果制作这面镜子共花了210元，求这面镜子的长和宽．
18．（2017·烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．
（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
试问去哪个商场购买足球更优惠？
19．（2017·常德）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：
（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
20．（2017九上·南山月考）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
21．（2018·重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
（1）原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为x，
根据题意可得2（1+x）2=2.88，则（1+x）2=1.44，1+x=±1.2，
解得x1=20%，x2=－22%（负值舍去），
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程增长率问题：该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元，则若设增长率为x（区别于x%），则2018年的收约为2（1+x），那么估计2019年的收约为2（1+x）（1+x）=2（1+x）2=2.88，构造一元二次方程解答即可，且x的结果应为百分数.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(a+4)，
这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，
∵两数相差4，
∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a 4.
故答案为：C.
【分析】设个位数字为a十位数字为：a+4，这个数为：a+10(a+4)，这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，根据个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4列出方程即可。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】当商品第一次提价x%时，其售价为180+180x%=180(1+x%)，当商品第二次提价x%后，其售价为180(1+x%)+180(1+x%)x%=180(1+x%)2.
∴180(1+x%)2=300.
故答案为：B.
【分析】先表示第一次提价后商品的售价，再表示第二次提价后的售价，得到关于x%的方程.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设有x人参加这次聚会，依题可得：
=10，
故答案为：B．
【分析】每两人都握了一次手，所有人共握手10次，由此即可得出一元二次方程.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设共有x个班级参赛，根据题意得：
=15，
解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛，
故答案为：C．
【分析】设共有x个班级参赛，则每个班需要赛（x-1）场，故需要赛的场数为，根据计划安排15场比赛，即可列出方程，求解并检验即可。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为：C.
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】根据题意可知每个人要赠送(n-1)份礼品，则n(n-1)=20，
故答案为：B．
【分析】抓住题中已知条件：每两人都互相赠送礼物，由共送礼物20件，列方程求解即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）=49，
解得：x=6或x=﹣8（舍去），
则x的值为6．
故答案为：B．
【分析】根据题意找出相等的关系量，经过两轮传染后共有49人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x人，得到共传染了1+x+x（1+x）人，列出方程，求出方程的解.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=15．
故选B．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=15，把相关数值代入即可．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】依题意，设金色纸边的宽为xcm，则
(80+2x)(50+2x)=5400，
整理得出：
故答案为：B.
【分析】抓住已知条件，是在矩形风景画的四周镶等宽的金色纸边，根据整个挂图的面积=5400，列方程，化简方程即可得出答案。
11．【答案】x2﹣35x+34=0
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设小道进出口的宽度为xm，：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．
【分析】方法一、根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程；
方法二、采用平移法，得出等量关系：种植花草的面积=（30-2x）（20-x），列方程即可。
12．【答案】10
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程：60（1﹣x）2=48.6，
解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）．
故平均每次降价的百分率为10%．
【分析】抓住已知条件：一种药品连续两次降价。因此此题等量关系是：60（1-降低率）2=48.6，设未知数建立方程求解即可
13．【答案】x（x﹣12）=864
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x﹣12）=864．
故答案为：x（x﹣12）=864．
【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．
14．【答案】40%
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，
由题意得，50×（1+x）2=98，
解得：x=0.4或x=﹣2.4（不合题意舍去），
即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是40%．
故答案为：40%．
【分析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，根据7月份的月产量为50台，计划9月份生产飞机98台，列方程求解．
15．【答案】9
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；
∴x=9；
故答案为：9
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
16．【答案】（1）解：设第一个偶数为x，第二个偶数为x+2，依题意得 ，
整理得
（2）解：设宽为x米，长为（x+11）米，依题意得 ，
整理得
（3）解：设每次降低x，依题意得 ，整理得
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设第一个偶数为x，第二个偶数为(x+2)，根据“两连续偶数的积是120”列方程即可；
（2）设宽为x米，长为（x+11）米，根据“面积为900平方米”列方程；
（3）设每次降低x，则第一次降低后的成本为25（1-x）元，第二次降低后的成本为25（1-x）2元，再由“连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元”列方程.
17．【答案】（1）120；60
（2）解：根据题意得：
240x2+180x+60=210，
整理得：8x2+6x﹣5=0，
即（2x﹣1）（4x+5）=0，
解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去），
∴x=0.5，
∴2x=1，
答：镜子的长和宽分别是1米和0.5米
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】（1）设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元，
∵镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米，
∴镜子的长是2x米，
∴2x x m=240x2，
∴m=120，
∴这块镜面玻璃的价格是每平方米120元；
∵y=240x2+180x+60，（总费用=镜面玻璃的费用+边框的费用+加工费），
∴加工费就是60元；
故答案为：120，60.
【分析】（1）根据镜子的长与宽的比是2：1，镜子的宽是x米，得出镜子的长是2x米，求出镜子的面积，再设这块镜面玻璃的价格是每平方米m元，列出式子，求出m的值，再根据总费用y=240x2+180x+60直接得出加工费用.
（2）根据共花了210元，再根据总费用是y=240x2+180x+60，列出方程，再进行求解即可.
18．【答案】（1）解：设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：200×（1﹣x）2=162，
解得：x=0.1=10%或x=﹣1.9（舍去）．
答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．
（2）解：100× = ≈90.91（个），
在A商城需要的费用为162×91=14742（元），
在B商城需要的费用为162×100× =14580（元）．
14742＞14580．
答：去B商场购买足球更优惠．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．
19．【答案】（1）解：设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2=484，
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%
（2）解：设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y=484，
解得y=150
所以484﹣150=334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2016年收到微信红包金额400（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400（1+x）（1+x），由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为（2y+34）元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．
20．【答案】（1）20+2x；40-x
（2）解：依题可得：（20+2x）（40-x）=1200，
∴x2-30x+200=0，
∴（x-10）（x-20）=0，
∴x1=10，x2=20，
答：每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元．
（3）解：（20+2x）（40-x）=2000，
∴x2-30x+600=0，
∴△=b2-4ac=（-30）2-4×1×600=-15000，
∴原方程无解.
答：不可能平均每天赢利2000元.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）依题可得：
每天可销售：20+2x件，每件盈利：40-x元，
【分析】（1）根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价-进价-降价，列式即可.
（2）根据总利润=每件利润×销售数量，列方程求解即可.
（3）根据（2）中相关关系列方程，判断方程有无实数根即可.
21．【答案】（1）解：设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米
（2）解：由题意得：2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，
道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，
又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，化简得： ，2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，10 -t=0，t(10t-1)=0，∴ （舍去）， ，∴综上所述：a= 10，答：a的值为10
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，再道路拓宽的里程数为：（50-x）千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列出不等式，求解即可得出答案；
（2）根据2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 ： 2，且里程数之比为2 ： 1，得出2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km，道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km；今年6月起：道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，政府投入费用为：780（1+10a%）万元，从而根据道路硬化的总费用+道路拓宽的总费用=政府投入的总费用，从而列出方程，然后整理并求解检验即可得出答案。
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