必修第二册6.1平面向量的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
3．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100 米，则此人位移的方向是(　　)
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
4．给出下列量：①角度；②温度；③海拔；④弹力；⑤风速；⑥加速度．
其中是向量的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．下列说法错误的是（ ）
A．长度为0的向量叫做零向量
B．零向量与任意向量都不平行
C．平行向量就是共线向量
D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量
6．若为任一非零向量，的模为1，下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
7．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则、的长度相等且方向相同或相反
B．若向量、满足，且与同向，则
C．若，则与可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则、、、四点共线
10．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
11．下列命题中正确的个数为（ ）
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则、、、四点共线；
③若非零向量与共线，则；
④四边形是平行四边形，则必有；
⑤，则、方向相同或相反.
A．个 B．个 C．个 D．个
12．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若都是单位向量，则；
③向量与相等．
则所有正确命题的序号是（ ）
A．① B．③
C．①③ D．①②
二、填空题
13．下列命题中，正确的是______（填序号）.
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
14．在中，若，则的值为____________.
15．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：
（1）是共线向量的有______；
（2）方向相反的向量有______；
（3）模相等的向量有______.
16．给出下列命题:①共线向量一定在同一条直线上;②若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③的充要条件是且.其中正确命题的序号是_______.
17．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有____．
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．
三、解答题
18．在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
19．已知向量，将向量绕原点O旋转到的位置，求点的坐标.
20．已知在四边形ABCD中，，且||=||，tan D=，判断四边形ABCD的形状.
21．下面给出了两个空间向量，作出.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．
2．D
由相等向量和平行向量的定义进行判断
【详解】
解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确，
故选：D
3．C
由题意，此人从点A出发，经由点B，到达点C，求得∠BAC＝60°，即可得到答案．
【详解】
如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝ ，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°.
故选C．
本题主要考查了向量在物理学中的应用，其中解答中熟记平面向量的运算，合理作出图象是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4．B
根据题意，由向量的定义分析给出的量，即可得答案．
【详解】
根据题意，在①角度、②温度、③海拔、④弹力、⑤风速、⑥加速度中，
是向量的有④弹力、⑤风速、⑥加速度，有个，
故选：B．
5．B
由平面向量的相关概念判断.
【详解】
A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；
B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；
C.平行向量就是共线向量，故正确；
D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确；
故选：B
6．B
根据向量的定义依次判断即可.
【详解】
①中，的大小不能确定，故①错误；
②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误；
③中，为任一非零向量，则，故③正确；
④中，由题，故④错误.
故选：B．
7．B
在，上分别取单位向量，作，则平分，用表示出代入条件式，用表示出，则可证明，，三点共线，即平分．
【详解】
在，上分别取点，，使得，，
则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其他两角的平分线上，
是的内心．
故选：．
本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.
8．B
根据向量减法和加法的运算，求出运算的结果.
【详解】
依题意，故选B.
本小题主要考查向量的减法运算，考查向量的加法运算，属于基础题.
9．C
由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；由共线向量的特点可判断C，D．
【详解】
对于A：若||＝||，可得、的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；
对于B：若向量、满足||＞||，且与同向，由于两个向量不能比较大小，故B错误；
对于C：若，则与可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；
对于D：若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．
故选：C．
10．C
由图形一一列出可得答案.
【详解】
如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共8个．
故选：C．
11．B
根据相等向量的定义判断①的真假；根据共线向量的定义判断②的真假；根据共线向量的等价条件判断③的真假；根据相等向量的定义判断④的真假；取判断⑤的真假.
【详解】
①相等向量是大小相等、方向相同的向量，如果两个相等向量起点相同，则由定义知终点必相同，命题①是假命题；
②共线向量是基线平行或重合的向量，若非零向量与共线且直线与平行时，、、、四点不共线，命题②是假命题；
③若非零向量与共线，则存在非零实数，使得，命题③是假命题；
④四边形是平行四边形，则，由相等向量的定义可知，命题④是真命题；
⑤若为非零向量，，则、方向无法确定，命题⑤是假命题.
故选：B.
本题考查相等向量、共线向量的有关知识，需掌握相等向量、共线向量的定义和特点，属简单题.
12．A
根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向与互为相反向量，故③错误．
故选：.
本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
13．③
利用向量的概念、共线对选项进行逐一判断，可分析处正确的选项.
【详解】
解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量.
②不正确，若与中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故这两个向量的方向不一定相同或相反.
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小，而向量的模均为实数，可以比较大小.
故答案为：③
本题考查向量的概念和共线的定义，属于基础题.
14．3.
解三角形得出各边长，然后由数量积的定义计算．
【详解】
∵，∴.，
∴.
故答案为：3．
本题考查平面向量的数量积，通过直角三角形求出各边长，然后根据数量积的定义计算，解题关键是确定向量的夹角．为此利用相反向量计算．
15． 和，和 和，和
（1）通过表示向量的有线段的关系，利用向量共线的定义找出共线向量
（2）利用相反向量的定义，从找出相反向量．
（3）直接由图形中得出有线段的长度相等的即可.
【详解】
解:（1），，故和，和是共线向量.
（2）和，和是方向相反的向量.
（3）由勾股定理可得，模相等的向量有.
故答案为：（1）和，和；（2）和，和；（3）.
本题考查共线向量、相反向量的定义和向量的模长的定义，属于基础题．
16．②
根据向量的基本概念与性质判定即可.
【详解】
①不正确,共线向量不一定在同一条直线上,也可能在两条平行直线上;
②正确 ∵,∴且,
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形为平行四边形.
反之,若四边形为平行四边形,则且,∴;
③不正确,当且方向相反时,,但不能得到,故且不是的充要条件,而是必要不充分条件.
故答案为：②
本题主要考查了向量的基本概念与性质,属于基础题型.
17．①
直接利用平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义逐一判断即可.
【详解】
化简，①合题意；
由正六边形的性质，结合图可得向量、、与向量方向不同，
根据向量相等的定义可得向量、、与向量不相等，
②③④不合题意；
因为＋+ ，⑤不合题意；
－，⑥不合题意；
，⑦不合题意，故答案为①.
本题主要考查平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义，属于基础题. 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等.
18．(1)答案见解析；(2)答案见解析.
(1)根据描述找出终点A即可；
(2)根据描述找出终点B即可.
【详解】
(1)∵，点A在点O北偏西45°方向，∴以O为圆心，3为半径作圆与图中正方形对角线OP的交点即为A点：
(2)∵，点B在点O正南方向，∴以O为圆心，图中OQ为半径化圆，圆弧与OR的交点即为B点：
19．或
设,根据三角函数的定义求出，，再根据旋转方向，利用三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式计算可得答案.
【详解】
设，，
，.
设点，当旋转方向为逆时针时，
.
，
，
.
当旋转方向为顺时针时，
，
，
.
综上，点的坐标为或.
本题考查了三角函数的定义，考查了两角和与差的正余弦公式，属于基础题.
20．四边形ABCD是菱形.
根据证得四边形ABCD是平行四边形，进而证出AB=BC，即可求出结果.
【详解】
∵在四边形ABCD中，，
∴AB//DC，且AB=DC
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵tan D=，由于，∴∠B=∠D=60°.
又||=||，∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC，故四边形ABCD是菱形.
21．答案见解析
利用向量加法的平行四边形法则和向量的减法法则画图即可.
【详解】
如图，空间中的两个向量相加时，
我们可以先把向量，
平移到同一个平面内，
以任意点O为起点作＝，＝，
则＝＋＝，
＝－＝.
本题主要考查了向量的加减法则，画出图像，即可得出结果.属于较易题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页