必修第二册6.2平面向量的运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1．如图所示，向量等于（ ）
A． B．
C． D．
2．在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0 B． C． D．3
3．如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
4．已知，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为
④
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6． 为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．是共线向量且方向相反
C． D．无论什么关系均可
7．点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（ ）
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB延长线上
C．点P在线段AB反向延长线上
D．点P在直线AB外
8．如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．若与是相反向量，且=3，则等于（ ）
A．9 B．0 C．-3 D．-9
10．如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
12．若，，与的夹角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
14．向量与的夹角为，，，在上投影为（ ）
A．2 B． C．1 D．
15．在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（ ）
A．16 B．8 C．24 D．32
二、填空题
16．已知正方形的边长为2，E为的中点，点F在上，，则___________.
17．在平行四边形中，________．
18．如图所示，在梯形中，，与 交于点，则______________ .
三、解答题
19．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
20．在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
21．一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.
22．已知向量，，与的夹角为.
（1）求及；
（2）求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
把，代入中化简即可.
【详解】
解：．
故选：C
2．C
根据，利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
因为点D在CB的延长线上，且，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，
故选：C
3．B
由，是边，的中点，得，由可得答案.
【详解】
连接，如下图所示.
因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以
，解得.又因为，
所以.则向量与的夹角大小为120°，
故选：B.
本题考查向量的线性运算，数量积.
4．C
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】
解：，故①正确；
，故②错误；
向量在向量上的投影向量为，故③正确；
，故④正确；
故选:C.
5．D
根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】
因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
6．A
根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.
【详解】
当两个非零向量不共线时，的方向与的方向都不相同，且；
当两个非零向量同向时， 的方向与的方向都相同，且；
当两个非零向量反向时且，的方向与的方向相同，且，
所以对于非零向量 ，且，则，且与方向相同.
故选：A.
7．C
由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系.
【详解】
∴点P在线段AB反向延长线上
故选：C.
8．B
利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可.
【详解】
故选：B
9．D
直接根据向量的数量积公式求解即可.
【详解】
由已知得
故选：D
10．B
把向量，作为基底，利用平面向量基本定理和向量的加减法法则求解.
【详解】
解：因为是的中点，所以，
因为点是边的中点，所以，
所以,
,
,
,
,
故选：B
此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，利用了数形结合的思想，属于基础题.
11．D
取的中点，由，得，从而可得与共线，得直线与直线重合，进而得结论
【详解】
解：取的中点，则，
因为，
所以，
所以与共线，即直线与直线重合，
所以直线一定过的重心，
故选：D
12．B
利用平面向量数量积的定义可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的定义可得.
故选：B.
13．A
由数量积的定义，结合条件即可求解.
【详解】
因为，而，所以，所以，故.
故选：A
14．D
根据向量投影的概念计算即可.
【详解】
解：在上投影为.
故选：D
15．D
根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.
【详解】
如图，
,
因为,
所以，
又因为是三角形的外心，
所以,
所以.
故选：D
关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知在向量上的投影为，是解题的关键，属于中档题.
16．
由题可得，，即可求出.
【详解】
由题可得，，
.
故答案为：.
17．
根据向量的线性运算法则，即可得答案.
【详解】
在平行四边形中，,
所以.
故答案为：
18．
利用向量的加法法则和减法法则求解即可
【详解】
,
故答案为:
本题考查向量的加法法则在几何中的应用,考查向量的减法法则在几何中的应用
19．
由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解.
【详解】
如图所示：
因为，
所以，
所以，
即，
所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），
又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，
设，
则，
，
因为，
所以，
则，解得，
所以t的值是.
20．(1)（或）
(2)
（1）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得；
（2）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得．
(1)
如图，，，D为BC的中点．则，，，
所以，
，
在上的投影为，
在上的投影向量为；
(2)
在上的投影为，
在上的投影向量为．
21．飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行.
由向量的加减运算，即可得出结论.
【详解】
由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行.
本题考查向量的加法及其几何意义，考查学生的计算能力，区分路程、位移是关键.
22．（1），；（2）．
（1）根据数量积的定义求数量积，模平方转化为数量积的运算求解；
（2）由数量积的运算律计算．
【详解】
（1），
，
（2）．
答案第1页，共2页
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