必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．与的夹角为，与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
2．若平面向量与向量平行，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若（，），则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，则
7．已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，m)，且∥，则2＋3＝(　　)
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
8．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，E是的中点，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
10．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为AD上一点，BE⊥AC.若=λ+μ，则λ+μ的值为（ ）
A． B． C． D．1
11．已知向量，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
13．在中， ，，为线段的三等分点，则＝( )
A． B．
C． D．
14．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
15．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于（ ）
A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1)
二、填空题
16．已知向量则___________
17．已知向量，若，则实数__________．
18．已知，则的值为__________
三、解答题
19．已知，向量，.
（1）若向量与平行，求k的值；
（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围
20．（1）已知点A B D的坐标分别是 ，且，，求点C的坐标；
（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
21．已知向量，，，且，.
（1）求向量和；
（2）若，求.
22．已知向量，，.
(1)求与的坐标；
(2)求的面积.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案.
【详解】
将沿与方向进行分解，延长、至、，以、为邻边、为对角线画出平行四边形，如图，
由平行四边形法则有，且，所以，
，又，，在中，，
即.
故选：D
本题考查平面向量的基本定理的应用，关键点是数形结合得到，考查了学生的计算能力.
2．C
求得后根据平行向量满足求解即可.
【详解】
由题.又且平面向量与向量平行.
故,即或.
故选：C
本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.
3．D
先根据已知条件确定三点的位置关系并得到，再设，根据坐标运算代入坐标求解即可.
【详解】
点在线段的延长线上，又，.
设,则,,
.选D.
4．A
以为基底表示出，求得，，从而确定正确答案.
【详解】
因为四边形为矩形，，所以，所以，因为（，），所以，，所以．
故选：A
5．D
计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
向量，向量，
，
，且，
的夹角为.
故选：D.
6．D
A．按的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．
【详解】
A．，
时，，，
时，，成立，
时，，，
综上，A不恒成立；
B．是一个实数，无意义，B不成立；
C．若，，则，
，，
，
，
，C错误；
D．若，，则，，
，
，
所以，成立．
故选：D．
本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的用，而余弦可由数量积进行计算．
7．A
根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.
【详解】
∵∥，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴＝(－2，－4)，
∴2＋3＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
故选：A.
8．D
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
9．D
利用平面向量线性运算，即可用基底表示.
【详解】
∵，
∴.
故选：D.
10．B
建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可.
【详解】
解：由题意建立如图所示直角坐标系
因为AB=3，BC=4，则B(0，0)，A(0，3)，C(4，0)，
，，设，
因为BE⊥AC，
所以，解得.
由，得，
所以解得
所以，
故选：B.
本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.
11．B
利用给定的向量坐标，借助向量垂直的充要条件对各选项逐一计算并判断作答.
【详解】
因向量，且、都是非零向量，
对于A，，即与不垂直，A不正确；
对于B，，则，即，B正确；
对于C，，即与不垂直，C不正确；
对于D，，即与不垂直，D不正确.
故选：B
12．C
根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】
因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.
13．C
根据题意得出⊥，建立平面直角坐标系，表示出、，求出数量积的值．
【详解】
中，||＝||，
∴22，
∴0，
∴⊥，
建立如图所示的平面直角坐标系，
由E，F为BC边的三等分点，
则A（0，0），B（0，4），C（2，0），E（，），F（，），
∴（，），（，），
∴+．
故选：C
14．C
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.
【详解】
不妨设中，，边长，边长，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则、、,
,设，则
故
可得，故
的面积为，
的面积为
则与的面积之比为
故选：C
15．D
利用平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】
；
故选：D.
16．
首先计算得到，再利用向量数量积的坐标表示计算结果即可.
【详解】
因为向量所以，
所以，
故答案为：.
17．
由向量平行的坐标表示计算．
【详解】
由题意，又，∴，解得．
故答案为：．
18．14
根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算公式，准确运算，即可求解.
【详解】
由题意，向量，
可得，
则.
故答案为：.
19．（1）或；（2）.
（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；
（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.
【详解】
解：（1）依题意，，，
又，得，即
解得或；
（2）与的夹角为钝角，则，即，
即，解得或.
由（1）知，当时，与平行，舍去，
所以.
思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：
（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；
（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.
20．（1）；（2）或.
（1）设，由和，分别利用共线向量定理和数量积运算求解；
（2）设，由向量与平行和，分别利用共线向量定理和向量的模公式求解.
【详解】
（1）解：设，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以点C的坐标为；
（2）设，
则，
因为向量与平行，
所以 ，
又，
所以，
解得 或，
所以的坐标为或.
21．（1），；（2）5.
（1）利用向量平行和垂直的坐标运算求解即可；
（2）利用向量的坐标运算及数量积运算公式求解即可
【详解】
（1）因为向量，，，
由，可得，解得，
由，可得，解得，
所以，.
（2）因为，
所以.
22．(1)，
(2)
（1）利用向量减法的定义即可直接求出答案；
（2）利用数量积证明，从而得到为直角三角形，然后利用即可求出的面积.
(1)
，
；
(2)
由（1）知：，，
所以，，，
所以，即，
所以.
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