必修第二册6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，，则此三角形必是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
2．在中，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
3．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
4．人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（ ）
A． B． C． D．
5．两个大小相等的共点力,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为
A．40N B． C． D．
6．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．在中，，，，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，角A B C的对边分别为a b c，若a=1，b=，B=60°，则A=（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．6
10．在锐角中，，，的面积为4，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，，则的面积等于（ ）
A． B． C．或 D．或
12．已知中，，那么满足条件的（ ）
A．有两个解 B．有一个解 C．无解 D．不确定
二、填空题
13．已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.
14．在△ABC中， a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________.
15．中，，，，则__．
16．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则下列三个不等式中成立的是______.
①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sinA＋sinB＞cosA＋cosB．
三、解答题
17．在中，，，，点，在边上且，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
18．在中，已知角，，所对的边分别是，，，，，.
（1）求角的值；
（2）求的面积.
19．在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
若，，点是边上的一点，且___________.求线段的长.
①是的高；②是的中线；③ 是的角平分线.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
20．的内角，，所对的边分别为，，.已知，.
（1）求；
（2）若是边上一点，且的面积为，证明：.
21．在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
利用余弦定理的变形化角为边即可求解.
【详解】
由，
则，
即，
整理可得，
所以为直角三角形.
故选：B
2．C
根据正弦定理边化角为，由，所以，即可得解.
【详解】
由题意变形，利用正弦定理化简可得：
，
即，
所以，
由，所以，
所以，
故选：C
3．A
利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，即，则．
因为点P是圆O内部一点，所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,
故选：A.
4．A
由正弦定理得到，结合倍角公式，求得，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】
在中，，
由正弦定理得，即，
由倍角公式得，，
解得，
，
故选：A
5．B
作出示意图，根据向量加法的平行四边形法则求出两个力的大小，再求合力．
【详解】
解：如图，以为邻边作平行四边形，为这两个力的合力．
由题意，易知，∴，
当它们的夹角为120°时，以为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，此时合力的大小，
故选：B．
本题主要考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题．
6．C
利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】
由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
7．A
先根据，求出，再由正弦定理，求解即可.
【详解】
在中，
由正弦定理可知
即.
故选：A.
8．A
根据正弦定理的式子，代入题中数据算出，结合△ABC中A【详解】
解：∵在△ABC中，B=60°，
∴根据正弦定理，可得，
又∵在△ABC中a故选：A.
9．A
由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosB＝sinA，可求cosB，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，根据cos∠ADB＝﹣cos∠CDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而可求解．
【详解】
在△ABC中，bcosA＝c﹣a，
由正弦定理可得sinBcosA＝sinC﹣sinA，
可得sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinA，
即sinAcosB＝sinA，
由于sinA≠0，
所以，由B∈（0，π），可得B＝，
设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，
在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，
由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，
再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，
所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，
所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，
所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．
故选：A．
本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.
10．A
利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】
因为
所以
因为是锐角三角形，所以
故选：A
11．D
先用余弦定理求出或2，进而利用三角形面积公式求出答案.
【详解】
由余弦定理得：，解得：或2，经检验，均符合要求.
当时，；
当时，
故选：D
12．A
通过比较与的大小关系，简单判断可得结果.
【详解】
由题可知：∵，
∴．
∴A有两个解即满足条件的有两个解．
故选：A．
13．
设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解.
【详解】
设，，，，，，
则，，
整理得：，所以，
则，解得：，
所以，
故答案为：.
14．或
利用正弦定理求得，由此求得.
【详解】
由正弦定理得，
即，
由于，
所以或.
故答案为：或
15．
利用余弦定理可直接求得结果.
【详解】
在中，由余弦定理可得：，.
故答案为：.
16．①②③
根据三角形的内角关系和边长关系，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】
A＞Ba＞b（大角对大边）sinA＞sinB（正弦定理），故①成立.
函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数，∵A＞B，∴cosA＜cosB，故②成立.
在锐角三角形中，∵A＋B＞，∴0＜－B＜A＜，
函数y＝sinx在区间上是增函数，
则有sinA＞sin，即sinA＞cosB，
同理sinB＞cosA，故③成立.
故答案为：①②③.
17．（1）；（2）.
（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
18．（1）；（2）面积为或.
（1）利用正弦定理进行转化，可得的值，再根据角的范围即可求得结果；
（2）由余弦定理得的值，再根据三角形面积公式即可求得结果.
【详解】
（1）因为，，所以，
又因为，所以，解得.
在中，因为，所以为锐角，所以；
（2）因为，
所以，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
19．（1）；（2）具体见解析.
（1）由题得，进而根据余弦定理可得；
（2））选①，由余弦定理得，进而根据等面积法求解即可；
选②，根据并结合向量的模计算即可；
选③， 根据计算即可得答案.
【详解】
解：（1）因为，所以整理得，
所以由余弦定理得，
因为，所以
（2）选①，是的高
由余弦定理得，所以
所以根据等面积法得；
选②，是的中线，
则由于，所以，
所以，
所以；
选③， 是的角平分线
由于，
所以，即，
解得.
本题考查利用余弦定理解三角形，根据等面积法求边长，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用等面积法或者向量法求解.
20．（1）；（2）证明见解析.
（1）由正弦定理得，代入条件求得，由条件知，从而求得；
（2）由三角形ACD面积公式求得，由余弦定理求得，从而证得.
【详解】
（1）解：∵，∴，
又，∴.
∵，∴，，，
故.
（2）证明：∵，
∴.
由余弦定理得
，
∴，故.
方法点睛：利用正弦定理可以将边角互化，根据条件求得未知量，结合余弦定理来解三角形.
21．（1）；（2）．
（1）由正弦定理进行角化边的运算，可得到，应用余弦定理可得到角；（2）因为为的平分线，则，用两角和的正弦公式可计算，再由正弦定理可得的长.
【详解】
解：
（1）由正弦定理及得，，
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）由（1）得角，
又因为为的平分线，点在上，所以，
又因为，且，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，解得．
思路点睛：解三角形的问题，常用正弦定理将边化角或角化边，再用正余弦定理解三角形即可.
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