必修第二册7.1复数的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家 哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解.已知复数满足，则（ ）
A．4 B．2 C． D．1
2．已知，为虚数单位，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
5．设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
6．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，复平面内的平行四边形的顶点和对应的复数分别为和，则点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
9．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．下列命题正确的是
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
12．在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．设i为虚数单位，，“复数不是纯虚数“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．设，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题
16．若复数满足，则的最大值是______.
17．若复数满足，则的最大值为___________.
18．设复数满足，则的最小值为___________.
三、解答题
19．实数k为何值时，复数(1＋i)·k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？
20．已知关于x的方程有实数根，求实数m的值.
21．已知m为实数，i为虚数单位，设复数.
（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；
（2）当复数z对应的复点在直线的右下方，求m的取值范围.
22．已知复数，复数的实部等于的虚部，的虚部等于的实部，求复数.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
利用复数模的运算性质求解即可．
【详解】
解：因为，
所以，
故，
所以．
故选：．
2．D
利用复数相等的知识列方程组，由此求得，进而求得.
【详解】
由于，
所以.
故选：D
3．A
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．
【详解】
复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．
故选：A．
本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．
4．A
由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可
【详解】
由题意，
故为实数
或
故选：A
5．D
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．
【详解】
，
所以，选D．
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
6．A
直接利用复数模的几何意义求出的轨迹．然后利用数形结合求解即可．
【详解】
解：
点到点与到点的距离之和为2．
点的轨迹为线段．
而表示为点到点的距离．
数形结合，得最小距离为1
所以|z＋i＋1|min＝1.
故选：A
7．B
把四个选项一一代入验证即可.
【详解】
把四个选项一一代入验证：
对于A：z=，则有，.故A错误；
对于B：z=，则有，.故B正确；
对于C：z=，则有，.故C错误；
对于D：z=，则有，.故D错误；
故选：B
8．D
由复数对应的坐标，结合向量的线性关系求，即可写出对应的复数.
【详解】
如图，由，而，
∴，故对应的复数为.
故选：D.
9．B
由题得，即得解.
【详解】
由题得，
它对应的点为，在第二象限.
故选：B
10．B
由欧拉公式得，结合诱导公式、三角函数值或直接根据辐角所在的象限，即可判断其所在象限.
【详解】
由题意知：，
∴在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.
故选：B.
11．B
分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.
【详解】
选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.
所以选B项.
本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.
12．D
复数所对应的点在第二象限应满足实部，虚部为，解不等式在即可得到答案.
【详解】
∵在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，
∴解得
∴实数m的取值范围是
故选：D.
本题考查复数的概念及分类，属于基础题.
13．A
根据纯虚数的定义求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
若复数为纯虚数，
则，解得：或，
所以由可得出为纯虚数，
但由为纯虚数，得不出，
所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
14．A
先化简z，求出a，再判断即可.
【详解】
，
z不是纯虚数，则，所以，即，
所以是的充分而不必要条件.
故选：A.
本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
15．C
由复数模的几何意义求解．
【详解】
记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
16．3
设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，从而求得最大值.
【详解】
设，则，
根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，
则最大值为，
故答案为：3
17．
根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
设复数在复平面内对应点的坐标为：，
由可知：点在以为圆心，半径为2的圆上，
表示该圆上的点到的距离，
因此的最大值为：，
故答案为：
18．
设，利用复数模的意义和已知条件可得，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】
设，
则，
即，可得
整理可得：，
所以，
可得：当时最小为，的最小值为，
故答案为：.
19．（1）k＝6或k＝－1；（2）k≠6且k≠－1；（3）k＝4；（4）k＝－1.
先化简得出复数的实部和虚部，然后根据复数的概念列式即可求解.
【详解】
解：令.
(1)当时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
(2)当时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，解得k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
20．
设a是原方程的实根，代入方程后由复数相等的概念求解．
【详解】
设a是原方程的实根，则，即，
所以且，
所以且，所以.
本题考查复系数方程有实数根问题，解题时可设出实数根为，代入方程后利用复数相等的定义求解．
21．（1）；（2）.
（1）根据纯虚数的性质，列出方程组，即可求得答案；
（2）根据题意，可得复数z对应点的坐标，根据题意，列出不等式，即可求得答案.
【详解】
（1）由题意得：，解得；
（2）复数z对应的点的坐标为，
直线的右下方的点的坐标应满足，
所以，
解得，
所以m的取值范围为.
22．
由复数，写出实部，虚部，即可得复数.
【详解】
由复数，实部为，虚部为，设复数，所以 所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页