必修第二册7.2复数的四则运算 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.2 复数的四则运算
一、单选题
1．复数，则（ ）
A． B． C． D．1
2．若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若复数对应的点是，则（ ）
A． B． C．-1 D．1
4．设复数，若的虚部为2，则（ ）
A． B． C．5 D．10
5．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
6．已知复数满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知复数，若是纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
8．复数，则（ ）
A． B． C． D．1
9．设，则
A． B． C． D．
10．若复数对应的点是，则（ ）
A． B． C．-1 D．1
11．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
12．是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）
A． B．2 C． D．
13．设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
14．已知复数，是z的共轭复数，若·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
15．已知复数，，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．
17．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.
18．设复数满足，则_________.
三、解答题
19．已知关于的方程的两根为，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）求的值．
20．已知复数（是虚数单位）．
（I）求复数z的模长；
（Ⅱ）若．求的值．
21．已知复数，，为虚数单位.
（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若，求的共轭复数
22．已知是虚数单位，复数，复数的共轭复数.
（1）若，求实数的值；
（2）若是纯虚数，求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.
【详解】
由题意，复数，可得，
，
所以.
故选：C.
2．B
设,由是实数和，互为共轭复数得到的限制条件，再结合充分条件、必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，不妨设
若是实数，则
故，即，由于不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B
3．B
由题得，代入化简即得解.
【详解】
由题得.
故选：B
4．A
根据复数除法运算求出，即可根据虚部求出.
【详解】
因为，所以，
则，解得．
故选：A.
5．C
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】
则．故选C．
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
6．B
利用复数除法运算可求得，由共轭复数定义可得结果.
【详解】
，.
故选：B.
7．D
根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.
【详解】
解：是纯虚数，
则，解得.
故选：D.
8．C
根据复数的运算法则，结合复数的除法运算，即可求解.
【详解】
由题意，复数，可得，
，
所以.
故选：C.
9．C
【详解】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．B
由题得，代入化简即得解.
【详解】
由题得.
故选：B
11．A
根据复数的除法运算法则，先化简，得出其共轭复数，进而可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
因此的虚部为.
故选：A.
12．B
先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解
【详解】
由题意，
若为纯虚数，则
故选：B
13．C
利用复数的乘法法则化简复数，由此可得出结论.
【详解】
，因此，复数在复平面内的点位于第三象限.
故选：C.
14．A
根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
因此，
所以且则.
故选：A
15．C
根据复数的运算法则，化简得到，再结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，复数，
可得，
则.
故选：C.
16．
根据关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由求解.
【详解】
因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，
所以，
即，即 ，
解得 ，
所以m的取值范围是，
故答案为：
17．
首先设 (，且)，代入方程，化简为，再分和两种情况求验证是否成立.
【详解】
设，(，且)
则原方程变为.
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时或3，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，，
所以.
综上满足条件的所以复数的和为.
故答案为：
思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数.
18．.
先利用复数代数形式的乘除运算化简得出，即可求解.
【详解】
∵复数满足，
∴，
∴，
所以，
故答案为：.
19．（1）或；（2）或；（3）．
（1）分若，为实数，和，为虚数，两种情况讨论，求实数的值；
（2）若，为实数，分，和两种情况，化简，再利用韦达定理求值，若，为虚数，利用韦达定理表示，再代入韦达定理求值；
（3）根据（2）的分类情况，代入韦达定理，求值.
【详解】
解：（1）若，为实数，则且，，
所以，解得，
若，为虚数，则且，，
设，，则，
且，所以，，
所以，
综上，或．
（2）若，为实数，则，所以，
若，则，均为负数，所以，矛盾，
若，则，符号相反，
所以，解得，
若，为虚数，则，且，
解得，
综上，或．
（3）若，为实数，则，所以，
若，则，均为负数，所以，
若，则，符号相反，
所以；
若，为虚数，则，所以，
所以，
综上，．
20．（I）（Ⅱ）
（I）首先根据复数代数形式的除法化简，再求复数的模即可；
（Ⅱ）根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件计算可得；
【详解】
解：（I），所以
（Ⅱ）因为，即，所以，所以解得
21．（1）；（2）
（1）化简复数，再由复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；
（2）由复数的除法运算法则，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.
【详解】
（1）由题意，复数，
则
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围.
（2）由，
所以.
与复数的几何意义相关问题的一般步骤：
（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；
（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解.
22．（1）4；（2）.
（1）先求出，再根据，求出实数的值；（2）由已知得，再根据是纯虚数求出a的值即得解.
【详解】
（1）由已知得
（2）由已知得
是纯虚数，,
解得，
.
本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
答案第1页，共2页
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