必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2，则该圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
2．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的底面面积为6，侧面积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ）
A． B． C． D．
7．定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
8．牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即，从而计算出.如果记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，则（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图为一位体育老师利用某体积为144的长方体废旧塑料制作了一个篮球回收筐，篮球回收筐最左面是正方形（顶点，，，为原长方体棱的中点），与之相邻的四个面都是全等三角形，投入口部分是边长为2的正六边形（阴影部分），里面已经放置了3个直径为的篮球，若不考虑筐壁厚度，则剩余空间的容积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高相等，下面部分的体积为，则这个漏斗的容积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，正四棱台的下底面与半球的底面重合，上底面四个顶点均在半球的球面上，若正四棱台的高与上底面边长均为1，则半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为，则这个正方体的体积为___________.
14．一圆锥高为2，底面半径为1，则它的侧面积为___________.
15．边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.
16．已知圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是一个边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．
17．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为___________.
三、解答题
18．已知长方体，，其外接球的表面积为，过 B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.
(1)求棱的长：
(2)求几何体的表面积.
19．在中，AB=6，AC=8，BC=10.
（1）求将绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体的体积；
（2）求将绕BC所在的直线旋转一周所得的几何体的表面积.
20．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形且侧棱垂直与底面的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵与刍童的组合体中，．
（1）证明：直线平面；
（2）已知,且三棱锥A-A1B1D1的体积，求该组合体的体积．
21．已知一个四面体的每个面都是以3、3、2为边长的锐角三角形，试求这个四面体的体积V.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
先计算出上下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.
【详解】
如图，设上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为，则，，解得，
，，
设上底面面积为，下底面面积为，
则体积为.
故选：B.
2．A
根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.
【详解】
因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.
本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.
3．C
根据底面积和侧面积计算正四棱锥的的高，再求解外接球的半径进而求解外接球的表面积.
【详解】
设正四棱锥的高为，顶点到底边的距离为，外接球的半径为，则根据题意有
解得，
又正四棱锥的高，底边的一半和顶点到底边的距离为直角三角形的三边长
解得 根据外接球的性质可知，
球 O的表面积为，选项C正确.
故选：C.
4．A
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为
.
故选：A.
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
5．D
在翻折过程中，始终不变，然后可得的中点即为球心.
【详解】
因为在翻折过程中，始终不变，
所以的中点到，，，四点的距离始终相等，三棱锥外接球的直径为，
所以外接球的表面积为，
故选：D
6．B
根据空余部分体积相等列出等式即可求解.
【详解】
在图1中，液面以上空余部分的体积为；
在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，
所以.
故选：B
本题考查圆柱的体积，属于基础题.
7．B
计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】
由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，
所以积水厚度，属于中雨.
故选：B.
8．C
计算出，，即可得出结论.
【详解】
由题意，，
所有棱长都为的正四棱锥的体积为，
，
故选：．
9．C
由题意知篮球回收筐为长方体截去全等的4个小三棱锥，进而求出长方体和小三棱锥的体积以及篮球的体积即可得出结果.
【详解】
由题意知篮球回收筐为长方体截去全等的4个小三棱锥，又截去的每个小三棱锥的体积为，所以篮球回收筐容积为，所以剩余空间的容积为．
故选：C.
10．A
长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，即可得到答案；
【详解】
长方体与四棱锥同底等高，故长方体的体积是四棱锥体积的3倍，
故个漏斗的容积为，
故选：A
11．B
根据正四棱台的特点，利用数形结合，列式求半径，再求半球的体积.
【详解】
设半球的球心为O，正四棱台的上底面的一个顶点A在下底面的投影为B，
可知为半球的半径，因为，
所以半球的体积为．
故选：B
12．B
由图形可得正八面体的棱长为，分别求出正八面体的体积及表面积，再由等体积法求正八面体的内切球半径，即可求出球的表面积．
【详解】
根据图形，在正方体中易知正八面体的棱长为,
如图，
在正八面体中连接，，，可得，，互相垂直平分，
在中，
则该正八面体的体积，
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为，
，即，解得，
故选：B
13．
根据球的面积求出球的半径，根据正方体的对角线是球的直径可求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式可求得结果.
【详解】
设球的半径为，因为球的表面积为，所以，所以球的半径，
因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为，
设正方体的棱长为，则，所以.
所以正方体的体积为.
故答案为：
14．
首先计算母线长，再根据侧面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知圆锥的高，和底面圆的半径，则母线长，
则圆锥的侧面积.
故答案为：
15．
作出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理即可求解.
【详解】
如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，
则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为.
由题意可知GH＝5，，
所以
所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.
故答案为：.
16．
根据题意，求得圆柱体的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式求解即可.
【详解】
圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，故圆柱的底面半径，高，
则圆柱的体积.
故答案为：.
17．
作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.
【详解】
作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：
∴.
设底面圆的半径为r,则有,解得,
所以这个圆锥的高为，
则这个圆锥的体积为.
故答案为：.
立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.
18．(1)2；
(2).
（1）根据长方体的性质，结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可；
（2）根据几何体的表面积公式进行求解即可.
(1)
设，，，又（R为长方体外接球半径），
∴①.
又，∴.②
由①②，解得∴棱长为2；
(2)
由（1）知，
若，，则
∴.
19．（1）；（2）.
计算可得为直角三角形.
（1）该几何体为圆锥，由锥体体积公式可得结果；
（2）所得几何体为同底的两个圆锥，由圆锥侧面积公式可得结果.
【详解】
因为AB=6，AC=8，BC=10，，所以为斜边的直角三角形，
（1）将绕AB所在的直线旋转一周可得该几何体是以为底，为高的圆锥，
其体积为：.
（2）斜边上的高，
将绕BC所在的直线旋转一周所得的几何体为底面半径为，
母线长为6和8的两个圆锥，
所以其表面积为.
20．（1）见解析；（2）
（1）证明AD⊥MA，推出MA⊥平面ABCD，得到MA⊥BD．结合BD⊥AC，证明BD⊥平面MAC；
（2）设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可．
【详解】
（1）证明:由题可知是底面为直角三角形且侧棱与底面垂直的棱柱,
平面
又平面，
又平面
平面,平面,
，
又四边形为正方形，
又平面平面；
（2）设刍童的高为，
则三棱锥体积，
所以，
故该组合体的体积为：
本题考查线面垂直的证明及组合体体积的求法，涉及知识点有棱柱、棱台的体积计算公式及直线与平面垂直的判定定理，属于中等题.
21．
分别通过正面直接法、分割法以及补形法进行求解即可得解.
【详解】
解法一（直接法）：如图1所示，，，平面，在中，过点E作，垂足为M，.
则由等面积法得，.
故.
解法二（分割法）：如图1所示，，，平面，于是截面将原三棱锥分割成三棱锥与三棱锥，且平面，容易算出.
故.
解法三（补形法）：如图2所示，将三棱锥补形为一个长方体，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则解得
所求的体积.
答案第1页，共2页
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