必修第二册8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
2．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形
3．平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面
4．不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是（ ）
A．，， B．，
C．，， D．，，
5．两个不同的平面与平行的一个充分条件是（ ）
A．内存在无数条直线与平行
B．内存在直线与内的无数条直线都平行
C．平面且平面
D．平面且平面
6．如图，三棱柱中，为中点，为上一点，为平面上一点，且平面则点的轨迹的长度为（ ）
A． B．
C． D．
7．在以下四个命题中：①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.正确的命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
8．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设的中点为M，的中点为N，下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
9．已知正四面体的棱长为，平面与棱、均平行，则截此正四面体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
11．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
12．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
二、填空题
13．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).
14．在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，过点作与截面平行的截面，则所得截面的面积为____________.
15．已知平面上有n个点，且任意三点都不共线，若“这n个点到平面的距离均相等”是“”的充要条件，则n的最小值为______．
16．如图，在正方体中，点，，分别是，，的中点，给出下列5个推断：
①平面； ②平面；
③平面； ④平面平面；
⑤平面平面.
其中推断正确的序号是_________.
三、解答题
17．如图，在三棱锥中，平面，，点、、分别是、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
18．如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别为，，，的中点，点为线段上的动点，且.
（1）是否存在使得平面，若存在，求出的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由；
（2）画出平面截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.
19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3.
（1）求证：AB1平面BC1D；
（2）求AB1与BD所成角的余弦值.
20．已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面.
21．如图所示，已知三棱柱中，D是的中点，是的中点，设平面平面，平面平面，判断直线a，b的位置关系，并证明．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.
【详解】
①错误，两条直线可以异面；
②正确，平行的传递性；
③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；
④正确，平行的传递性.
故选：B.
2．B
利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.
【详解】
因为平面//平面,且平面平面,平面平面,根据面面平行的性质可知//,同理可证明//.
所以四边形为平行四边形.
故选：B.
本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.
3．B
利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，没有公共点，即可得到结论．
【详解】
∵平面平面，∴平面与平面没有公共点
∵，，∴直线，没有公共点
∴直线，的位置关系是平行或异面，
故选：B.
4．C
利用平面与平面的位置关系判断.
【详解】
由不同的直线和，不同的平面，，，知：
若，，，则与相交或平行，故不正确；
若，，则与相交或平行，故B不正确；
若，，，则由平面平行的判定定理知，故C正确；
若，，，则与相交或平行，故D不正确.
故选：C.
5．C
由面面平行的判定定理，逐个判断选项即可
【详解】
由面面平行的判定定理可知，A，B，D选项都无法推出平面与平面平行；易知C选项可推出平面与平面平行.
故选：C
6．C
过B作交于F，过F作交于G，根据线面平行、面面平行的判定证明面面，由面面，即可知为的轨迹，进而求其长度.
【详解】
过B作交于F，过F作交于G，
∵，面，面，
∴面，面，而，
∴面面，而面面，
综上，知：平面，面上的轨迹为.
∵，
∴，则，又
∴，，易得，故.
故选：C
关键点点睛：应用线面平行、面面平行确定动点M在面上轨迹，并求轨迹长度.
7．D
根据线面平行的定义及判定定理可判断.
【详解】
定义：一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行.
可知①②正确；
线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
可知④正确；
当线在面内时，直线与平面内的无数条直线不相交（平行时），所以③不正确.
故选：D.
8．C
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.
【详解】
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，
易知ON与BM平行且相等，四边形ONMB为平行四边形，MN‖BO,
∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；
∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；
∵BO 平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN 平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；
显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.
故选：C.
本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.
9．A
取的中点，连接、，证明出，设平面分别交、、、于、、、，连接、、、，证明出四边形为矩形，设，可得出，利用基本不等式可求得截面面积的最大值.
【详解】
取的中点，连接、，
因为为等边三角形，为的中点，所以，，同理可得，
，平面，平面，.
设平面分别交、、、于、、、，连接、、、，
平面，平面，平面平面，，
同理可证，，同理可证，
所以，四边形为平行四边形，
，，则平行四边形为矩形，
设，则，
因为，则，，同理可得，
所以，矩形的面积为，
当且仅当时，等号成立，因此，截面面积的最大值为.
故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10．C
首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
11．B
由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
【详解】
由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
12．D
利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解
【详解】
选项A：有可能出现的情况；
选项B：和有可能异面；
选项C：和有可能相交；
选项D：由，，得直线和平面没有公共点，所以，
故选：D
13．①②
根据正方体的结构特征，以及两直线的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】
根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线.
故答案为：①②.
14．
正方体中作过A的截面与平面PB1C平行，再根据题中的数据求出截面的面积．
【详解】
解：取CD、A1B1的中点M、N，连结C1M、MA、AN、NC1
∵C1N//PC，B1P∥AN，B1P∩CP=P，C1N∩AN=N，
∴平面C1MAN//平面PCB1
平面C1MAN就是过点A与界面平行的截面
由图可知,平面为菱形，且
正方体中，
根据余弦定理，，且
所以截面的面积
故答案为：
15．5
根据平面的性质及面面平行的判定定理可得至少有三个点在平面的同侧，从而可得出答案.
【详解】
解：因为不在同一条直线上的三点确定一个平面，所以至少有三个点，
当有三个点时，若在平面的异侧，则不成立；
当有四个点时，若在平面的异侧，也不成立，
当有五个点时，则至少有三个点在平面的同侧，成立，
所以，“这n个点到平面的距离均相等”是“”的充要条件，则n的最小值为5．
故答案为：5.
16．①③⑤
根据线面平行和面面平行的判断方法依次判断即可.
【详解】
对于①，可知在正方体中，平面平面，且平面，平面，故①正确；
对于②，，是，的中点，，与平面相交，故与平面不平行，故②错误；
对于③， ，是，的中点，，平面，平面，平面，故③正确；
对于④，由②得与平面不平行，则平面与平面不平行，故④错误；
对于⑤，由①得，平面，平面，平面，由③得，平面，平面，平面，，平面平面，故⑤正确.
故答案为：①③⑤.
本题考查线面平行和面面平行的判断，解题的关键是正确理解线面平行和面面平行的判定定理，正确找出图中的平行关系.
17．（1）见解析；（2）见解析.
（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面．
【详解】
（1）在中，因为、分别是、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，
在中，因为，是的中点，所以，
因为，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.
18．（1）存在，，证明见解析；（2）画图见解析；.
（1）取中点，由面面平行的判定定理即可证明平面平面，即可得到平面时的值.
（2）画出截面，根据正六边形的性质即可求出截面的面积.
【详解】
解：（1）当时，平面.
取中点，连接，，，则，，
如图所示：
故，
又平面，平面，
平面，
同理，平面，
又，平面，
故平面平面，
平面，
平面；
（2）平面截正方体的截面为正六边形，
如图所示：
又正方体的棱长为2，
故正六边形边长为，
截面面积为：.
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）利用三角形中位线定理证明ODAB1，再用线面平行的判定定理证明AB1平面BC1D；
（2）先判断出∠ODB（或其补角）为AB1与BD所成的角，再解三角形求出余弦值.
【详解】
（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．
∵四边形BCC1B1是平行四边形．
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．
∵OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，
∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD，
在Rt△ABC中，D为AC的中点，则BD，
同理可得，OB，
在△OBD中，
cos∠ODB
∴AB1与BD所成角的余弦值为．
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以用几何法，也可以用向量法计算．
20．证明见解析
先得到，，则四边形为平行四边形，再由线面平行判定定理证明即可.
【详解】
因为，分别是，的中点，所以
又，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，而平面，
所以平面.
21．直线a与b平行，证明见解析.
连接，由平面平面，利用面面平行的性质定理得到，，再根据D是的中点，是的中点，证得四边形是平行四边形，四边形为平行四边形，从而即可.
【详解】
直线a与b平行．证明如下：
如图所示：
连接．
∵平面平面，平面平面，
平面平面，
∴．
同理可证．
又D是的中点，是的中点，，
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴
又，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴．
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