必修第二册8.6空间直线、平面的垂直 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直
一、单选题
1．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，，，则
2．比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球(球心记为)，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，的方向即为点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为，则中轴线与赤道所在平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3．如果直线l，m与平面满足和，那么必有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是（ ）
A．和平面平行 B．和平面垂直 C．在平面内 D．不能确定
5．已知直线和平面，下列说法错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则.
6．在空间中，下列命题正确的是（ ）
①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一个平面的两条直线平行．
A．①③④ B．①④ C．① D．①②③④
7．正方体中的棱长为2，直线到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β，CB β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α内有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，当平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90°时，则△PAB的面积的是（　　）
A．12 B．16 C． D．
9．如图，已知半径为的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知l，m是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若l⊥α，m∥l，m β，则α⊥β B．若α∥β，l∥α，则l∥β
C．若l⊥m，l⊥α，α∥β，则m∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
11．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知矩形 ，，，沿对角线将折起，若二面角的余弦值为，则与之间距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，PC⊥平面BDM(只填写一个认为正确的条件即可)．
14．已知是两个平面，是两条直线．有下列命题：
①如果，那么； ②如果，那么；
③如果，那么； ④如果，那么．
其中所有真命题的序号是__________．
15．在矩形中，，，在上运动，设，将沿折起，使得平面垂直于平面，长最小时的值为__________．
16．已知三个顶点都在球的表面上，且，，是球面上异于 的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为____________.
17．如图，在正方体中，点M，N分别为棱上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．
①当M为棱的中点时，则在棱上存在点N使得；
②当M，N分别为棱的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行；
③当M，N分别为棱的中点时，则过，M，N三点作正方体的截面，所得截面为五边形；
④直线与平面所成角的正切值的最小值为；
⑤若正方体的棱长为2，点到平面的距离最大值为．
三、解答题
18．已知直三棱柱中，，，是中点，是的中点.
（1）求证：；
（2）求证：平面.
19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
20．如图所示，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，、分别为、的中点．
(1)求证平面；
(2)求证平面；
(3)设，求三棱锥的体积．
21．如图，在直三棱柱中，．
（1）求证：；
（2）若与的所成角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据空间直线和平面的位置关系逐一判断得解.
【详解】
解：选项，直线有可能在平面内；
选项，需要直线在平面内才成立；
选项，两条直线可能异面、平行或相交；
选项，符合面面平行的判定定理，故正确.
故选：D
2．A
由题意画出示意图，即可选出正确答案.
【详解】
解析如图所示，为比萨斜塔的中轴线，，，则，中轴线与赤道所在平面所成的角为.
故选:A.
3．A
根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系.
【详解】
由，则；由，则；由上条件，m与可能平行、相交，与有可能平行、相交.
综上，A正确；B，C错误，m与有可能相交；D错误，与有可能相交．
故选：A
4．D
根据题意，画出图形判断.
【详解】
如图所示：
由图形知和平面平行，和平面垂直或在平面内，
故选：D
5．D
根据空间中线面平行或垂直的判定定理和性质定理对各选项逐一分析即可求解.
【详解】
解：对A：若，，则由面面平行的性质有，所以A正确；
对B：若，，则由线面平行的性质有，又，
从而由面面垂直的判定定理有，所以B正确；
对C：若，，则，又，所以，所以C正确；
对D：若，，则或，所以D错误.
故选：D.
6．B
由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．
【详解】
解：①该命题就是平行公理，即基本性质4，因此该命题是正确的．
②如图1，直线平面，，，且，则，．
即平面内两条相交直线b、c都垂直于同一条直线a，但b、c的位置关系并不是平行．
另外，b、c的位置关系也可能是异面，如果把直线b平移到平面外，
此时，b与a的位置关系仍是垂直，但此时b、c的位置关系是异面．
③如图2，在正方体中，易知平面ABCD，平面ABCD，
但，因此该命题是错误的．
④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上，①④正确，
故选：B．
本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，属于基础题．
7．C
根据正方体得特征，将直线到平面的距离转化为点A到平面的距离，即可得出答案.
【详解】
解：如图所示，连接交于点，
在正方体中，，
又平面，平面，
所以点A到平面的距离即为直线到平面的距离，
正方体中，
，平面，
又平面，所以平面，
故即为点A到平面的距离，
，
所以直线到平面的距离为.
故选：C.
8．C
由DA⊥α，CB⊥α，证得∠APB为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90°，再由∠APD＝∠BPC，可证得PB＝2PA．从而可求得的长，得三角形面积．
【详解】
解：由题意，平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA β，CB β，
且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，
又∠APD＝∠BPC，∴△PAD∽△PBC，
又AD＝4，BC＝8，∴PB＝2PA．
如图，由DA⊥α，CB⊥α，平面，平面，可得平面PAD⊥α，平面PBC⊥α，
则∠APB为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90°，
∵AB＝6，设PA＝x，则PB＝2x，∴x2+4x2＝36，得．
∴△PAB的面积的是S．
故选：C．
9．B
由题可知，根据几何关系可求AM、BM长度；由题可证BD⊥平面ABM，则过N作NH垂直于AB，则NH垂直于平面ABC，则.
【详解】
如图所示，∵AB是直径，M和N在球面上，∴，
即，
由等面积法得，
，
∵，
平面ABC，
过N作NH⊥AB，则NH⊥平面ABC，
则.
.
故选：B.
10．A
根据空间直线、平面间的位置关系判断．
【详解】
解：若l⊥α，m∥l，则m⊥α，又m β，则α⊥β，故A正确；
若α∥β，l∥α，则l∥β或l β，故B错误；
若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又l⊥m，m∥β或m β，故C错误；
若α⊥β，l∥α，则l β或l∥β或l与β相交，相交也不一定垂直，故D错误．
故选：A．
11．D
取BC的中点D，通过垂直关系的证明得到就是直线PA与平面PBC所成的角，结合线段长度求解出线面角的正弦值.
【详解】
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，即，
又∵，
∴△PAB△PAC，
∴.
取BC的中点D，连接AD，PD，
∴PD⊥BC，AD⊥BC，
又∵PD∩ADD，∴BC⊥平面PAD，
∵BC 平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC，
过A作AO⊥PD于O，易得AO⊥平面PBC，
∴就是直线PA与平面PBC所成的角.
在Rt△PAD 中，，
则，则.
故选：D.
12．C
过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，分析可知二面角的平面角为，利用余弦定理求出，证明出，再利用勾股定理可求得的长.
【详解】
过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，
因为，，，则，
因为，由等面积法可得，同理可得，
由勾股定理可得，同理可得，，
因为四边形为平行四边形，且，故四边形为矩形，所以，，
因为，所以，二面角的平面角为，
在中，，，
由余弦定理可得，
，，，则，，
因为，平面，平面，则，
，由勾股定理可得.
故选：C.
13．DM⊥PC(或BM⊥PC)
根据题意可得BD⊥AC．根据线面垂直的性质定理，可得BD⊥PA．根据线面垂直的判定定理，即可得答案.
【详解】
连接BD，AC．
∵四边形ABCD各边都相等，即四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC．又PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．
∵PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC或BM⊥PC时，PC⊥平面BDM．
故答案为：（或）
14．②③
利用线面平行的判断定理，性质定理，以及面面平行和面面垂直的性质定理判断.
【详解】
①如果，那么或，故①不正确；
②如果，那么，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确；
③如果，那么，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确；
④缺少这个条件，故④不正确.
故答案为：②③
15．
在平面ABP中，过A作，垂足为，利用面面垂直的性质得到AH⊥平面．进而得到为直角三角形，利用直角三角形中的边角关系和余弦定理，在，，中进行运算，得到的长度用已知的量、、的三角函数表示出来．再根据其形式来进行运算求值．
【详解】
解：在平面ABP中，过A作，垂足为，连，
∵平面ABP⊥平面BPDC，
∴AH⊥平面．
∴、，
∴在中，，．
在中，由余弦定理得：
，
∴在中，
，
当且仅当时取得最大值1，
∴当且仅当时，长最小．
故答案为：
16．
根据题中的垂直关系，确定球心，再根据球的表面积公式计算，再求点到平面的距离.
【详解】
由，，
并且平面，平面，，且
平面，，
是直角三角形和的公共斜边，
取的中点，根据直角三角形的性质可知，
所以点是三棱锥外接球的球心，
设，则，
则三棱锥外接球的表面积，，解得：,
点到平面的距离.
故答案为：
方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.
17．①③④
①当为的中点时，过作于，证即可；
②根据正方体棱的特征和线面平行的判定方法可知没有满足条件的棱；
③通过线线平行和线面平行的性质，作出平面与正方体各个面的交线即可判断；
④过作于，，长度的最大值为对角线BD；
⑤三棱锥－体积为定值，要使点到平面的距离最大，则使△的面积最小，据此即可求解﹒
【详解】
①如图，当为的中点时，过作于，∴，∴，又，与相交于，∴，又，∴，故①正确；
②在正方体中，棱可分为三类，分别是与平行的棱，又不与平面平行，∴在正方体中，不存在棱与平面平行，故②错误；
③如图，取中点，连接，∴，过作的平行线交于点，此时，∴，即为过三点的平面与平面的交线；连接，在上取点，使得，∴，再过点作的平行线交于点，此时，∴，即为过三点的平面与平面的交线；连接，则可得五边形即为正方体中过三点的截面，故③正确；
④设正方体棱长为2，如图，过作于，∴，∴与平面所成角即为，∴；又长度的最大值为，∴与平面所成角的正切值的最小值为，故④正确；
⑤M，N在棱，上运动时，到距离始终为2，到平面的距离始终为2，∴恒为定值．要使到平面的距离最大，则三角形的面积应为最小．当分别运动到时，，此时到平面的距离为；当，分别运动到棱，中点时，，∴则；又∴当M，N为，中点时，到平面的距离应大于，∴⑤错误．
故答案为：①③④．
本题较难，需要判断的选项较多，综合考察了空间里面点线面的位置关系，需要结合图形自行作出辅助线求解，在求解时还要结合平面几何的解三角形的相关方法进行长度或面积的计算，属于几何的综合性难题.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）证明平面平面，可得平面，即可证明；
（2）取中点，连结，，证明平面平面，即可证明平面.
【详解】
证明：（1），为等腰三角形
为中点，，
为直棱柱，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
.
（2）取中点，连结，，
，，分别为，，的中点
，，
，
平面平面，
平面
平面.
19．（1）证明见解析；（2）．
（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；
（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．
【详解】
（1）因为底面，平面，
所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）[方法一]：相似三角形法
由（1）可知．
于是，故．
因为，所以，即．
故四棱锥的体积．
[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法
由（2）知,所以．
建立如图所示的平面直角坐标系，设．
因为，所以，，，．
从而．
所以，即．下同方法一.
[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，所以，，，，．
所以，，．
所以．
所以，即．下同方法一.
[方法四]：空间向量法
由，得．
所以．
即．
又底面，在平面内，
因此，所以．
所以，
由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，
得，即．
所以，即．下同方法一.
【整体点评】
(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；
方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；
方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；
方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，再由可得出平面；
（3）利用锥体的体积公式计算出三棱锥和三棱锥的体积，即可得出，即可得解.
(1)
证明：取的中点，连接、，
、分别为、的中点，则且，
因为四边形为矩形，则且，
为的中点，则且，故且，
所以，四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，故平面.
(2)
证明：平面，平面，则，
因为四边形为矩形，则，
，平面，
平面，则，
，为的中点，则，
，平面，，故平面.
(3)
解：连接，则点到的距离等于，由已知可得，
，
平面，，
为的中点，所以，点到平面的距离为，
故，因此，.
21．（1）证明见解析；（2）或
（1）将棱分别向下延长，使得，连接，由等腰三角形三线合一可证得，进而可证得，从而证得；
（2）设，，由与的所成角得余弦值，相关线段长度用表示，取的中点，连接，与平面所成的角即为与平面所成的角，即求的正弦值即可
【详解】
（1）将棱分别向下延长，使得，
连接，如图：
，与的交点为的中点，
，，
，
又，，
平面，
取的中点，连接，
,
平面，
,
又，
平面，
，
又为的中点，
，
，
，，
，
（2）由（1）知与的所成角即与的所成角，，
取的中点，连接，
，
与平面所成的角即为与平面所成的角，
当时，
设，则，
，
由（1）知，为的中点，故，
，
，
令，则，
，
，
又，则，
，
又为等腰三角形，所以，
又，，易得为与平面所成的角，
，，
，
；
当时，设，则，
，
，
，
则，
，，
；
故与平面所成角的正弦值为或
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