人教版数学九年级上册第21章 21.1一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2017·海陵模拟）已知x=2是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
2．（2016九下·大庆期末）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
3．（2017·海曙模拟）已知x=1是方程ax2+bx﹣6=0（a≠0）的一个解，若a≠b，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
4．（2017·广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
5．（2017·六盘水）三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3 x+4=0，则第三边的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．3
6．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
7．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k＞ 且k≠0
8．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）已知关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=3x2有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
9．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1
10．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0
11．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）已知关于x的一元二次方程：（a﹣1）x2﹣ax+1=0有两个相等的实数根，则a的值应为下列哪个值（ ）
A．2 B．1 C．2或1 D．无法确定
12．（2017·温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
二、填空题
13．（2017·普陀模拟）方程x= 的根是 ．
14．（2017·青浦模拟）方程 =1的解为 ．
15．（2017·成华模拟）定义新运算：a*b=a（b﹣1），若a、b是关于一元二次方程x2﹣x+ m=0的两实数根，则b*b﹣a*a的值为 ．
16．（2017·徐汇模拟）如果t是方程x2﹣2x﹣1=0的根，那么代数式2t2﹣4t的值是 ．
17．（2017·兰州模拟）若关于x的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
18．（2017年辽宁省营口市中考数学试卷）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
三、计算题
19．（一元二次方程的定义++++++++3 ）若（m+1）x|m|+1+6x﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
20．（一元二次方程的定义++++++++3 ）方程 是一元二次方程，试求代数式m2+2m﹣4的值．
四、解答题
21．（2017·路北模拟）先化简，再求值： ，其中x满足方程：x2+x﹣6=0．
22．（2017·沂源模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣ =0的某个根，也是一元二次方程x2﹣（k+2）x+ =0的根，求k的值．
23．（2016九上·吉安期中）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，得
22+2×b﹣2=0，即2b+2=0，
解得，b=﹣1．
故选A．
【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=2代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，
则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是方程ax2+bx﹣6=0（a≠0）的一个解，
∴a+b﹣6=0，即a+b=6，
∴ = = = =3．
故选B．
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到a+b=6，再把 化简得 ，然后利用整体代入的方法计算．
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，
∴22﹣3×2+k=0，
解得，k=2．
故选：B．
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：x2﹣3 x+4=0，
（x﹣2 ）（x﹣ ）=0，
所以x1=2 ，x2= ，
即a=2 ，b= ，
如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C=60°，
∴CH= AC= ，AH= CH= ，
∴BH=2 ﹣ = ，
在Rt△ABH中，AB= = ，
即三角形的第三边的长是 ．
故选A．
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3 x+4=0得到a=2 ，b= ，如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH= ，AH= ，则BH= ，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，
∴m﹣2≠0，并且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3且m≠2．
故选D．
【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：整理方程得：ky2﹣7y﹣7=0
由题意知k≠0，方程有实数根．
∴△=b2﹣4ac=49+28k≥0
∴k≥﹣ 且k≠0．
故选B．
【分析】首先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，再根据方程有实根可得△=b2﹣4ac≥0，再代入a、b、c的值再解不等式即可．
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵mx2+3x﹣4=3x2，
∴（m﹣3）x2+3x﹣4=0，
∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=3x2有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4（m﹣3）×（﹣4）＞0，m﹣3≠0，
∴m＞ 且m≠3，
∴m的值可以是4，
故选：A．
【分析】根据一元二次方程根的判别式和定义可得：△=b2﹣4ac=32﹣4（m﹣3）×（﹣4）＞0，m﹣3≠0，再求出m的取值范围即可．
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程的解；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k﹣1=0，方程化为﹣2x+1=0，解得x= ；
当k﹣1≠0，△=22﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤2，即k≤2且k≠1时，方程有两个实数解，
所以k的取值范围为k≤2．
故选B．
【分析】分类讨论：当k=1时，原方程化为一元一次方程，有一个实数解；当k≠1，原方程为一元二次方程，根据判别式的意义得到，△=22﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤2，然后综合两种情况即可得到m的取值范围．
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，
∴m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×1≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选D．
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×1≥0，解不等式组即可．
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）x2﹣ax+1=0有两个相等的实数根，
∴ ，
解得：a=2．
故选A．
【分析】由原方程为一元二次方程可得知a﹣1≠0，结合方程有两个相等的实数根可得出根的判别式△=0，联立方程组即可得出结论．
12．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
13．【答案】x=1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：x= 两边平方，得
x2=4﹣3x，
解得，x=1或x=﹣4，
检验：当x=﹣4不是原方程的根，
故原无理方程的解是x=1，
故答案为：x=1
【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．
14．【答案】x=2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：方程两边平方得：x﹣1=1，
解得：x=2，
经检验x=2是原方程的解，
故答案为：x=2
【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．
15．【答案】0
【知识点】实数的运算；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是关于一元二次方程x2﹣x+ m=0的两实数根，
∴a2﹣a=﹣ m，b2﹣b=﹣ m，
∴b*b﹣a*a=b（b﹣1）﹣a（a﹣1）=b2﹣b﹣（a2﹣a）=﹣ m﹣（﹣ m）=0．
故答案为：0．
【分析】由a、b是关于一元二次方程x2﹣x+ m=0的两实数根，可得出a2﹣a=﹣ m、b2﹣b=﹣ m，根据定义新运算的定义式，将b*b﹣a*a展开，代入数据即可得出结论．
16．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x=t时，t2﹣2t﹣1=0，则t2﹣2t=1，
所以2t2﹣4t=2（t2﹣2t）=2．
故答案为2．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到t2﹣2t﹣1=0，则t2﹣2t=1，然后利用整体代入的方法计算代数式2t2﹣4t的值．
17．【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，
解得：a=3，
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程定义可得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，再解即可．
18．【答案】k＞ 且k≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞ 且k≠1．
故答案为：k＞ 且k≠1．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
19．【答案】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．
所以得到 ，
解得m=1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
20．【答案】解：根据题意得，m2﹣2=2且m﹣2≠0，
解得m=±2且m≠2，
所以，m=﹣2，
所以，m2+2m﹣4=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4=4﹣4﹣4=﹣4．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
21．【答案】解：（x+1﹣ ）÷
= ÷
=
= ，
∵x满足方程x2+x﹣6=0，
∴（x﹣2）（x+3）=0，
解得：x1=2，x2=﹣3，
当x=2时，原式的分母为0，故舍去；
当x=﹣3时，原式= = ．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】将原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并后利用平方差公式分解因式，然后将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后求出x满足方程的解，将满足题意的x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
22．【答案】解：x2﹣2x﹣ =0，
移项得：x2﹣2x= ，
配方得：x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2= ，
开方得：x﹣1=± ，
解得：x1= ，x2=﹣ ，
△=（k+2）2﹣9≥0，即k≥1或k≤﹣5，
①根据题意把x= 代入x2﹣（k+2）x+ =0得：（ ）2﹣ （k+2）+ =0，
解得：k= ；
②把x=﹣ 代入x2﹣（k+2）x+ =0得：（﹣ ）2+ （k+2）+ =0，
解得：k=﹣7，
综上所述，k的值为﹣7或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】利用配方法求出方程x2﹣2x﹣ =0的解，将求出的解代入x2﹣（k+2）x+ =0中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
23．【答案】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）× =0，
整理得，k2﹣3k+2=0，
即（k﹣1）（k﹣2）=0，
解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．
∴k=2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．
1 / 1人教版数学九年级上册第21章 21.1一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2017·海陵模拟）已知x=2是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，得
22+2×b﹣2=0，即2b+2=0，
解得，b=﹣1．
故选A．
【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=2代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可．
2．（2016九下·大庆期末）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（ ）
A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，
则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．
3．（2017·海曙模拟）已知x=1是方程ax2+bx﹣6=0（a≠0）的一个解，若a≠b，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵x=1是方程ax2+bx﹣6=0（a≠0）的一个解，
∴a+b﹣6=0，即a+b=6，
∴ = = = =3．
故选B．
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到a+b=6，再把 化简得 ，然后利用整体代入的方法计算．
4．（2017·广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，
∴22﹣3×2+k=0，
解得，k=2．
故选：B．
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
5．（2017·六盘水）三角形的两边a、b的夹角为60°且满足方程x2﹣3 x+4=0，则第三边的长是（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：x2﹣3 x+4=0，
（x﹣2 ）（x﹣ ）=0，
所以x1=2 ，x2= ，
即a=2 ，b= ，
如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，
作AH⊥BC于H，
在Rt△ACH中，∵∠C=60°，
∴CH= AC= ，AH= CH= ，
∴BH=2 ﹣ = ，
在Rt△ABH中，AB= = ，
即三角形的第三边的长是 ．
故选A．
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3 x+4=0得到a=2 ，b= ，如图，△ABC中，a=2 ，b= ，∠C=60°，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH= ，AH= ，则BH= ，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．
6．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，
∴m﹣2≠0，并且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3且m≠2．
故选D．
【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．
7．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ 且k≠0
C．k≥﹣ D．k＞ 且k≠0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：整理方程得：ky2﹣7y﹣7=0
由题意知k≠0，方程有实数根．
∴△=b2﹣4ac=49+28k≥0
∴k≥﹣ 且k≠0．
故选B．
【分析】首先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，再根据方程有实根可得△=b2﹣4ac≥0，再代入a、b、c的值再解不等式即可．
8．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）已知关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=3x2有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵mx2+3x﹣4=3x2，
∴（m﹣3）x2+3x﹣4=0，
∵关于x的一元二次方程mx2+3x﹣4=3x2有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=32﹣4（m﹣3）×（﹣4）＞0，m﹣3≠0，
∴m＞ 且m≠3，
∴m的值可以是4，
故选：A．
【分析】根据一元二次方程根的判别式和定义可得：△=b2﹣4ac=32﹣4（m﹣3）×（﹣4）＞0，m﹣3≠0，再求出m的取值范围即可．
9．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1
【答案】B
【知识点】一元一次方程的解；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k﹣1=0，方程化为﹣2x+1=0，解得x= ；
当k﹣1≠0，△=22﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤2，即k≤2且k≠1时，方程有两个实数解，
所以k的取值范围为k≤2．
故选B．
【分析】分类讨论：当k=1时，原方程化为一元一次方程，有一个实数解；当k≠1，原方程为一元二次方程，根据判别式的意义得到，△=22﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤2，然后综合两种情况即可得到m的取值范围．
10．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1=0有实数根，
∴m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×1≥0，
解得m≤1且m≠0．
故选D．
【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得m≠0且△=（﹣2）2﹣4m×1≥0，解不等式组即可．
11．（方程与不等式(120)+—+一元二次方程(146)+—+根的判别式(156) ）已知关于x的一元二次方程：（a﹣1）x2﹣ax+1=0有两个相等的实数根，则a的值应为下列哪个值（ ）
A．2 B．1 C．2或1 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）x2﹣ax+1=0有两个相等的实数根，
∴ ，
解得：a=2．
故选A．
【分析】由原方程为一元二次方程可得知a﹣1≠0，结合方程有两个相等的实数根可得出根的判别式△=0，联立方程组即可得出结论．
12．（2017·温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=﹣3，
所以x1=﹣1，x2=﹣3．
故选D．
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
二、填空题
13．（2017·普陀模拟）方程x= 的根是 ．
【答案】x=1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：x= 两边平方，得
x2=4﹣3x，
解得，x=1或x=﹣4，
检验：当x=﹣4不是原方程的根，
故原无理方程的解是x=1，
故答案为：x=1
【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．
14．（2017·青浦模拟）方程 =1的解为 ．
【答案】x=2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：方程两边平方得：x﹣1=1，
解得：x=2，
经检验x=2是原方程的解，
故答案为：x=2
【分析】方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．
15．（2017·成华模拟）定义新运算：a*b=a（b﹣1），若a、b是关于一元二次方程x2﹣x+ m=0的两实数根，则b*b﹣a*a的值为 ．
【答案】0
【知识点】实数的运算；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a、b是关于一元二次方程x2﹣x+ m=0的两实数根，
∴a2﹣a=﹣ m，b2﹣b=﹣ m，
∴b*b﹣a*a=b（b﹣1）﹣a（a﹣1）=b2﹣b﹣（a2﹣a）=﹣ m﹣（﹣ m）=0．
故答案为：0．
【分析】由a、b是关于一元二次方程x2﹣x+ m=0的两实数根，可得出a2﹣a=﹣ m、b2﹣b=﹣ m，根据定义新运算的定义式，将b*b﹣a*a展开，代入数据即可得出结论．
16．（2017·徐汇模拟）如果t是方程x2﹣2x﹣1=0的根，那么代数式2t2﹣4t的值是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：当x=t时，t2﹣2t﹣1=0，则t2﹣2t=1，
所以2t2﹣4t=2（t2﹣2t）=2．
故答案为2．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到t2﹣2t﹣1=0，则t2﹣2t=1，然后利用整体代入的方法计算代数式2t2﹣4t的值．
17．（2017·兰州模拟）若关于x的方程（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，
解得：a=3，
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程定义可得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，再解即可．
18．（2017年辽宁省营口市中考数学试卷）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k＞ 且k≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞ 且k≠1．
故答案为：k＞ 且k≠1．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
三、计算题
19．（一元二次方程的定义++++++++3 ）若（m+1）x|m|+1+6x﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
【答案】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．
所以得到 ，
解得m=1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
20．（一元二次方程的定义++++++++3 ）方程 是一元二次方程，试求代数式m2+2m﹣4的值．
【答案】解：根据题意得，m2﹣2=2且m﹣2≠0，
解得m=±2且m≠2，
所以，m=﹣2，
所以，m2+2m﹣4=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4=4﹣4﹣4=﹣4．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义列式求出m的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
四、解答题
21．（2017·路北模拟）先化简，再求值： ，其中x满足方程：x2+x﹣6=0．
【答案】解：（x+1﹣ ）÷
= ÷
=
= ，
∵x满足方程x2+x﹣6=0，
∴（x﹣2）（x+3）=0，
解得：x1=2，x2=﹣3，
当x=2时，原式的分母为0，故舍去；
当x=﹣3时，原式= = ．
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】将原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并后利用平方差公式分解因式，然后将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后求出x满足方程的解，将满足题意的x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
22．（2017·沂源模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣ =0的某个根，也是一元二次方程x2﹣（k+2）x+ =0的根，求k的值．
【答案】解：x2﹣2x﹣ =0，
移项得：x2﹣2x= ，
配方得：x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2= ，
开方得：x﹣1=± ，
解得：x1= ，x2=﹣ ，
△=（k+2）2﹣9≥0，即k≥1或k≤﹣5，
①根据题意把x= 代入x2﹣（k+2）x+ =0得：（ ）2﹣ （k+2）+ =0，
解得：k= ；
②把x=﹣ 代入x2﹣（k+2）x+ =0得：（﹣ ）2+ （k+2）+ =0，
解得：k=﹣7，
综上所述，k的值为﹣7或
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】利用配方法求出方程x2﹣2x﹣ =0的解，将求出的解代入x2﹣（k+2）x+ =0中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
23．（2016九上·吉安期中）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，求k的值．
【答案】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）× =0，
整理得，k2﹣3k+2=0，
即（k﹣1）（k﹣2）=0，
解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．
∴k=2．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．
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