初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.3.1 相似三角形
一、单选题
1．（2018九上·瑞安期末）若两个三角形的相似比为1:2，则它们的面积比为（ ）
A．1:2 B．1:4 C．2:1 D．4:1
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】相似图形的面积比等于相似图形比的平方，若两个三角形的相似比为1:2，则它们的面积比为1：4，故答案为B
【分析】相似图形比值的应用：相似图形的周长比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方。
2．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似图形
【解析】【解答】解：∵这三个正方形的边都互相平行．
∴它们均相似．
∴ = 解得：x=4．
故选B．
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断．
3．（2016九上·通州期中）相似三角形的概念是（ ）
A．对应角相等、对应边成比例的两个三角形
B．两角分别相等的两个三角形
C．三边对应成比例的两个三角形
D．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似，正确；
B、两角对应相等的两个三角形相似，错误；
C、三边对应成比例的两个三角形相似，错误；
D、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，错误；
故选A
【分析】根据相似三角形的判定判断即可．
4．下列语句正确的是（ ）
A．在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∠C′=60°，则△ABC和△A′B′C′不相似
B．△ABC和在△A′B′C′中，AB=5，BC=7，AC=8，A′C′=16，B′C′=14，A′B′=10，则△ABC∽△A′B′C′
C．两个全等三角形不一定相似
D．所有的菱形都相似
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，
∴∠C=60°，又∠C′=60°，
∴∠C=∠C′，则△ABC和△A′B′C′相似，A错误；
△ABC和在△A′B′C′中，AB=5，BC=7，AC=8，A′C′=16，B′C′=14，A′B′=10，
则△ABC∽△A′B′C′，B正确；
两个全等三角形一定相似，C错误；
所有的菱形不一定都相似，D错误；
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定方法进行判断即可．
二、填空题
5．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③
【分析】根据相似图形的判定定理，求解。
6．（2017·普陀模拟）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
【答案】1：4
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，
故答案为：1：4．
【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
三、综合题
7．（2017·历下模拟）如图1．在菱形ABCD中，AB=2 ，tan∠ABC=2，∠BCD=α，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转α度，得到对应线段CF，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q．
（1）求证：△ECF∽△BCD；
（2）当t为何值时，△ECF≌△BCD？
（3）当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
【答案】（1）证明：菱形ABCD中，BC=CD，
由旋转的性质可知，CE=CF，
∴ = ，
又∵∠FCE=∠DCB=α，
∴△FCE∽△DCB
（2）由（1）知，△FCE∽△DCB，
∴当CE=CB=CD时，△FCE≌△DCB；
①E、D重合，此时t=0；
②如图，过点C作CM⊥AD，
当EM=MD时，EC=CD，
Rt△CMD中，MD=CDcos∠CDA=2 × =2，
∴t=ED=2MD=4，
∴当t=0或4时，△FCE≌△DCB
（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°．
①当∠EQD=90°时，
∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP=90°．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，
∵AB=CD=2 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，
∴DE=2，
∴t=2秒；
②当∠EPQ=90°时，
∵菱形ABCD对角线AC⊥BD，
∴EC和AC重合．
∴DE=2 ，
∴t=2 秒；
∴当t=2或者2 时，△APQ为直角三角形．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】（1）根据对应边成比例、夹角相等的两个三角形相似证明；（2）根据全等三角形的性质、余弦的概念计算；（3）分∠EQD=90°、∠EPQ=90°两种情况，根据正切的概念、菱形的性质解答．
8．（2017九上·三明期末）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．且△OCP与△PDA的面积比为1：4
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②求边AB的长；
（2）如图2，连结AP、BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
【答案】（1）解：①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠DPA+∠DAP=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPO=90°，
∴∠DAP=∠CPO，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴ = = = ，
∴CP= AD=4，
设OP=x，则CO=8﹣x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴边AB的长为10
（2）解：结论：线段EF的长度不发生变化．EF=2 ．
理由：如图2中，作MQ∥AN，交PB于点Q，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ= PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=FB，
∴QF= QB，
∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB= =4 ，
∴EF= PB=2 ，
∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2 ．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】（1）①只要证明∠PAD=∠CPO，由∠D=∠C=90°，即可证出△OCP∽△PDA；②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP= AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的结论求出PB，即可判断．
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一、单选题
1．（2018九上·瑞安期末）若两个三角形的相似比为1:2，则它们的面积比为（ ）
A．1:2 B．1:4 C．2:1 D．4:1
2．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．5
3．（2016九上·通州期中）相似三角形的概念是（ ）
A．对应角相等、对应边成比例的两个三角形
B．两角分别相等的两个三角形
C．三边对应成比例的两个三角形
D．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形
4．下列语句正确的是（ ）
A．在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∠C′=60°，则△ABC和△A′B′C′不相似
B．△ABC和在△A′B′C′中，AB=5，BC=7，AC=8，A′C′=16，B′C′=14，A′B′=10，则△ABC∽△A′B′C′
C．两个全等三角形不一定相似
D．所有的菱形都相似
二、填空题
5．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是 ．
6．（2017·普陀模拟）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是 ．
三、综合题
7．（2017·历下模拟）如图1．在菱形ABCD中，AB=2 ，tan∠ABC=2，∠BCD=α，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转α度，得到对应线段CF，连接BD、EF，BD交EC、EF于点P、Q．
（1）求证：△ECF∽△BCD；
（2）当t为何值时，△ECF≌△BCD？
（3）当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
8．（2017九上·三明期末）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．且△OCP与△PDA的面积比为1：4
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②求边AB的长；
（2）如图2，连结AP、BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】相似图形的面积比等于相似图形比的平方，若两个三角形的相似比为1:2，则它们的面积比为1：4，故答案为B
【分析】相似图形比值的应用：相似图形的周长比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方。
2．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似图形
【解析】【解答】解：∵这三个正方形的边都互相平行．
∴它们均相似．
∴ = 解得：x=4．
故选B．
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断．
3．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似，正确；
B、两角对应相等的两个三角形相似，错误；
C、三边对应成比例的两个三角形相似，错误；
D、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，错误；
故选A
【分析】根据相似三角形的判定判断即可．
4．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，∠A=30°，
∴∠C=60°，又∠C′=60°，
∴∠C=∠C′，则△ABC和△A′B′C′相似，A错误；
△ABC和在△A′B′C′中，AB=5，BC=7，AC=8，A′C′=16，B′C′=14，A′B′=10，
则△ABC∽△A′B′C′，B正确；
两个全等三角形一定相似，C错误；
所有的菱形不一定都相似，D错误；
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定方法进行判断即可．
5．【答案】②③
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③
【分析】根据相似图形的判定定理，求解。
6．【答案】1：4
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的面积比为5：20=1：4，
故答案为：1：4．
【分析】根据等边三角形周长的比是三角形边长的比解答即可．
7．【答案】（1）证明：菱形ABCD中，BC=CD，
由旋转的性质可知，CE=CF，
∴ = ，
又∵∠FCE=∠DCB=α，
∴△FCE∽△DCB
（2）由（1）知，△FCE∽△DCB，
∴当CE=CB=CD时，△FCE≌△DCB；
①E、D重合，此时t=0；
②如图，过点C作CM⊥AD，
当EM=MD时，EC=CD，
Rt△CMD中，MD=CDcos∠CDA=2 × =2，
∴t=ED=2MD=4，
∴当t=0或4时，△FCE≌△DCB
（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°．
①当∠EQD=90°时，
∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP=90°．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，
∵AB=CD=2 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，
∴DE=2，
∴t=2秒；
②当∠EPQ=90°时，
∵菱形ABCD对角线AC⊥BD，
∴EC和AC重合．
∴DE=2 ，
∴t=2 秒；
∴当t=2或者2 时，△APQ为直角三角形．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】（1）根据对应边成比例、夹角相等的两个三角形相似证明；（2）根据全等三角形的性质、余弦的概念计算；（3）分∠EQD=90°、∠EPQ=90°两种情况，根据正切的概念、菱形的性质解答．
8．【答案】（1）解：①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠DPA+∠DAP=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPO=90°，
∴∠DAP=∠CPO，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴ = = = ，
∴CP= AD=4，
设OP=x，则CO=8﹣x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴边AB的长为10
（2）解：结论：线段EF的长度不发生变化．EF=2 ．
理由：如图2中，作MQ∥AN，交PB于点Q，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ= PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=FB，
∴QF= QB，
∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB= =4 ，
∴EF= PB=2 ，
∴当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2 ．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】（1）①只要证明∠PAD=∠CPO，由∠D=∠C=90°，即可证出△OCP∽△PDA；②根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP= AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的结论求出PB，即可判断．
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